Räumliche Isotropie: Difference between revisions
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als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet: | als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet: | ||
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<math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math> | <math>{{\bar{\bar{R}}}_{{}}}(\bar{\phi })=\exp \left( -\phi \sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{n}_{i}}{{{\bar{\bar{J}}}}_{i}} \right)</math> mit <math>\bar{\phi }:=\phi \bar{n}</math> | ||
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<math>\bar{\phi }:=\phi \bar{n}</math> | |||
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<math>SO\left( 3 \right)=\left\{ \bar{\bar{R}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left| {{{\bar{\bar{R}}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1\left| \det \bar{\bar{R}}=1 \right. \right. \right\}</math> | <math>SO\left( 3 \right)=\left\{ \bar{\bar{R}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left| {{{\bar{\bar{R}}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1\left| \det \bar{\bar{R}}=1 \right. \right. \right\}</math> Mit <math>{{\bar{\bar{R}}}^{t}}\bar{\bar{R}}=1</math> | ||
Mit | |||
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<math>\det \bar{\bar{R}}=1</math> | |||
zum Ausschluß von Raumspiegelungen. | zum Ausschluß von Raumspiegelungen. | ||
Revision as of 17:07, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Räumliche Isotropie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=3}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen
Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel um die z- Achse.
An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:
Dabei gilt:
Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:
Betrachten wir infinitesimale Transformationen ( Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln
Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben
Mit
als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.
Somit folgt:
Formal schreibt man:
Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion
ist rotationsinvariant, da nur von abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.
( Drehungen sind orthogonale Transformationen).
wegen:
Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:
Mit
als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:
Interpretation nach dem Noetherschen Theorem
Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung
Andere Betrachtungsweise
Wähle als verallgemeinerte Koordinate
Für infinitesimale Drehung um z-Achse.
Invarianz Erhaltungssätze
äquivalent zum Erhaltungssatz
Der Winkel ist also eine zyklische Variable.
Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu , so ergibt sich:
Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.
Nebenbedingung:
Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit .
Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz
Beispiel:
N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:
Rotationsinvarianz gegen Drehung um alle Achsen:
Also ist der resultierende Drehimpuls
eine Erhaltungsgröße
Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse
Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:
Bei einer Drehung um den endlichen Winkel
gilt:
Es gilt:
mit Definition
Beweis:
Für
Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:
Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse
Erzeugende:
Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
Bei der y- Achse gilt:
Erzeugende:
Hier gewinnen wir die Drehmatrix:
Beliebige Drehungen um den Winkel
mit der Drehachse
Die Drehmatrizen
bilden nun eine 3- parametrige
, stetige, diffbare
und orthogonale Gruppe.
Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen
SO(3)
Mit
als Orthogonalitätsbedingung, so dass
und
zum Ausschluß von Raumspiegelungen.
Die Erzeugenden der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):
Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab !:
-> zyklische Permutation des Lieschen Produktes