Virtuelle Verrückungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Virtuelle Verrückungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Unter einer virtuellen Verrückung $\left\{\delta {\overrightarrow{r}}_i\right\}$ versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit $\{\delta t=0\}$ die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.

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Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als $d{\overrightarrow{r}}_i$ im Zeitintervall $dt$ längs der Bahn geschieht.

Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.

Es gilt folglich

$\delta f_{\lambda }=\sum _{i=1}^N{\mathrm{\nabla }}_{ri}{f}_{\lambda }\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_i=0\lambda =1,...\nu$

$\sum _{i=1}^N{\overrightarrow{a}}_{\lambda i}({\overrightarrow{r}}_1,{\overrightarrow{r}}_2,...,{\overrightarrow{r}}_N,t)\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_i=0\lambda =1,...\nu$

Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition $\{\delta t=0\}$ .

Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:

$\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{r}-{\overrightarrow{r}}_o(t))=0$

Dabei ist ${\overrightarrow{r}}_o(t)$ der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.

Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt:

$\begin{array}{rl}& f({\overrightarrow{r}}_i)=\overrightarrow{a}\cdot ({\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{r}}_o(t))=0i=1,2,...,N\\ & df({\overrightarrow{r}}_i)=\overrightarrow{a}\cdot (d{\overrightarrow{r}}_i-{\overrightarrow{v}}_o(t)dt)=0i=1,2,...,N{\overrightarrow{v}}_o(t)=\frac{d{\overrightarrow{r}}_o(t)}{dt}\\ \end{array}$

also gilt im Allgemeinen:

$\overrightarrow{a}\cdot d{\overrightarrow{r}}_i=\overrightarrow{a}\cdot {\overrightarrow{v}}_o(t)dt\ne 0i=1,2,...,N{\overrightarrow{v}}_o(t)=\frac{d{\overrightarrow{r}}_o(t)}{dt}$

aber:

$\delta f=\overrightarrow{a}\cdot \delta {\overrightarrow{r}}_i=0i=1,2,...,N{\overrightarrow{v}}_o(t)=\frac{d{\overrightarrow{r}}_o(t)}{dt}$

Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem ${\overrightarrow{r}}_o(t)$ . Es gilt: $\delta {\overrightarrow{r}}_i\mathrm{\perp }\overrightarrow{a}$