Lagrangegleichungen 2. Art: Difference between revisions

Revision as of 16:06, 28 August 2010

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Lagrangegleichungen 2. Art basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=5}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__

Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:

$\sum_{i} m_{i} {\ddot{\bar{r}}}_{i} δ {\bar{r}}_{i} = \sum_{i}^{} {\vec{X}}_{i} δ {\bar{r}}_{i} = \sum_{j} Q_{j} δ q_{j}$

Linke Seite:

$\sum_{i} m_{i} {\ddot{\bar{r}}}_{i} δ {\bar{r}}_{i} = \sum_{j} (\sum_{i} m_{i} {\ddot{\bar{r}}}_{i} \frac{\partial}{\partial q_{j}} {\bar{r}}_{i}) δ q_{j} = \sum_{j} \sum_{i}^{} {\frac{d}{d t} (m_{i} {\dot{\vec{r}}}_{i} \frac{\partial}{\partial q_{j}} {\bar{r}}_{i}) - m_{i} {\dot{\vec{r}}}_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial}{\partial q_{j}} {\bar{r}}_{i})} δ {q_{j}}_{}$

Mit

$\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} {\vec{v}}_{i} = \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} {[\sum_{j = 1}^{f} (\frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}} {\dot{q}}_{j}) + \frac{\partial}{\partial t} {\bar{r}}_{i}]}_{} = \frac{\partial}{\partial q_{j}} {\bar{r}}_{i} (q_{1}, . . ., q_{f}, t)$

und

${\dot{\bar{r}}}_{i} = \sum_{j = 1}^{f} (\frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}}) {\dot{q}}_{j} + \frac{\partial}{\partial t} {\bar{r}}_{i} = \sum_{j = 1}^{f} (\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} {\vec{v}}_{i}) {\dot{q}}_{j} + \frac{\partial}{\partial t} {\bar{r}}_{i} \Rightarrow \frac{d}{d t} (\frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}}) = \frac{\partial}{\partial q_{j}} {\vec{v}}_{i}$

Beweis für die letzte Deduktion:

$\begin{aligned} \frac{d}{d t} (\frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{j}}) = \sum_{k = 1}^{} (\frac{\partial^{2} {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{k} \partial q_{j}}) {\dot{q}}_{k} + \frac{\partial^{2}}{\partial q_{j} \partial t} {\bar{r}}_{i} \\ \frac{\partial}{\partial q_{j}} {\vec{v}}_{i} = \frac{\partial}{\partial q_{j}} {\sum_{k = 1}^{} (\frac{\partial {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{k}}) {\dot{q}}_{k} + \frac{\partial}{\partial t} {\bar{r}}_{i}} = \sum_{k = 1}^{} (\frac{\partial^{2} {\bar{r}}_{i}}{\partial q_{k} \partial q_{j}}) {\dot{q}}_{k} + \frac{\partial^{2}}{\partial q_{j} \partial t} {\bar{r}}_{i} \end{aligned}$

Somit ergibt sich für die linke Seite

$\sum_{i} m_{i} {\ddot{\bar{r}}}_{i} δ {\bar{r}}_{i} = \sum_{i, j} {\frac{d}{d t} (m_{i} {\vec{v}}_{i} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} {\vec{v}}_{i}) - m_{i} {\vec{v}}_{i} (\frac{\partial}{\partial q_{j}} {\vec{v}}_{i})} δ q_{j}$

Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte Kinetische Energie{{#set:Fachbegriff=Kinetische Energie|Index=Kinetische Energie}} auszudrücken:

$T = \sum_{i} \frac{1}{2} m_{i} {\vec{v}}_{i}^{2}$

$\begin{aligned} m_{i} {\vec{v}}_{i} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} {\vec{v}}_{i} = \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} (\frac{1}{2} m_{i} {\vec{v}}_{i}^{2}) \\ m_{i} {\vec{v}}_{i} \frac{\partial}{\partial q_{j}} {\vec{v}}_{i} = \frac{\partial}{\partial q_{j}} (\frac{1}{2} m_{i} {\vec{v}}_{i}^{2}) \end{aligned}$

Somit folgt:

${\frac{d}{d t} (m_{i} {\vec{v}}_{i} \frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} {\vec{v}}_{i}) - m_{i} {\vec{v}}_{i} (\frac{\partial}{\partial q_{j}} {\vec{v}}_{i})} = {\frac{d}{d t} (\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} T) - (\frac{\partial}{\partial q_{j}} T)}$

$\begin{aligned} \sum_{i} m_{i} {\ddot{\bar{r}}}_{i} δ {\bar{r}}_{i} = \sum_{i}^{} {\vec{X}}_{i} δ {\bar{r}}_{i} = \sum_{j} Q_{j} δ q_{j} \\ \Rightarrow \sum_{j} {\frac{d}{d t} (\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} T) -_{} (\frac{\partial}{\partial q_{j}} T) - Q_{j}} δ q_{j} = 0 \end{aligned}$

Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in $q_{j}$ völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

Jedes $q_{j}$ ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:

$\begin{aligned} \frac{d}{d t} (\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{j}} T) -_{} (\frac{\partial}{\partial q_{j}} T) - Q_{j} = 0 \\ \Rightarrow \frac{d}{d t} (\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{k}} T) -_{} (\frac{\partial}{\partial q_{k}} T) = Q_{k k = 1, . . . ., f} \end{aligned}$

\frac{d}{d t} (\frac{\partial}{\partial {\dot{q}}_{k}} T) -_{} (\frac{\partial}{\partial q_{k}} T) = Q_{k} k = 1, . . . ., f

heißt Lagrange- Gleichungen 2. Art

{{#set:Definition=Lagrange- Gleichungen 2. Art|Index=Lagrange- Gleichungen 2. Art}}

Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für holonome Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

Dies liegt daran, dass nur für holonome Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten{{#set:Fachbegriff=generalisierte Koordinaten|Index=generalisierte Koordinaten}} definiert werden können:

Spezialfall konservative Kräfte

$\begin{aligned} - \frac{\partial V}{\partial q_{j}} = Q_{j} \\ V (q_{1}, . . ., q_{f}, t) = V ({\vec{r}}_{1} (q_{1,} . . ., q_{f}, t), . . ., {\vec{r}}_{N} (q_{1,} . . ., q_{f}, t)) \end{aligned}$

Dies bedingt jedoch:

$\frac{\partial V (q_{1}, . . ., q_{f}, t)}{\partial {\dot{q}}_{k}} = 0$

Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:

$L (q_{1}, . . ., q_{f}, {\dot{q}}_{1}, . . ., {\dot{q}}_{f}, t) = L (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, t) = T - V$

Es folgt:

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{k}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{k}} = 0$

Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !

Anmerkung:

die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
L=T-V ist nur eine mögliche Form
$\begin{aligned} T (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, t) = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} m_{i} {(\sum_{k = 1}^{f} \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial q_{k}} {\dot{q}}_{k} + \frac{\partial {\vec{r}}_{i}}{\partial t})}^{2} \\ T (q_{k}, {\dot{q}}_{k}, t) = a + \sum_{k = 1}^{f} b_{k} {\dot{q}}_{k} + \sum_{k, l = 1}^{f} c_{k l} {\dot{q}}_{k} {\dot{q}}_{l} \end{aligned}$
Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine homogene Bilinearform in

${\dot{q}}_{k} (a = b_{k} = 0)$

Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

MISSING

Die Atwoodsche Fallmaschine

Generalisierte Koordinate: q

$\begin{aligned} T (q_{}, {\dot{q}}_{}, t) = \frac{1}{2} (m_{1_{}} + m_{2}) {\dot{q}}^{2} \\ V (q, \dot{q}, t) = m_{1} g q + m_{2} (l - q) g \\ \frac{\partial L}{\partial q} = m_{1} g - m_{2} g \\ \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = (m_{1} + m_{2}) \dot{q} \\ (m_{1} + m_{2}) \ddot{q} + m_{1} g - m_{2} g = 0 \end{aligned}$

Beispiel 2: Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Generalisierte Koordinate q ist der Winkel $ϕ$

$\begin{aligned} T (q_{}, {\dot{q}}_{}, t) = \frac{1}{2} m c^{2} + \frac{1}{2} m {\dot{q}}^{2} {({R_{o}}^{} - c t)}^{2} \\ V (q, \dot{q}, t) = 0 \\ L = \frac{1}{2} m c^{2} + \frac{1}{2} m {\dot{q}}^{2} {({R_{o}}^{} - c t)}^{2} \end{aligned}$

Dahin kommt man im Übrigen aus:

$\begin{aligned} T = \frac{1}{2} m ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) \\ x = (R_{o} - c t) \cos ϕ \\ \dot{x} = - c \cos ϕ - (R_{o} - c t) \dot{ϕ} \sin ϕ = - c \cos q - (R_{o} - c t) \dot{q} \sin q \\ y = (R_{o} - c t) \sin ϕ \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m \dot{q} {({R_{o}}^{} - c t)}^{2} \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} = m \ddot{q} {({R_{o}}^{} - c t)}^{2} - 2 c m \dot{q} ({R_{o}}^{} - c t) \\ \Rightarrow \ddot{q} (R_{o} - c t) = 2 c {\dot{q}}^{} \end{aligned}$

Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:

$\begin{aligned} \frac{\dot{ω}}{ω} = \frac{2 c}{R_{o} - c t} \\ \int \frac{d ω}{ω} = 2 c \int \frac{d t}{R_{o} - c t} \\ \ln ω = - 2 \ln (R_{o} - c t) + c o n s t \\ \ln ω = \ln \frac{c o n \tilde{s}}{{(R_{o} - c t)}^{2}} \\ ω = \frac{c o n \tilde{s}}{{(R_{o} - c t)}^{2}} \end{aligned}$

Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:

Drehimpuls:

$\begin{aligned} \vec{L} = m \vec{v} \times \vec{r} \\ {\vec{L}}_{o} = m {ω_{o}}^{} {R_{o}}^{2} v_{o} = ω_{o} R_{o} r_{o} = R_{o} \\ a n d e r e r s e i t s : \\ ω_{o} = \frac{c o n \tilde{s}}{{(R_{o})}^{2}} \\ \Rightarrow ω = \frac{c o n \tilde{s}}{{(R_{o} - c t)}^{2}} \Rightarrow c o n \tilde{s} = \frac{{\vec{L}}_{o}}{m} \\ ω = \frac{{\vec{L}}_{o}}{m {(R_{o} - c t)}^{2}} = \dot{q} \end{aligned}$

Durch Integration gewinnt man:

$q = q_{o} + \frac{{\vec{L}}_{o}}{c m (R_{o} - c t)}$

Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)

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 <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|1|5}}</noinclude>
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-Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte KINETISCHE ENERGIE auszudrücken:
+Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte {{FB|Kinetische Energie}} auszudrücken:
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-Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in qj völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.
+Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in <math>q_j</math> völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.
-Jedes qj ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:
+Jedes <math>q_j</math> ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:
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 \end{align}</math>
+{{Def| <math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}T \right)={Q}_{k}\quad \quad k=1,....,f</math> heißt '''Lagrange- Gleichungen 2. Art'''|Lagrange- Gleichungen 2. Art}}
-'''Lagrange- Gleichungen 2. Art:'''
+Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für '''holonome''' Zwangsbedingungen gewonnen werden (im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).
-Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für HOLONOME Zwangsbedingungen gewonnen werden ( im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).
-Dies liegt daran, dass nur für HOLONOME Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:
-<u>'''Spezialfall konservative Kräfte:'''</u>
+Dies liegt daran, dass nur für '''holonome''' Zwangsbedingungen {{FB|generalisierte Koordinaten}} definiert werden können:
+==Spezialfall konservative Kräfte==
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 * die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
-* L=T-V ist nur EINE mögliche Form
+* L=T-V ist nur '''eine''' mögliche Form
-*
+*<math>\begin{align}
-<math>\begin{align}
    & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial t}} \right)}^{2}}} \\
   & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=a+\sum\limits_{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}}+\sum\limits_{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{{\dot{q}}}_{k}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \\
 \end{align}</math>
+* Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine '''homogene''' Bilinearform in
-* Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine HOMOGENE Bilinearform in
 <math>{{\dot{q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)</math>
-Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:
+==Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:==
-Die Atwoodsche Fallmaschine
+MISSING
+{{Beispiel|
+'''Die Atwoodsche Fallmaschine'''
 Generalisierte Koordinate: q
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   &  \\
 \end{align}</math>
+}}
+{{Beispiel|
-<u>'''Beispiel 2:'''</u>
+'''Beispiel 2:'''
 Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).
-Generalisierte Koordinate q ist der Winkel
+'''Generalisierte Koordinate''' q ist der Winkel
 <math>\phi </math>
 :
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-Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:
+Somit haben wir eine '''Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit''' gefunden:
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 Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:
-Drehimpuls:
+'''Drehimpuls''':
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-Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird ( Drehimpulserhaltung !)
+Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird (Drehimpulserhaltung!)}}

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Spezialfall konservative Kräfte

Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

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