Lagrangegleichungen 2. Art: Difference between revisions
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65px|Kein GFDL | Der Artikel Lagrangegleichungen 2. Art basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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Betrachten wir wieder das d'Alembertsche Prinzip:
Linke Seite:
Mit
und
Beweis für die letzte Deduktion:
Somit ergibt sich für die linke Seite
Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte KINETISCHE ENERGIE auszudrücken:
Somit folgt:
Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in qj völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.
Jedes qj ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:
Lagrange- Gleichungen 2. Art:
Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für HOLONOME Zwangsbedingungen gewonnen werden ( im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).
Dies liegt daran, dass nur für HOLONOME Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:
Spezialfall konservative Kräfte:
Dies bedingt jedoch:
Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:
Es folgt:
Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !
Anmerkung:
- die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
- L=T-V ist nur EINE mögliche Form
- Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine HOMOGENE Bilinearform in
Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:
Die Atwoodsche Fallmaschine
Generalisierte Koordinate: q
Beispiel 2:
Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).
Generalisierte Koordinate q ist der Winkel
Dahin kommt man im Übrigen aus:
Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:
Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:
Drehimpuls:
Durch Integration gewinnt man:
Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird ( Drehimpulserhaltung !)