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| =====Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung=====
| | BovdhS <a href="http://tnxeigjwwmpq.com/">tnxeigjwwmpq</a> |
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| :<math>V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}})=V({{\bar{r}}_{1}}-{{\bar{r}}_{2}})</math>
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| Das Potenzial kann auch anisotrop sein.
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| Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.
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| Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:
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| :<math>\begin{align}
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| & L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V({{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}}) \\
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| & L({{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{1}} \right),{{h}^{s}}\left( {{{\bar{r}}}_{2}} \right),{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}})=\frac{{{m}_{1}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}^{2}+\frac{{{m}_{2}}}{2}{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}^{2}-V(\left( {{{\bar{r}}}_{1}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right)-\left( {{{\bar{r}}}_{2}}-s{{{\bar{e}}}_{i}} \right))=L({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{1}},{{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}) \\ | |
| \end{align}</math>
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| für alle i = x,y,z
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| Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:
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| :<math>\begin{align}
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| & {{I}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{x}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{x}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{x}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{x}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{x}}}_{2}}={{P}_{x}}=const \\
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| & {{I}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{y}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{y}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{y}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{y}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{y}}}_{2}}={{P}_{y}}=const \\
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| & {{I}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{1}}}{{{\bar{e}}}_{z}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{\bar{r}}}}_{2}}}{{{\bar{e}}}_{z}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{1}}}+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{z}}}_{2}}}={{m}_{1}}{{{\dot{z}}}_{1}}+{{m}_{2}}{{{\dot{z}}}_{2}}={{P}_{z}}=const \\
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| \end{align}</math>
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| Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:
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| :<math>M\dot{\bar{R}}={{\bar{P}}_{{}}}=const</math>
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| Mit den Schwerpunktskoordinaten
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| :<math>\bar{R}:=\frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}{{{\bar{r}}}_{i}}}</math>
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| Und der Gesamtmasse
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| :<math>M:=\sum\limits_{i=1}^{2}{{{m}_{i}}}</math>
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Revision as of 11:17, 2 July 2011
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=2}}
Kategorie:Mechanik
__SHOWFACTBOX__
Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:
Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:
Der Parameter s ist dabei beliebig.
Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:
Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben!
Für die Transformation gilt:
(Identität)
Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:
Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.
Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.
Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:
Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:
Nun gilt die Transformation:
- mit
als Schwerpunktskoordinate und
als Relativpositionen.
Es folgt:
- wegen
Invarianz Erhaltungssatz
äquivalent zum Erhaltungssatz
Allgemein heißt
der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.
Falls gilt dass
- ,
wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine zyklische Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine Erhaltungsgröße .
Hier:
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