Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände: Difference between revisions
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{{Scripthinweis|Quantenmechanik|1|5}} | |||
<math>i\hbar \dot{\Psi }(\bar{r},t)=\hat{H}\Psi </math>ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator <math>\hat{H}</math> | |||
Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem: | |||
Die Anfangsbedingung <math>\Psi (\bar{r},0)</math>ist gegeben. | |||
Aus der Normierbarkeit folgt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{\left| \Psi (\bar{r},t) \right|}^{2}}{{d}^{3}}r<\infty \\ | |||
& \Rightarrow \left| \Psi (\bar{r},t) \right|\to 0\quad f\ddot{u}r\quad \left| {\bar{r}} \right|\to \infty \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Eine spezielle Lösung findet man über den '''Separationsansatz:''' | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Psi (\bar{r},t)=\phi (\bar{r})+T(t) \\ | |||
& i\hbar \phi \dot{T}=T\hat{H}\phi \\ | |||
& i\hbar \phi \frac{{\dot{T}}}{T}=\frac{\hat{H}\phi }{\phi } \\ | |||
\end{align}</math> | |||
da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also: | |||
<math>i\hbar \phi \frac{{\dot{T}}}{T}=\frac{\hat{H}\phi }{\phi }=E=const.</math> | |||
Also: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \dot{T}=-\frac{i}{\hbar }ET \\ | |||
& \hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r}) \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil: | |||
<math>{{T}_{E}}(t)=c{{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}</math>und erhalten gleichzeitig eine zeitunabhängige Schrödingergleichung: <math>\hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math> | |||
Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators: | |||
<math>\hat{H}\phi (\bar{r})=E\phi (\bar{r})</math>die Energie- Eigenfunktionen <math>{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die möglichen Meßwert der Observablen "Energie". | |||
Die Energie- Eigenzustände lauten: | |||
<math>{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math> | |||
Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte | |||
<math>{{\left| {{\Psi }_{E}}(\bar{r},t) \right|}^{2}}={{\left| {{\phi }_{E}}(\bar{r}) \right|}^{2}}</math>zeitunabhängig ist. | |||
Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten !! ( wegen Normierbarkeit !) | |||
'''Nebenbemerkung:''' | |||
Die Wellenfunktion <math>{{\Psi }_{E}}(\bar{r},t)={{e}^{-\frac{i}{\hbar }Et}}{{\phi }_{E}}(\bar{r})</math>selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit | |||
<math>\omega =\frac{E}{\hbar }</math>oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial ( mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt !) | |||
Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen ( nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte !) innerhalb von Eigenzuständen ( und nur in diesen) zeitunabhängig: | |||
<math>\left\langle F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}) \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}{{\Psi }_{E}}*(\bar{r},t)F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\Psi }_{E}}(\bar{r},t){{d}^{3}}r=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})*}F(\hat{\bar{p}},\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{\phi }_{E}}(\bar{r})*}F(\frac{\hbar }{i}\nabla ,\hat{\bar{r}}){{\phi }_{E}}(\bar{r})</math> | |||
Insbesondere gilt: | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ | |||
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
====Ehrenfest- Theorem==== | |||
Nach dem Ehrenfestschen Theorem ( Siehe III: Statistische Physik) | |||
gilt mit | |||
<math>\begin{align} | |||
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ | |||
& \frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
auch | |||
<math>\begin{align} | |||
& \left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =m\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{r}}} \right\rangle =0 \\ | |||
& \left\langle \nabla V \right\rangle =-\frac{d}{dt}\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =0 \\ | |||
\end{align}</math> | |||
<u>'''Bemerkungen'''</u> | |||
1. Die Energie- Eigenwerte E des Hamilton- Operators <math>\hat{H}=\frac{1}{2m}{{\left( \frac{\hbar }{i}\nabla -e\bar{A}(\hat{\bar{r}},t) \right)}^{2}}+V</math> sind reell. | |||
Beweis: | |||
Nach § 1.4 gilt: | |||
<math>\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}=-i\hbar \nabla \cdot \bar{j}</math> | |||
<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}</math> | |||
Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden. | |||
Also gilt: | |||
<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left\{ \Psi *\hat{H}\Psi -\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi \right\}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\nabla \cdot \bar{j}{{d}^{3}}r=-i\hbar \int_{\partial {{R}^{3}}}^{{}}{{}}\bar{j}\cdot d\bar{f}=0</math> | |||
Andererseits aber gilt: | |||
<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\hat{H}\Psi {{d}^{3}}r=E</math> | |||
<math>\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( \hat{H}\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\left( E\Psi \right)*\Psi {{d}^{3}}r=E*</math> | |||
Also folgt: | |||
<math>E=E*</math> | |||
Für ein komplexes E mit | |||
<math>E={{E}_{1}}+i{{E}_{2}}</math> wäre <math>{{\left| {{\Psi }_{E}} \right|}^{2}}\acute{\ }={{e}^{2\frac{{{E}_{2}}}{\hbar }t}}{{\left| {{\phi }_{E}} \right|}^{2}}</math>und würden für E2 <0 zerfallen ( und für E2 > 0 explodieren !) | |||
Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind !! | |||
2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit: | |||
<math>\left\langle {\hat{H}} \right\rangle =E</math>Erwartungswert= Eigenwert | |||
Unschärfe: <math>\Delta H:=\sqrt{\left\langle {{\left( \hat{H}-\left\langle {\hat{H}} \right\rangle \right)}^{2}} \right\rangle }=\sqrt{\left\langle \left\langle {{\left( {\hat{H}} \right)}^{2}} \right\rangle -{{\left\langle {\hat{H}} \right\rangle }^{2}} \right\rangle }=\sqrt{{{E}^{2}}-{{E}^{2}}}=0</math> | |||
E und t sind wie <math>\hat{\bar{p}},\hat{\bar{q}}</math>zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren ! | |||
Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig ( also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt !, konstant !): | |||
<math>\left\langle {\hat{\bar{p}}} \right\rangle =\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\frac{\hbar }{i}\nabla \Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}\int\limits_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}\Psi *\Psi {{d}^{3}}r=\hbar \bar{k}</math> scharf | |||
<math>{{\left| \phi (\bar{r}) \right|}^{2}}=1</math>unabhängig von r | |||
Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie ( E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung. | |||
Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein. | |||
Randbedingungen Eigenwertproblem ! | |||
====Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung==== | |||
Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen <math>{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math>entwickelt werden: | |||
<math>\Psi (\bar{r},t)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{e}^{-\frac{i}{\hbar }{{E}_{n}}t}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math> | |||
Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig: | |||
zeitabhängig !! | |||
<math>\Psi (\bar{r},t)</math>ist kein Energie- Eigenzustand ! | |||
Die Entwicklungskoeffizienten <math>{{c}_{n}}</math>lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen: | |||
<math>\Psi (\bar{r},0)=\sum\limits_{n}^{{}}{{}}{{c}_{n}}{{\phi }_{n}}(\bar{r})\begin{matrix} | |||
! \\ | |||
= \\ | |||
{} \\ | |||
\end{matrix}{{\Psi }_{0}}(\bar{r})</math> | |||
Falls <math>\left\{ {{\phi }_{n}}(\bar{r}) \right\}</math>ein vollständiges Orthonormalsystem darstellt, kann jede stückweise steige Funktion nach den stationären Zuständen<math>{{\phi }_{n}}(\bar{r})</math>entwickelt werden: | |||
Orthonormierung: <math>\begin{align} | |||
& \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\phi }_{m}}*(\bar{r})}{{\phi }_{n}}(\bar{r}){{d}^{3}}r={{\delta }_{nm}}\Rightarrow \sum\limits_{n}{{{c}_{n}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\phi }_{m}}*(\bar{r})}{{\phi }_{n}}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\sum\limits_{n}{{{c}_{n}}}{{\delta }_{nm}}={{c}_{m}} \\ | |||
& \sum\limits_{n}{{{c}_{n}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\phi }_{m}}*(\bar{r})}{{\phi }_{n}}(\bar{r}){{d}^{3}}r=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{\Psi }_{0}}(\bar{r}){{\phi }_{m}}*(\bar{r}){{d}^{3}}r}={{c}_{m}} \\ | |||
\end{align}</math> | |||
Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden. | |||
P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher !! |
Revision as of 16:50, 24 August 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=5}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__
ist ( Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator
Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem:
Die Anfangsbedingung ist gegeben.
Aus der Normierbarkeit folgt:
Eine spezielle Lösung findet man über den Separationsansatz: da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also: Also: Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil: und erhalten gleichzeitig eine zeitunabhängige Schrödingergleichung: Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators: die Energie- Eigenfunktionen und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die möglichen Meßwert der Observablen "Energie". Die Energie- Eigenzustände lauten: Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte zeitunabhängig ist. Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten !! ( wegen Normierbarkeit !) Nebenbemerkung: Die Wellenfunktion selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial ( mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt !) Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen ( nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte !) innerhalb von Eigenzuständen ( und nur in diesen) zeitunabhängig: Insbesondere gilt:
Ehrenfest- Theorem
Nach dem Ehrenfestschen Theorem ( Siehe III: Statistische Physik) gilt mit auch Bemerkungen 1. Die Energie- Eigenwerte E des Hamilton- Operators sind reell. Beweis: Nach § 1.4 gilt: Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden. Also gilt: Andererseits aber gilt: Also folgt: Für ein komplexes E mit wäre und würden für E2 <0 zerfallen ( und für E2 > 0 explodieren !) Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind !! 2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit: Erwartungswert= Eigenwert Unschärfe: E und t sind wie zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren ! Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig ( also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt !, konstant !): scharf unabhängig von r Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie ( E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung. Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein. Randbedingungen Eigenwertproblem !
Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung
Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen entwickelt werden: Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig: zeitabhängig !! ist kein Energie- Eigenzustand ! Die Entwicklungskoeffizienten lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen: Falls ein vollständiges Orthonormalsystem darstellt, kann jede stückweise steige Funktion nach den stationären Zuständenentwickelt werden: Orthonormierung: Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden. P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher !!