D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit: Difference between revisions
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Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen ( holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed. | Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen (holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed. | ||
Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften | Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften <math>Z_i</math> als: | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
{{Def| | {{Def|Dabei versteht man | ||
:<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math> als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und | :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math> als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und | ||
:<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math> als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte.|Virtuelle Arbeit}} | :<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math> als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte.|Virtuelle Arbeit}} | ||
{{Beispiel| | {{Beispiel|'''Beispiel: Bewegung auf einer Fläche''' | ||
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}} | }} | ||
==Allgemeine Forderung== | |||
Allgemein kann man fordern: | Allgemein kann man fordern: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math> | <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math> | ||
für alle betrachteten Zwangskräfte. | für alle betrachteten Zwangskräfte. | ||
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Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen. | Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen. | ||
Somit folgt als d'Alembertsches Prinzip: | {{Def|Somit folgt als '''d'Alembertsches Prinzip''': | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> | <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> | ||
|d'Alembertsches Prinzip}} | |||
Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen | Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen | ||
Beispiel für ein {{FB|Variationsprinzip}}:' | |||
{{FB|Differentialprinzip}}: ( für infinitesimal kleine Variationen): | |||
Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn | Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn | ||
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. | . | ||
==Variationsprinzip mit Nebenbedingungen== | |||
Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um: | Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \vec{r}\to {{r}_{j}}(j=1...3) \\ | & \vec{r}\to {{r}_{j}}(j=1...3) \\ | ||
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Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir: | Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir: | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{3N}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{r}}}_{i}}-{{X}_{i}} \right)\delta {{r}_{i}}=0}</math> | <math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{3N}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{r}}}_{i}}-{{X}_{i}} \right)\delta {{r}_{i}}=0}</math> | ||
Nebenbedingung: | Nebenbedingung: | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }</math> | <math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }</math> | ||
<math>\nu<\math> charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung | |||
Dies ist lösbar mit der {{FB|Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}. | |||
Denn: Wenn die Vektorkomponenten <math>{{r}_{i}}</math> frei variierbar wären, also <math>\delta {{r}_{i}}</math> beliebig, so müsste gelten: | |||
<math>{{m}_{i}}{{\ddot{r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0</math> | <math>{{m}_{i}}{{\ddot{r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0</math> | ||
Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist: | Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein '''Satz von Faktoren frei variierbar''' ist: | ||
Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren | * Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen {{FB|Lagrangemultiplikatoren}} <math>{{\lambda }_{n}}</math> Wir erhalten: | ||
<math>{{\lambda }_{n}}</math> | **<math>\sum\limits_{j=1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math> | ||
*Nun sind <math>\delta {{r}_{1}},\delta {{r}_{2}},...,\delta {{r}_{\nu }}</math> aus den '''Nebenbedingungen''' zu eliminieren. Die verbleibenden <math>\delta {{r}_{\nu +1}},...,\delta {{r}_{3N}}</math> sind nun frei variierbar. | |||
*Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss: | |||
Wir erhalten: | **Es lassen sich <math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math> derart bestimmen, dass | ||
**<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0\quad j=1,...,\nu </math> | |||
**Das heißt, wir suchen die <math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math> aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die <math>{{\lambda }_{n}}(t)</math> als Funktion der <math>{{\ddot{r}}_{j}}(t)</math>; Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar. | |||
<math>\sum\limits_{j=1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math> | ** <math>\sum\limits_{j=\nu +1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math> | ||
**Da hier jedoch die <math>\delta {{r}_{j}}</math> frei variierbar sind, gilt: | |||
**{{Def|math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>Lagrange- Gleichung der 1. Art|Lagrange- Gleichung der 1. Art}} | |||
Nun sind | **<math>\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}</math> kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf. | ||
<math>\delta {{r}_{1}},\delta {{r}_{2}},...,\delta {{r}_{\nu }}</math> | |||
Die verbleibenden | |||
<math>\delta {{r}_{\nu +1}},...,\delta {{r}_{3N}}</math> | |||
sind nun frei variierbar. | |||
Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss: | |||
Es lassen sich | |||
<math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math> | |||
derart bestimmen, dass | |||
<math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0\quad j=1,...,\nu </math> | |||
Das heißt, wir suchen die | |||
<math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math> | |||
aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die | |||
<math>{{\lambda }_{n}}(t)</math> | |||
als Funktion der | |||
<math>{{\ddot{r}}_{j}}(t)</math> | |||
<math>\sum\limits_{j=\nu +1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math> | |||
Da hier jedoch die | |||
<math>\delta {{r}_{j}}</math> | |||
frei variierbar sind, gilt: | |||
<math>\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}</math> | |||
kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf. | |||
{{Beispiel|Beispiel Atwoodsche Fallmaschine | |||
[[Datei:Atwoods_machine_functionally.svg|miniatur|Atwoods Fallmaschine]] | [[Datei:Atwoods_machine_functionally.svg|miniatur|Atwoods Fallmaschine]] | ||
Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g. | Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g. | ||
Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: | Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> | <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> | ||
so folgt: | so folgt: | ||
<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0</math> | <math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0</math> | ||
Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: | Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const. \\ | & {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const. \\ | ||
Line 270: | Line 200: | ||
Also folgt: | Also folgt: | ||
<math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0</math> | <math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0</math> | ||
<math>{{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0</math> | <math>{{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0</math> | ||
<math>{{\ddot{h}}_{1}}=\frac{({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}g</math> | <math>{{\ddot{h}}_{1}}=\frac{({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}g</math> | ||
Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: | Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: | ||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>}} | |||
<math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math> |
Revision as of 15:30, 28 August 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel D'Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=3}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen (holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.
Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften als:
Dabei versteht man |
{{#set:Definition=Virtuelle Arbeit|Index=Virtuelle Arbeit}}
Allgemeine Forderung
Allgemein kann man fordern: für alle betrachteten Zwangskräfte.
Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.
Somit folgt als d'Alembertsches Prinzip: |
{{#set:Definition=d'Alembertsches Prinzip|Index=d'Alembertsches Prinzip}}
Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen
Beispiel für ein Variationsprinzip{{#set:Fachbegriff=Variationsprinzip|Index=Variationsprinzip}}:'
Differentialprinzip{{#set:Fachbegriff=Differentialprinzip|Index=Differentialprinzip}}: ( für infinitesimal kleine Variationen):
Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn .
Variationsprinzip mit Nebenbedingungen
Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:
Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:
Failed to parse (unknown function "\math"): {\displaystyle \nu<\math> charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung Dies ist lösbar mit der {{FB|Methode der Lagrange-Multiplikatoren}}. Denn: Wenn die Vektorkomponenten <math>{{r}_{i}}}
frei variierbar wären, also beliebig, so müsste gelten:
Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:
- Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren{{#set:Fachbegriff=Lagrangemultiplikatoren|Index=Lagrangemultiplikatoren}} Wir erhalten:
- Nun sind aus den Nebenbedingungen zu eliminieren. Die verbleibenden sind nun frei variierbar.
- Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:
math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j |
-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>Lagrange- Gleichung der 1. Art|Lagrange- Gleichung der 1. Art}}
Beispiel Atwoodsche Fallmaschine
miniatur|Atwoods Fallmaschine Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g. Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip: so folgt: Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach: Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist: |