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| ====Beweis:====
| | Youre a real deep thikenr. Thanks for sharing. |
| In Matrixform lautet diese Gleichung:
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| :<math>M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}</math>
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| Die linke Seite (M) lautet:
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| :<math>M=\left( \begin{matrix}
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| \frac{\partial q}{\partial Q} & \frac{\partial q}{\partial P} \\
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| \frac{\partial p}{\partial Q} & \frac{\partial p}{\partial P} \\
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| \end{matrix} \right)</math>
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| Die rechte Seite lautet:
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| :<math>\begin{align}
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| & J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=\left( \begin{matrix}
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| 0 & 1 \\
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| -1 & 0 \\
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| \end{matrix} \right){{\left[ \left( \begin{matrix}
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| 0 & 1 \\
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| -1 & 0 \\
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| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
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| \frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \\
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| \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\
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| \end{matrix} \right) \right]}^{T}}=\left( \begin{matrix}
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| 0 & 1 \\
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| -1 & 0 \\
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| \end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
| |
| \frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \\
| |
| -\frac{\partial Q}{\partial q} & -\frac{\partial Q}{\partial p} \\
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| \end{matrix} \right)}^{T}} \\
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| & =\left( \begin{matrix}
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| 0 & 1 \\
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| -1 & 0 \\
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| \end{matrix} \right){{\left( \begin{matrix}
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| {{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\
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| {{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\
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| \end{matrix} \right)}^{{}}}=\left( \begin{matrix}
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| {{\left( \frac{\partial P}{\partial p} \right)}^{T}} & -{{\left( \frac{\partial Q}{\partial p} \right)}^{T}} \\
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| -{{\left( \frac{\partial P}{\partial q} \right)}^{T}} & {{\left( \frac{\partial Q}{\partial q} \right)}^{T}} \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:
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| :<math>\begin{align}
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| & M=J{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}} \\
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| & \Rightarrow JM=-{{\left( J{{M}^{-1}} \right)}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}} \\
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| & \Rightarrow {{M}^{T}}JM=-{{M}^{T}}{{\left( {{M}^{-1}} \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{\left( {{M}^{-1}}M \right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{J}^{T}}=J \\
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| & {{M}^{T}}JM=J \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.
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| Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen!
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| J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:
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| :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right):={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}=\sum\limits_{i,k=1}^{2f}{{{x}_{i}}{{J}_{ik}}{{y}_{k}}}</math>
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| es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform
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| Eigenschaften:
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| # Schiefsymmetrie:
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| :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>,
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| Beweis:
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| :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)={{\bar{x}}^{T}}J\bar{y}={{\left( {{{\bar{y}}}^{T}}{{J}^{T}}\bar{x} \right)}^{T}}=-{{\bar{y}}^{T}}{{J}^{{}}}\bar{x}=-\left( \bar{y},\bar{x} \right)</math>
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| # bilinear:
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| :<math>\left( \bar{x},{{\lambda }_{1}}{{{\bar{y}}}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{{\bar{y}}}_{2}} \right)={{\lambda }_{1}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{1}} \right)+{{\lambda }_{2}}\left( \bar{x},{{{\bar{y}}}_{2}} \right)</math>
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| # nichtentartet:
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| :<math>\left( \bar{x},\bar{y} \right)=0\forall \bar{y}\Rightarrow \bar{x}=0</math>
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| Nebenbemerkung: Es gilt:
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| :<math>\left( \bar{x},\bar{x} \right)=0\forall \bar{x}</math>
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| Also Selbstorthogonalität
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| Beweis:
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| :<math>{{\bar{x}}^{T}}J\bar{x}=\left( \begin{matrix}
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| q & p \\
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| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
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| 0 & 1 \\
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| -1 & 0 \\
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| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
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| q \\
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| p \\
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| \end{matrix} \right)=qp-pq=0</math>
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| Die Symplektische Struktur auf dem
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| :<math>{{R}^{2f}}</math>
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| ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:
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| :<math>{{\left( \bar{x},\bar{y} \right)}_{Eu}}=\sum\limits_{i}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=}{{\bar{x}}^{T}}g\bar{y}</math>
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| Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix!
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| Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:
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| :<math>\begin{align}
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| & \left( \bar{x},\bar{y} \right)=\left( \bar{y},\bar{x} \right) \\
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| & \left( \bar{x},\bar{x} \right)\ge 0 \\
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| \end{align}</math>
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| ====Definition:==== | | ====Definition:==== |
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=4}}
Kategorie:Mechanik
__SHOWFACTBOX__
Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.
Sei zunächst f= 1
ist Vektor im Phasenraum
ist Ableitungsvektor
ist Metrik im Phasenraum (metrischer Tensor)
In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:
Leicht läßt sich zeigen:
Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade
Die kanonischen Gleichungen lauten
Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:
Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:
Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:
Dies gilt für Hamiltonsche Systeme! (Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)
Kanonische Transformationen in kompakter Notation
Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:
Dabei sind:
Beweis:
Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:
Youre a real deep thikenr. Thanks for sharing.
Definition:
Die Menge der Matrizen M (kanonische Trafo) mit
bildet die reelle symplektische Gruppe S über
- .
Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.
Furrealz? That's marvelosluy good to know.