Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung: Difference between revisions
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Aus '''f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:''' | Aus '''f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:''' | ||
Wir entwickeln nach der ungestörten Basis <math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | Wir entwickeln nach der ungestörten Basis <math>\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\sum\limits_{n}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math> | ||
und setzen dies in <math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | und setzen dies in <math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left( \left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle \right)=\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | ||
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<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle n | & \sum\limits_{n}{{}}\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| k \right\rangle \\ | ||
& \left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle =\left( {{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \\ | & \left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle =\left( {{E}_{n}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| n \right\rangle \\ | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right|\to \left\langle l | Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right|\to \left\langle l | n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math> | ||
"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus: | "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus: | ||
<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l | <math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> | ||
Somit haben wir für l=k | Somit haben wir für l=k | ||
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ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor: | ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor: | ||
<math>\left\langle l | <math>\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\frac{\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle }{{{E}_{k}}^{(0)}-{{E}_{l}}^{(0)}}</math> | ||
<math>\left\langle k | <math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle </math> | ||
wird durch Normierung festgelegt: | wird durch Normierung festgelegt: | ||
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<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} | & 1=!=\left\langle {{\Psi }_{k}} | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle +\varepsilon \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)+{{\varepsilon }^{2}}(.... \\ | ||
& \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | & \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle =1 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
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<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | & \left( \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \right)=0 \\ | ||
& (....=0 \\ | & (....=0 \\ | ||
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<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | & \left\langle {{\Psi }_{k}}^{(0)} | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle \\ | ||
& \left\langle k | & \left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =-\left\langle {{\Psi }_{k}}^{(1)} | k \right\rangle \equiv -\left\langle k \right|{{\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle }^{*}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
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Fazit: | Fazit: | ||
<math>\left\langle k | <math>\left\langle k | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =i\gamma </math> | ||
mit <math>\gamma \in R</math> | mit <math>\gamma \in R</math> | ||
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relativ zu <math>\left| k \right\rangle </math> | relativ zu <math>\left| k \right\rangle </math> | ||
in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math> | ||
. | . | ||
Line 164: | Line 164: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \left\langle k | & \left\langle k | {{\Psi }_{k}} \right\rangle =1 \\ | ||
& \Rightarrow \gamma =0 \\ | & \Rightarrow \gamma =0 \\ |
Revision as of 19:18, 11 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=3}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__
( Schrödinger)
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
muss berechnet werden, wobei
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters
linear entwickelt werden kann:
( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !)
Das ungestörte Problem schreibt sich:
sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von
entwickeln lassen:
Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen !
Also:
Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung
vergleichen:
f=0
ungestörtes Problem
f=1
1. Näherung
f=2
... -> Rekursionsformeln
Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....
Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:
Wir entwickeln nach der ungestörten Basis
ein:
"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus:
Somit haben wir für l=k
die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:
ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:
wird durch Normierung festgelegt:
Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:
usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von
Also für die erste Ordnung:
Fazit:
Wegen
.
Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :
Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:
(keine Entartung)