Die Quantisierung

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Die Quantisierung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=4}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Physikalische Observablen -à hermitesche Operatoren im Hilbertraum

z.B. Ort: $x\to \hat{x}$

Geschwindigkeit: $\dot{x}\to \dot{\hat{x}}:=\frac{{\hat{p}}_{kin}}{m}=\frac{\hat{p}-e\overline{A}}{m}$

hat nichts mehr mit der Zeitableitung von x zu tun !

Dabei existieren in der Quantenmechanik auch nichtklassische Observablen:

1. Parität: $\hat{P}$

als der Spiegeloperator.

Der Spiegeloperator ist in der Ortsdarstellung definiert durch $\begin{array}{ll}& \hat{P}\mathrm{\Psi }(\overline{r})=\mathrm{\Psi }(-\overline{r})\\ & \hat{P}|\overline{r}⟩=|-\overline{r}⟩\\ \end{array}$

Dies kann jedoch bedeuten: $\hat{P}|\mathrm{\Psi }⟩=\pm |\mathrm{\Psi }⟩$

mit dem Pluszeichen für symmetrische und dem Minus für antisymmetrische Zustände.

Die Eigenwerte des Paritätsoperator sind $\pm 1$ .

Es gilt: $\begin{array}{ll}& {\hat{P}}^2=1\\ & {\hat{P}}^{-1}={\hat{P}}^{+}=\hat{P}\\ \end{array}$

2. Der Projektionsoperator. Er löst die Frage: Ist das System im Zustand $|\mathrm{\Psi }⟩$

?

Der Projektionsoperator lautet:

${\hat{P}}_{\mathrm{\Psi }}:=|\mathrm{\Psi }⟩⟨\mathrm{\Psi }|$

Die grundsätzliche Definition eines Projektionsoperators ist lediglich ${\hat{P}}_{\mathrm{\Psi }}\cdot {\hat{P}}_{\mathrm{\Psi }}={\hat{P}}_{\mathrm{\Psi }}$

Die Wirkung:

${\hat{P}}_{\mathrm{\Psi }}|\mathrm{\Psi }⟩=|\mathrm{\Psi }⟩⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Psi }⟩=|\mathrm{\Psi }⟩1=|\mathrm{\Psi }⟩$

Eigenwert +1

${\hat{P}}_{\mathrm{\Psi }}|\mathrm{\Phi }⟩=|\mathrm{\Psi }⟩⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩=0$

Eigenwert 0, falls $|\mathrm{\Phi }⟩\mathrm{\perp }|\mathrm{\Psi }⟩$

Befindet sich ein Zustand $|\mathrm{\Phi }⟩$

teilweise im Zustand $|\mathrm{\Psi }⟩$ ,

so gilt:

${\hat{P}}_{\mathrm{\Psi }}|\mathrm{\Phi }⟩=|\mathrm{\Psi }⟩⟨\mathrm{\Psi }|\mathrm{\Phi }⟩=c|\mathrm{\Psi }⟩$

Dabei ist c eine Wahrscheinlichkeitsamplitude für das Antreffen des Zustands $|\mathrm{\Psi }⟩$

in $|\mathrm{\Phi }⟩$ ,

also die Wurzel des Anteils von $|\mathrm{\Phi }⟩$

in $|\mathrm{\Psi }⟩$

Vertauschungsrelationen

Das Operatorkalkül ermöglicht die Beschreibung mit nicht vertauschbaren Observablen:

$[\hat{F},\hat{G}]=0\iff$

$\hat{F}$

und $\hat{G}$

besitzen ein gemeinsames System von Eigenzuständen

$[\hat{F},\hat{G}]=0\iff$

Observablen F und G sind gleichzeitig scharf meßbar

$[\hat{F},\hat{G}]\ne 0\iff$

Observablen F und G sind NICHT gleichzeitig scharf meßbar.

Quantisierung = Aufstellung von Vertauschungsrelationen

Es gelten die kanonischen Vertauschungsrelationen:

$\begin{array}{ll}& [{\hat{p}}_i,{\hat{x}}_k]=\frac{\hslash }{i}{\delta }_{ik}1\\ & [{\hat{p}}_i,{\hat{p}}_k]=[{\hat{x}}_i,{\hat{x}}_k]=0\\ \end{array}$

i=1,2,3 kartesische Koordinaten

Übungsweise kann man zeigen:

$\begin{array}{ll}& [\hat{p},T]=?\\ & [F,{\hat{x}}_k]=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial F}{\partial p_k}\\ & [F,{\hat{p}}_k]=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial F}{\partial x_k}\\ \end{array}$

Berechnung in der Ortsdarstellung:

$[{\hat{p}}_i,{\hat{x}}_k]\mathrm{\Psi }(\overline{r})=\frac{\hslash }{i}{\partial }_i(x_k\mathrm{\Psi })-x_k\frac{\hslash }{i}{\partial }_i\mathrm{\Psi }=\frac{\hslash }{i}{\delta }_{ik}\mathrm{\Psi }$

Nebenbemerkung: Hieraus können alle weiteren Kommutatoren berechnet werden.

Der Meßprozeß:

$|\mathrm{\Phi }⟩-1.MessungvonF\to |\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}⟩-2.MessungvonF\to |\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}⟩$

Dabei ändert sich der Zustand durch die Wechselwirkung mit dem Messapparat.

Die Messwerte sind F´ in $|\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}⟩$

und F´´in $|\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}⟩$ .

Forderung: F´ = F ´´

→$F\stackrel{´}{}=F\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=F_n$

(Eigenwert)

$|\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}⟩$

=$|\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}⟩$

=$|n⟩$

Eigenzustand zu $\hat{F}$

Also: $|\mathrm{\Phi }⟩\to |n⟩$

Der beliebige Zustand wird durch die Messung auf einen Eigenzustand projiziert.

Man spricht von einer Reduktion des Zustandsvektors durch die Messung.

Beispiel: Stern- Gerlach - Apparatur:

Von links kommt ein Ensemble von Teilchen mit dem magnetischen Moment mz.

Dabei kennzeichnet rechts $|-1⟩$

den Eigenzustand zu mz = -1

Erwartungswert = Mittelwert über viele Messungen mit identisch präparierten Ausgangszuständen $|\mathrm{\Psi }⟩$

$\begin{array}{ll}& ⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _{n,n\stackrel{´}{}}^{}⟨\mathrm{\Psi }|n⟩⟨n|\hat{F}|n\stackrel{´}{}⟩⟨n\stackrel{´}{}|\mathrm{\Psi }⟩\\ & ⟨n|\hat{F}|n\stackrel{´}{}⟩=F_n{\delta }_{nn\stackrel{´}{}}\\ & \Rightarrow ⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩=\sum _n^{}{F}_n{\left|⟨n|\mathrm{\Psi }⟩\right|}^2\\ \end{array}$

Mit der Wahrscheinlichkeit, im Zustand $|\mathrm{\Psi }⟩$ (vor der Messung) den Messwert Fn zu messen:

$p(F_n)={\left|⟨n|\mathrm{\Psi }⟩\right|}^2$

Vergleiche dazu: Aufenthaltswahrscheinlichkeit in Ortsdarstellung:

$p(\overline{r})={|\mathrm{\Psi }(\overline{r})|}^2={\left|⟨\overline{r}|\mathrm{\Psi }⟩\right|}^2$

Wie wir bereits kennengelernt haben, läßt sich mit dem Projektionsoperator schreiben:

${\left|⟨n|\mathrm{\Psi }⟩\right|}^2=⟨\mathrm{\Psi }|n⟩⟨n|\mathrm{\Psi }⟩=⟨\mathrm{\Psi }|{\hat{P}}_n|\mathrm{\Psi }⟩=⟨{\hat{P}}_n⟩$

Maximalmessung:

Es können nicht ALLE Observablen gleichzeitig scharf gemessen werden. Gleichzeitige Messung eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen heißt MAXIMALMESSUNG. Vollständig heißt: Der Satz kann durch keine weiteren unabhängigen Observablen ergänzt werden. Das heißt: Die gemeinsamen Eigenzustände sind auch nicht entartet! Bei Entartung: weitere vertauschbare Operatoren hinzufügen, bis die gemeinsamen Eigenräume eindimensional sind der Zustand $|n,\alpha ,...⟩$ ist durch Maximalmessung vollständig bestimmt. Spezialfall: Falls Energie- Eigenwerte nicht entartet sind (z.B. gebundene eindimensionale Zustände), so ist der HAMILTON- OPERATOR $\hat{H}$ eine vollständige Observable Bei Entartung: Weitere, mit $\hat{H}$ vertauschbare Observable hinzufügen (z.B. Drehimpuls, vergl. Kapitel 3) Der Hilbertraum H eines physikalischen Systems wird durch die gemeinsamen Eigenvektoren (Basis) eines vollständigen Satzes vertauschbarer Observablen aufgespannt. Nichtvertauschbarkeit und Unschärfe Seien $\hat{F}$ und $\hat{G}$ hermitesche Operatoren und $|\mathrm{\Psi }⟩$ ein beliebiger Zustand.

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\Delta }\hat{F}:=\hat{F}-⟨\hat{F}⟩\\ & \mathrm{\Delta }\hat{G}:=\hat{G}-⟨\hat{G}⟩\\ \end{array}$

sind ebenfalls hermitesche Operatoren Bilde:

$\begin{array}{ll}& f(\lambda ):=⟨(\mathrm{\Delta }\hat{F}+i\lambda \mathrm{\Delta }\hat{G})(\mathrm{\Delta }\hat{F}-i\lambda \mathrm{\Delta }\hat{G})⟩\\ & =⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{F}\right)}^2⟩-i\lambda ⟨[\mathrm{\Delta }\hat{F},\mathrm{\Delta }\hat{G}]⟩+{\lambda }^2⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{G}\right)}^2⟩\\ & ⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{F}\right)}^2⟩:=\alpha \ge 0\\ & ⟨[\mathrm{\Delta }\hat{F},\mathrm{\Delta }\hat{G}]⟩:=\beta \\ & ⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{G}\right)}^2⟩:=\gamma \ge 0\\ \end{array}$

Dies ist eine quadratische Funktion von $\lambda$ mit$f(\lambda )\to \mathrm{\infty }$ für $\lambda \to \mathrm{\infty }$

Lemma: Für hermitesche Operatoren $\hat{F}$ und $\hat{G}$ gilt:

$\begin{array}{ll}& ⟨\hat{A}\hat{A}⟩\ge 0\\ & {⟨i\hat{A}⟩}^{+}=-⟨i\hat{A}⟩\\ & ⟨\hat{A}\hat{B}⟩*=⟨\hat{B}\hat{A}⟩\\ \end{array}$

Mit $\hat{Q}:=\mathrm{\Delta }\hat{F}-i\lambda \mathrm{\Delta }\hat{G}\Rightarrow {\hat{Q}}^{+}:=\mathrm{\Delta }\hat{F}+i\lambda \mathrm{\Delta }\hat{G}$

Suche nach dem Minimum:

$\begin{array}{ll}& f\stackrel{´}{}(\lambda )=-i\beta +2\lambda \gamma =0\\ & \Rightarrow {\lambda }_0=\frac{i}{2}\frac{\beta }{\gamma }\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& ⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{F}\right)}^2⟩:=\alpha \ge 0\\ & ⟨[\mathrm{\Delta }\hat{F},\mathrm{\Delta }\hat{G}]⟩:=\beta \\ & ⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{G}\right)}^2⟩:=\gamma \ge 0\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& f({\lambda }_0)=\alpha +\frac{{\beta }^2}{2\gamma }-\frac{{\beta }^2}{4\gamma }=\alpha +\frac{{\beta }^2}{4\gamma }\ge 0\\ & {\beta }^2={⟨[\mathrm{\Delta }\hat{F},\mathrm{\Delta }\hat{G}]⟩}^2={⟨[\hat{F},\hat{G}]⟩}^2=-⟨[\hat{G},\hat{F}]⟩⟨[\hat{F},\hat{G}]⟩=-⟨[\hat{F},\hat{G}]⟩*⟨[\hat{F},\hat{G}]⟩=-{\left|⟨[\hat{F},\hat{G}]⟩\right|}^2\\ & \Rightarrow ⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{F}\right)}^2⟩⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{G}\right)}^2⟩\ge \frac{1}{4}{\left|⟨[\hat{F},\hat{G}]⟩\right|}^2\\ \end{array}$

Somit jedoch ergibt sich die quantenmechanische Unschärfe gemäß

$\sqrt{⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{F}\right)}^2⟩⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{G}\right)}^2⟩}\ge \frac{1}{2}\left|⟨[\hat{F},\hat{G}]⟩\right|$

(Unschärferelation)

Speziell:

$\begin{array}{ll}& [\hat{p},\hat{x}]=\frac{\hslash }{i}1\\ & \sqrt{⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{p}\right)}^2⟩⟨{\left(\mathrm{\Delta }\hat{x}\right)}^2⟩}\ge \frac{1}{2}\left|⟨[\hat{p},\hat{x}]⟩\right|=\frac{\hslash }{2}\\ \end{array}$

Heisenbergsche Unschärferelation für die Orts- und Impulsunschärfe Zusammenfassung Der Zustand des Systems wird im Zustandsvektor $|\mathrm{\Psi }⟩$ ausgedrückt Die Observable F wird dargestellt durch den hermiteschen Operator $\hat{F}$.

Die Mittelwerte von Observablen ergeben sich als Erwartungswert $⟨\mathrm{\Psi }|\hat{F}|\mathrm{\Psi }⟩$

Die Messung von F liefert einen Messwert, welcher immer Eigenwert der Observablen ist, also Fn. Der Zustand wird dabei auf einen Eigenzustand reduziert: $|\mathrm{\Psi }⟩\to |n⟩$

Die Zeitentwicklung der Zustände wird durch die Schrödingergleichung beschrieben:

$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}|\mathrm{\Psi }⟩=\hat{H}|\mathrm{\Psi }⟩$

Nebenbemerkung: Die Quantenmechanik ist keine Wellen- oder Teilchenmechanik sondern eine Zustandsmechanik. Der Dualismus zwischen Welle und Teilchen wird in einem einheitlichen Formalismus aufgelöst.