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Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Kategorie:Quantenmechanik
__SHOWFACTBOX__
Stetigkeitsbedingung:
Bei stückweise stetigem Potenzial ( Sprünge sind erlaubt, dürfen aber nicht die Regel sein). Außerdem ist das Potenzial ansonsten beliebig, sind
stetig.
Die eindimensionale Zeitunabhängige Schrödingergleichung lautet:
Das Potenzial habe nun einen Sprung bei x=xo:
Wäre nun
unstetig an der Stelle x=xo, so ergebe sich:
. Die rechte Seite der Schrödingergleichung ist jedoch an jedem Punkt beschränkt ( die Wellenfunktion selbst muss normierbar sein). Somit ergibt sich ein Widerspruch.
Oft ist es zweckmäßig die sogenannte Eigenableitung zu verwenden. Diese logarithmische Ableitung ist stetig:
( Eigenableitung = logarithmische Ableitung):
Für ein
- förmiges Potenzial gilt:
:
ist stetig
hat endlichen Sprung bei x0
Charakterisierung des Energiespektrums
Gegeben sei ein stückweise stetiges, nach unten beschränktes Potenzial mit
Für den Bereich
( klassische verboten), gilt:
Also für den Fall
ist die Krümmung konvex und für
(zweite mögliche Alternative) ist die Krümmung konkav.
Jedenfalls ist die Wellenfunktion von der x- Achse "weggekrümmt", also allgemein gesprochen "divergent":
Dies ist deutlicher zu erkennen, wenn man Potenziale einzeichnet, die hier größer sind als die Energie: Es gibt immer exponentielle Dämpfung in derartigen Fällen:
Im Bereich
gilt:
. Dieser Bereich ist auch klassisch erlaubt. Hier ist die Krümmung stets zur x- Achse hin, also im Wesentlichen oszillierend:
Damit können wir unsere Eigenfunktionen klassifizieren:
1)
: Die Energie liegt überall unterhalb des Potenzials ->
divergiert nach
. Keine Lösung existiert !
: Es existieren gebundene Zustände;
- bei symmetrischem ( vollkommen rotationssymmetrisch) Potenzial V existiert mindestens ein gebundener Zustand
-> eindimensionale Potenzialtöpfe sind immer vollkommen rotationssymmetrisch ! -> es existiert immer ein gebundener Zustand.
Dies ist anders bei 2- / 3- dimensionalen Potenzialtöpfen ! Wenn diese nicht vollständig rotationssymmetrisch sind, kann es sein, dass kein Zustand existiert, wenn die Töpfe flach genug sind !
entartet heißt: zu einem Eigenwert gehören mehrere, linear unabhängige Eigenfunktionen !
Beweis des Knotensatzes
Zu JEDEM E existiert genau eine Lösung
der Gleichung
mit
( Bilde z.B. Linearkombination von 2 linear unabhängigen Lösungen).
Dies gilt natürlich nur im nicht entarteten Fall ! Wie er unter 2) für
der Fall ist !
Nun ist dann aber im Allgemeinen
. Verschiebt man nun E so, dass auch
-> dann erhalten wir die Energien, die die speziellen diskreten Eigenwerte E repräsentieren.
Die Behauptung ist: zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Inneren an den Rand wandern:
Beweis:
Sei
eine Nullstelle von
. Nun bilde man die Wronski- Determinante von
und von
Es gilt:
Dabei:
Außerdem:
Aus der Schrödingergleichung
folgt durch Differenziation nach der Energie:
Kombiniert man dies mit
und
so folgt:
Mit
folgt schließlich:
Also wandern die Nullstellen mit abnehmender Energie nach rechts. Bei jedem Eigenwert verschwindet eine Nullstelle bei
.
Für
hat
KEINE endliche Nullstelle mehr:
Sonst wäre für
:
Also ein Widerspruch !
Illustration des Knotensatzes für spezielle Potenziale:
Die zu E1 oder E1´ gehörigen Funktionen besitzen einen Knoten. Nur die Funktion zu E1 ist jedoch eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E1´´ weist bereits 2 Knoten auf.
Bei E0 existieren keine Knoten bei E0, E0´und E0 ´´. Allerdings ist nur die zu E0 gehörige Funktion eine Eigenfunktion. Die Funktion zu E0´´´ hat bereits einen Knoten, jedoch ist diese keine Eigenfunktion.
Das zugehörige Potenzial
für
. Also KEIN Parabelpotenzial !
Die Randbedingungen seien
.
Die Forderung
kann zu jedem E erfüllt werden. Und zwar durch Linearkombination zweier linear unabhängiger Lösungen.
Im Allgemeinen ist dann jedoch
. Verschiebt man E so, dass auch
, so trifft man die speziellen, diskreten Eigenwerte. zwischen 2 Eigenwerten muss immer ein weiterer Knoten vom Rand ins Innere wandern.
Speziell: Symmetrische Potenziale:
Bei symmetrischen Potenzialen:
sind die Eigenfunktionen abwechselnd von gerader Parität, also symmetrisch:
und antisymmetrisch ( von ungerader Parität):
.
Dies kann für Entartung und Nichtentartung gezeigt werden.
In diesem Fall existiert ein Kontinuum von Streuzuständen ( nicht entartet). Die Welle läuft von rechts ein:
Beispiel mit Potenzialstufe:
Linke Seite:
Die asymptotische Lösung lautet
Aber:
divergiert und ist somit unphysikalisch:
Rechte Seite:
Die asymptotische Lösung lautet
Die Lösung oszilliert also asymptotisch.
: Ergibt ein Kontinuum von Streuzuständen ( 2- fach entartet). Die Welle läuft in diesem Fall von links oder von rechts ein, da die Energie auf beiden Seiten höher als das Potenzial ist. Alle Lösungen oszillieren !
Zeige
Nicht entartete Eigenfunktionen sind ( bis auf einen trivialen Faktor) reell !