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| und <math>{{\hat{L}}^{2}}</math> | | und <math>{{\hat{L}}^{2}}</math> |
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| '''Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):<math>'''\begin{align} | | '''Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):<math>'''\begin{align} |
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| Nun: | | Nun: |
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| Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen ( nötig für Quantisierung → Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen ! | | Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen (nötig für Quantisierung → Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen! |
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| Aber: <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> | | Aber: <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> |
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| bekommt man dagegen dann einen Ersatz für <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> | | bekommt man dagegen dann einen Ersatz für <math>{{\hat{L}}_{1}},{{\hat{L}}_{2}}</math> |
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| | der mit <math>{{\hat{L}}^{2}}</math> |
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| , der mit <math>{{\hat{L}}^{2}}</math>
| | vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)(hinsichtlich des Drehimpulsproblems) (3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles! |
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| vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)( hinsichtlich des Drehimpulsproblems) ( 3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors ! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles ! | |
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| Allerdings sind <math>{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math> | | Allerdings sind <math>{{\hat{L}}_{+}},{{\hat{L}}_{-}}</math> |
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| und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> | | und <math>{{\hat{L}}_{3}}</math> |
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| | wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die dritte aus. |
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| , wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die dritte aus.
| | Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren! |
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| Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren ! | |
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| ====Eigenwerte und Eigenzustände==== | | ====Eigenwerte und Eigenzustände==== |
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| um <math>\hbar </math> | | um <math>\hbar </math> |
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| → wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken ! | | → wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken! |
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| Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem <math>{{b}_{0}}</math> | | Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem <math>{{b}_{0}}</math> |
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| erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math> | | erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\hat{L}}_{l}}</math> |
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| , besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math>
| | besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:<math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math> |
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| . Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. ( siehe oben).
| | Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. (siehe oben). |
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| Also bedingt der Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math> | | Also bedingt der Kommutator <math>\left[ {{{\hat{L}}}_{j}},{{{\hat{L}}}_{k}} \right]=i\hbar {{\varepsilon }_{jkl}}{{\hat{L}}_{l}}</math> |
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| soll berechnet werden | | soll berechnet werden |
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| '''Nebenbemerkung: ''' Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses ! | | '''Nebenbemerkung: ''' Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses! |
Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
65px|Kein GFDL
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Der Artikel Drehimpuls- Eigenzustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=1}}
Kategorie:Quantenmechanik
__SHOWFACTBOX__
Drehimpulsoperator:
In Komponenten:
ist hermitesch:
Vertauschungs- Relationen:
Allgemein:
mit (jkl) zyklisch
Schreibt man dies mit dem Epsilon- Tensor, so gilt einfacher:
mit (jkl) zyklisch
Wegen
also kann es keine gemeinsamen Eigenvektoren zu je zwei Drehimpulskomponenten geben.
Aber:
für k = 1,2,3
Beweis: Übung
Merke:
Es gibt also gemeinsame Eigenvektoren zu EINEM Lk, konventionshalber
und
.
Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):
nicht hermitesch
Es gilt vielmehr:
Vertauschungsrelationen
L+- Form und adjungierte Form.
Auch dies kann verallgemeinert werden:
Beweis: Durch vollständige Induktion:
Für n = 1 gezeigt. Sei es nun richtig für ein n größer/gleich 1
Dann:
Weiter gilt:
Mittels
gelingt die Zerlegung von
in mit
vertauschbare Operatoren
Warum ?
Nun:
Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen (nötig für Quantisierung → Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen!
Aber:
scheiden aus. Mittels
bekommt man dagegen dann einen Ersatz für
,
der mit
vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)(hinsichtlich des Drehimpulsproblems) (3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles!
Allerdings sind
keine Observablen, sondern die Erzeugenden für höhere Drehimpulszustände.
Die möglichen Observablen sind
und
,
wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die dritte aus.
Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren!
Eigenwerte und Eigenzustände[edit | edit source]
Die gemeinsamen normierten Eigenvektoren
von
und
gehorchen den Eigenwertgleichungen
Prinzipiell: Für alle Observablen müssen wir Quantenzahlen einführen. Zum formalen Vorgehen schreibt man diese Quantenzahlen einfach in einen Zustandsvektor. Diese Quantenzahlen sind Eigenwerte der Observablen, also mögliche Messwerte. Unser formaler Zustand aus Quantenzahlen ist per Definition ein Eigenvektor zu diesen Quantenzahlen.
Dann muss man nur noch Bedingungen finden, die aus der Eigenwertgleichung Information liefern, die herangezogen werden kann, um die Quantenzahlen einzuschränken bzw. zu bestimmen.
Bei uns gilt:
Da
hermitesch ist, gilt:
Weiter gilt:
sind auch Eigenzustände zu
und
Vorsicht:
sind keine Eigenzustände zu
aber
sind Eigenzustände zu
und
Beweis:
Also:
Das bedeutet:
erhöhen/ erniedrigen den Eigenwert von
um
.
→ wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken!
Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem
liefert:
Das Spektrum von
ist nach oben und nach unten beschränkt:
Also existiert ein größter Eigenwert
und ein kleinster Eigenwert
mit
Daraus folgt:
Also:
Andererseits existiert ein
mit
Also:
Setzt man dies in
ein, so folgt:
mit
Somit:
Mögliche Eigenwerte von
Mögliche Eigenwerte von
für festes l:
mit
m=-l → gehört zu bmin
m=+l → gehört zu b max
Es können keine weiteren Eigenwerte von
zwischen diesen Werten liegen, weil man sonst durch wiederholte Anwendung von
bzw.
die Schranken
verletzen könnte.
Zu jedem l gibt es
Werte von m:
Dies entspricht der energetisch gleichen
- fachen Richtungsentartung von
welche von außen, z.B. durch Magnetfelder, aufgehoben werden kann.
Die Tatsache, dass
bzw.
den Drehimpulseigenzustand jeweils exakt um
erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator
,
besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:
.
Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. (siehe oben).
Also bedingt der Kommutator
die Drehimpulsquantisierung.
Tabelle:
Quanten- zahlen
Eigenwert von
Richtungsquantenzahl m
l
m
0
0
0
1
Diracsches Vektormodell:
Darstellung der Richtungsquantisierung:
m=1/2 → Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse
m=-1/2 → der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse
Zur Übung ist zu zeigen:
für i=1,2
soll berechnet werden
Nebenbemerkung: Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses!