Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=3}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

( Schrödinger)

Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:

${\hat {H}}\left|\Psi \right\rangle =E\left|\Psi \right\rangle$

muss berechnet werden, wobei

${\hat {H}}={{\hat {H}}_{0}}+{{\hat {H}}^{1}}$

durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.

Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters $\varepsilon$

linear entwickelt werden kann:

${{\hat {H}}_{1}}=\varepsilon {\hat {V}}$

( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)

Das ungestörte Problem schreibt sich:

${{\hat {H}}_{0}}\left|n\right\rangle ={{E}_{n}}^{(0)}\left|n\right\rangle$

Für kleine $\varepsilon$

sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von ${\hat {H}}$

entwickeln lassen:

${\begin{aligned}&{{E}_{k}}={{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+...\\&\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle +\varepsilon \left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left|{{\Psi }_{k}}^{(2)}\right\rangle +...\\\end{aligned}}$

Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen !

Also:

$\left({{\hat {H}}_{0}}+\varepsilon {\hat {V}}\right)\left(\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle +\varepsilon \left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +{{\varepsilon }^{2}}\left|{{\Psi }_{k}}^{(2)}\right\rangle +..\right)=\left({{E}_{k}}^{(0)}+\varepsilon {{E}_{k}}^{(1)}+{{\varepsilon }^{2}}{{E}_{k}}^{(2)}+..\right)\left(\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle +\varepsilon \left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +..\right)$

Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung ${{\varepsilon }^{f}}$

vergleichen:

f=0

${{\hat {H}}_{0}}\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle ={{E}_{k}}^{(0)}\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

ungestörtes Problem

f=1

$\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left(\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle \right)=\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

1. Näherung

f=2

$\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(2)}\right\rangle =\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

... -> Rekursionsformeln

Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....

Aus f=0: $\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle =\left|k\right\rangle$

Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:

Wir entwickeln nach der ungestörten Basis $\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =\sum \limits _{n}{}\left|n\right\rangle \left\langle n|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle$

und setzen dies in $\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left(\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle \right)=\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right)\left|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle$

ein:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{n}{}\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|n\right\rangle \left\langle n|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right)\left|k\right\rangle \\&\left({{\hat {H}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|n\right\rangle =\left({{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left|n\right\rangle \\\end{aligned}}$

Skalarprodukt mit $\left\langle l\right|\to \left\langle l|n\right\rangle ={{\delta }_{\ln }}$

"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:

$\left({{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)}\right)\left\langle l|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =\left({{E}_{k}}^{(1)}-{\hat {V}}\right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l\right|{\hat {V}}\left|k\right\rangle$

Somit haben wir für l=k

die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:

${{E}_{k}}^{(1)}=\left\langle k\right|{\hat {V}}\left|k\right\rangle$

und für $l\neq k$

ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:

$\left\langle l|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle ={\frac {\left\langle l\right|{\hat {V}}\left|k\right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}}$

$\left\langle k|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle$

wird durch Normierung festgelegt:

${\begin{aligned}&1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}}|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)}|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle +\varepsilon \left(\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)}|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)}|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(....\\&\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)}|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle =1\\\end{aligned}}$

Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:

${\begin{aligned}&\left(\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)}|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)}|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle \right)=0\\&(....=0\\\end{aligned}}$

usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von $\varepsilon$

Also für die erste Ordnung:

${\begin{aligned}&\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)}|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)}|{{\Psi }_{k}}^{(0)}\right\rangle \\&\left\langle k|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)}|k\right\rangle \equiv -\left\langle k\right|{{\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle }^{*}}\\\end{aligned}}$

Fazit:

$\left\langle k|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =i\gamma$

mit $\gamma \in R$

Wegen

${{e}^{i\varepsilon \gamma }}\approx 1+i\varepsilon \gamma +O({{\varepsilon }^{2}})$

ändert der Term ${\tilde {\ }}\gamma$

die Phase von $\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle$

relativ zu $\left|k\right\rangle$

in der Entwicklung $\left|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =\left|k\right\rangle \left(1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum \limits _{n\neq k}{}\left|n\right\rangle \left\langle n|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})$

.

Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :

${\begin{aligned}&\left\langle k|{{\Psi }_{k}}\right\rangle =1\\&\Rightarrow \gamma =0\\\end{aligned}}$

Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:

$\left|{{\Psi }_{k}}^{(1)}\right\rangle =\sum \limits _{n\neq k}{}\left|n\right\rangle {\frac {\left\langle n\right|{\hat {V}}\left|k\right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{n}}^{(0)}}}$

Voraussetzung: ${{E}_{k}}^{(0)}\neq {{E}_{n}}^{(0)}$

(keine Entartung)