Variationsprinzipien: Difference between revisions
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==Exkurs zur Variationsrechnung== | |||
# Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen | |||
:<math>\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)=\frac{d}{dx}f(x)\delta x=0</math> | |||
für beliebige Variationen | |||
:<math>\delta x\ne 0</math> | |||
:<math>\frac{d}{dx}f(x)=0</math> | |||
an x=x0 (Nullstelle) | |||
# Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen | |||
:<math>\delta f=f(x1+\delta x1,...)-f(x1,...)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}f(x)\delta {{x}_{i}}=0</math> | |||
für beliebige | |||
:<math>\delta {{x}_{i}}\ne 0</math> | |||
:<math>\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}=0</math> | |||
i=1...,N bei xi =xi0 (Nullstellen der Funktion) | |||
entsprechend: | |||
3. Extremum eines Funktionals | |||
f[x]=f[x(t)] | |||
:<math>\begin{align} | |||
& {{x}_{1}},...,{{x}_{N}}->x(t) \\ | |||
& \delta {{x}_{1}},...,\delta {{x}_{N}}->\delta x(t) \\ | |||
& \delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)} \\ | |||
\end{align}</math> Mit <math>\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math> | |||
als Funktionalableitung | |||
Beispiel : Integral als Funktional | |||
Sei | |||
:<math>f[x]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t))}</math> | |||
:<math>\delta f=f[x(t)+\delta x(t)]-f[x(t)]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ F(x(t)+\delta x(t))-F(x(t)) \right\}}</math> | |||
:<math>=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad \to \frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math> wegen <math>\delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)}</math> | |||
:<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad =0\ f\ddot{u}r\ beliebige\ \delta x(t)\ (Extremum)</math> | |||
Somit folgt jedoch wegen der Beliebigkeit der variierten x: | |||
:<math>\frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}=0</math> | |||
als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t) | |||
Bei Abhängigkeit von | |||
:<math>x,\dot{x}</math> | |||
: | |||
:<math>f[x,\dot{x}]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t),\dot{x}(t))}</math> | |||
:<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(x,\dot{x})}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}\delta x+\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\delta \dot{x} \right\}=}\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}} \right\}\delta x(t)}</math> | |||
Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen | |||
:<math>\delta x(t)</math>. | |||
Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t): | |||
:<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math> | |||
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Revision as of 14:17, 9 August 2011
65px|Kein GFDL | Der Artikel Variationsprinzipien basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=1}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
Idee
Die bisher betrachteten Variationen waren differenziell. Derart wurden sie beim d´Alembertschen Prinzip angewendet. (Differenzielle Variation:
Beim Hamiltonschen Prinzip dagegen wird die gesamte Bahn variiert:
Hat man also eine Bahn gefunden, so variiert man diese, indem eine beliebige, gänzlich von der ersten Bahn verschiedene Bahn betrachtet wird.
Lediglich Anfangs- und Endpunkt zu den Messzeiten und werden festgehalten.
Grundidee des Hamiltonschen Prinzips ist, dass die wirklich angenommene Bahn eine bestimmte Größe, nämlich die sogenannte Wirkung der Bahn, extremal macht.
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Exkurs zur Variationsrechnung
- Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen
für beliebige Variationen
an x=x0 (Nullstelle)
- Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen
für beliebige
i=1...,N bei xi =xi0 (Nullstellen der Funktion)
entsprechend:
3. Extremum eines Funktionals
f[x]=f[x(t)]
als Funktionalableitung
Beispiel : Integral als Funktional
Sei
Somit folgt jedoch wegen der Beliebigkeit der variierten x:
als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t)
Bei Abhängigkeit von
Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen
Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t):
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