Variationsprinzipien: Difference between revisions
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Die bisher betrachteten Variationen waren '''differenziell'''. Derart wurden sie beim '''d´Alembertschen Prinzip''' angewendet. (Differenzielle Variation: | Die bisher betrachteten Variationen waren '''differenziell'''. Derart wurden sie beim '''d´Alembertschen Prinzip''' angewendet. (Differenzielle Variation: | ||
<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}</math> | :<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}</math> | ||
Beim '''Hamiltonschen Prinzip''' dagegen wird die '''gesamte Bahn variiert''': | Beim '''Hamiltonschen Prinzip''' dagegen wird die '''gesamte Bahn variiert''': | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | :<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | ||
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Sei der Brechungsindex | Sei der Brechungsindex | ||
<math>n(\vec{r})=\frac{c}{{{c}_{0}}}</math> | :<math>n(\vec{r})=\frac{c}{{{c}_{0}}}</math> | ||
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<math>\delta \int\limits_{1}^{2}{ds}n(\vec{r})=0</math> | :<math>\delta \int\limits_{1}^{2}{ds}n(\vec{r})=0</math> | ||
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Beispiel: | Beispiel: | ||
<math>q(t)\to I[q]:=\int\limits_{t1}^{t2}{dt}F(q(t),\dot{q}(t),t)</math> | :<math>q(t)\to I[q]:=\int\limits_{t1}^{t2}{dt}F(q(t),\dot{q}(t),t)</math> | ||
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Suche ein q(t) derart, dass | Suche ein q(t) derart, dass | ||
<math>\delta I[q]=0</math> | :<math>\delta I[q]=0</math> | ||
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1. | 1. | ||
<math>q\acute{\ }(t)\in {{C}^{2}}</math> Die variierten Punkte stammen auch aus '''quadratintegrabelen komplexen Funktionen''' | :<math>q\acute{\ }(t)\in {{C}^{2}}</math> Die variierten Punkte stammen auch aus '''quadratintegrabelen komplexen Funktionen''' | ||
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<math>\delta q(t):=q\acute{\ }(t)-q(t)</math> differenzielle Variation. Die Zeit wird nicht variiert. | :<math>\delta q(t):=q\acute{\ }(t)-q(t)</math> differenzielle Variation. Die Zeit wird nicht variiert. | ||
3. | 3. | ||
<math>\delta t=0</math> | :<math>\delta t=0</math> | ||
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& q\acute{\ }({{t}_{1}})=q({{t}_{1}}) \\ | & q\acute{\ }({{t}_{1}})=q({{t}_{1}}) \\ | ||
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<math>\delta q({{t}_{1}})=\delta q({{t}_{2}})=0</math> | :<math>\delta q({{t}_{1}})=\delta q({{t}_{2}})=0</math> | ||
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<math>0=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(q,\dot{q},t)}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(q,\dot{q},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}}</math> | :<math>0=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(q,\dot{q},t)}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(q,\dot{q},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}}</math> | ||
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<math>\delta \dot{q}(t):=\dot{q}\acute{\ }(t)-\dot{q}(t)=\frac{d}{dt}(q\acute{\ }(t)-q(t))=\frac{d}{dt}\delta q</math> | :<math>\delta \dot{q}(t):=\dot{q}\acute{\ }(t)-\dot{q}(t)=\frac{d}{dt}(q\acute{\ }(t)-q(t))=\frac{d}{dt}\delta q</math> | ||
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<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\frac{d}{dt}\delta q \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q \right]}+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q{{\left. {} \right|}_{{{t}_{1}}}}^{{{t}_{2}}}</math> | :<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\frac{d}{dt}\delta q \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q \right]}+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q{{\left. {} \right|}_{{{t}_{1}}}}^{{{t}_{2}}}</math> | ||
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<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}} \right]\delta q}=0</math> | :<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}} \right]\delta q}=0</math> | ||
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<math>\delta I[q]=0</math> | :<math>\delta I[q]=0</math> | ||
Neben der Einführung einer bijektiven Abbildung zwischen Bahnpunkten bund variierten Punkten ergibt sich auch die leichte Möglichkeit der Ableitung durch Einführung eines Variationsparameters: | Neben der Einführung einer bijektiven Abbildung zwischen Bahnpunkten bund variierten Punkten ergibt sich auch die leichte Möglichkeit der Ableitung durch Einführung eines Variationsparameters: | ||
<math>\alpha </math> | :<math>\alpha </math> | ||
: | : | ||
<math>q(t,\alpha )=q(t)+\alpha \eta (t)</math> | :<math>q(t,\alpha )=q(t)+\alpha \eta (t)</math> | ||
Die konkurrierende Funktion wird durch den Parameter | Die konkurrierende Funktion wird durch den Parameter | ||
<math>\alpha </math> | :<math>\alpha </math> | ||
bei festem | bei festem | ||
<math>\eta (t)</math> | :<math>\eta (t)</math> | ||
parametrisiert. | parametrisiert. | ||
Line 145: | Line 145: | ||
# Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen | # Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen | ||
<math>\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)=\frac{d}{dx}f(x)\delta x=0</math> | :<math>\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)=\frac{d}{dx}f(x)\delta x=0</math> | ||
für beliebige Variationen | für beliebige Variationen | ||
<math>\delta x\ne 0</math> | :<math>\delta x\ne 0</math> | ||
<math>\frac{d}{dx}f(x)=0</math> | :<math>\frac{d}{dx}f(x)=0</math> | ||
an x=x0 ( Nullstelle) | an x=x0 ( Nullstelle) | ||
Line 159: | Line 159: | ||
<math>\delta f=f(x1+\delta x1,...)-f(x1,...)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}f(x)\delta {{x}_{i}}=0</math> | :<math>\delta f=f(x1+\delta x1,...)-f(x1,...)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}f(x)\delta {{x}_{i}}=0</math> | ||
für beliebige | für beliebige | ||
<math>\delta {{x}_{i}}\ne 0</math> | :<math>\delta {{x}_{i}}\ne 0</math> | ||
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i=1...,N bei xi =xi0 ( Nullstellen der Funktion) | i=1...,N bei xi =xi0 ( Nullstellen der Funktion) | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{x}_{1}},...,{{x}_{N}}->x(t) \\ | & {{x}_{1}},...,{{x}_{N}}->x(t) \\ | ||
& \delta {{x}_{1}},...,\delta {{x}_{N}}->\delta x(t) \\ | & \delta {{x}_{1}},...,\delta {{x}_{N}}->\delta x(t) \\ | ||
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Sei | Sei | ||
<math>f[x]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t))}</math> | :<math>f[x]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t))}</math> | ||
<math>\delta f=f[x(t)+\delta x(t)]-f[x(t)]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ F(x(t)+\delta x(t))-F(x(t)) \right\}}</math> | :<math>\delta f=f[x(t)+\delta x(t)]-f[x(t)]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ F(x(t)+\delta x(t))-F(x(t)) \right\}}</math> | ||
<math>=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad \to \frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math> wegen <math>\delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)}</math> | :<math>=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad \to \frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math> wegen <math>\delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)}</math> | ||
<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad =0\ f\ddot{u}r\ beliebige\ \delta x(t)\ (Extremum)</math> | :<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad =0\ f\ddot{u}r\ beliebige\ \delta x(t)\ (Extremum)</math> | ||
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<math>\frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}=0</math> | :<math>\frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}=0</math> | ||
als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t) | als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t) | ||
Bei Abhängigkeit von | Bei Abhängigkeit von | ||
<math>x,\dot{x}</math> | :<math>x,\dot{x}</math> | ||
: | : | ||
<math>f[x,\dot{x}]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t),\dot{x}(t))}</math> | :<math>f[x,\dot{x}]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t),\dot{x}(t))}</math> | ||
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Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen | Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen | ||
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==Siehe auch== | ==Siehe auch== | ||
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Revision as of 17:29, 12 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Variationsprinzipien basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=1}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
Idee
Die bisher betrachteten Variationen waren differenziell. Derart wurden sie beim d´Alembertschen Prinzip angewendet. (Differenzielle Variation:
Beim Hamiltonschen Prinzip dagegen wird die gesamte Bahn variiert:
Hat man also eine Bahn gefunden, so variiert man diese, indem eine beliebige , gänzlich von der ersten Bahn verschiedene Bahn betrachtet wird.
Lediglich Anfangs- und Endpunkt zu den Messzeiten und werden festgehalten.
Grundidee des Hamiltonschen Prinzips ist, dass die wirklich angenommene Bahn eine bestimmte Größe, nämlich die sogenannte Wirkung der Bahn, extremal macht.
Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung
Sei I : C² - > R ein Funktional
Beispiel:
Die Funktion q(t) sollte zweimal stetig differenzierbar und reell sein. ( Bahnkurve mit existierender Geschwindigkeit und Beschleunigung).
Die Aufgabe lautet nun:
Suche ein q(t) derart, dass
Das Funktional sollte also in q(t) extremal werden. Sprich, Maximum, Minimum oder Sattelpunkt aufweisen.
Die Variierten Bahnen
Eine Variierte Bahn ist dann eine Bahn, die zu jeder Zeit t mit t1<t<t2 ( eigentlich kleiner gleich) dem Punkt q(t) auf der reellen Bahn einen variierten Bezugspunkt q´(t) auf der variierten Bahn zuordnet.
Dabei gilt:
1.
2.
3.
4.
5.
Da die Variation der Integrationsgrenzen verschwindet kann Integration und Variation vertauscht werden:
Die letzte Identität gilt, da die Variation nicht auf die Zeit bezogen werden muss ( Zeit wird nicht variiert).
Für die variierte Geschwindigkeit gilt:
Also folgt mit Hilfe partieller Integration
Da jedoch die Variation an den Grenzen t1 und t2 verschwindet gilt:
Da q jedoch völlig frei variierbar ist:
Dies ist die verallgemeinerte Euler-Lagrange- Gleichung der Variationsrechnung|Euler-Lagrange-Gleichung]]
Diese Differenzialgleichung ist äquivalent zum Integralprinzip
Neben der Einführung einer bijektiven Abbildung zwischen Bahnpunkten bund variierten Punkten ergibt sich auch die leichte Möglichkeit der Ableitung durch Einführung eines Variationsparameters:
Die konkurrierende Funktion wird durch den Parameter
bei festem
parametrisiert.
Weitere Möglichkeiten sind zu finden unter „direkte Methoden der Variationsrechnung"
Exkurs zur Variationsrechnung
- Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen
für beliebige Variationen
an x=x0 ( Nullstelle)
- Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen
für beliebige
i=1...,N bei xi =xi0 ( Nullstellen der Funktion)
entsprechend:
3. Extremum eines Funktionals
f[x]=f[x(t)]
als Funktionalableitung
Beispiel : Integral als Funktional
Sei
Somit folgt jedoch wegen der Beliebigkeit der variierten x:
als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t)
Bei Abhängigkeit von
Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen
.
Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t):
Siehe auch
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