Materie in elektrischen und magnetischen Feldern

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Materie in elektrischen und magnetischen Feldern basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Polarisation

Materie enthält mikroskopische elektrisch geladene Bausteine

1. freie Ladungsträger

Elektronen in Metallen, Elektronen + Löcher in Halbleitern

• Beschleunigung in äußeren Feldern, E- Felder, B- Felder über Ohmsches Gesetz und Lorentz-kraft

$\overline{K}=q[\overline{E}+(\overline{v}\times \overline{B})]$

• elektrische Ströme -> Beschreibung der Materialeigenschaften durch die elektrische Leitfähigkeit
• $\sigma$

1. gebundene Ladungen ( In Isolatoren)

• Polarisierung im E- Feld

1. Für E =0 vorhandene mikroskopische Dipole p werden zur Minimierung der potenziellen Energie

Wel.=-p E vorzugsweise ( entgegen der zufälligen thermischen Bewegung) parallel zu E orientiert ( z.B. bei polarisierten Molekülen, Wasser etc... gut zu beobachten !)

1. Nicht- polare Atome oder Moleküle werden dann durch E durch Verschiebung der Ladungswolken polarisiert. Es entstehen induzierte elektrische Dipole, die zu E parallel ausgerichtet sind:

$\overline{p}=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho \left(\overline{r}\right)\overline{r}\ne 0$ nach Einschalten des Feldes. Es werden in den Atomen/ Molekülen positive und negative Ladungen getrennt !

Makroskopische räumliche Mittelung

Netto- Ladungen entstehen dadurch an den Grenzflächen

Dies erzeugt im Inneren ein Polarisationsgegenfeld $\begin{array}{ll}& \overline{E}\stackrel{´}{}=\overline{E}+{\overline{E}}_p\\ & {\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\stackrel{´}{}={\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}+{\rho }_P\\ \end{array}$ gemäß ${\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{E}}_p={\rho }_P$

Das resultierende Gesamtfeld lautet:

$\begin{array}{ll}& \overline{E}\stackrel{´}{}=\overline{E}+{\overline{E}}_p\\ & {\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\stackrel{´}{}={\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}+{\rho }_P\\ \end{array}$

Mit der freien Ladungsdichte

${\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=\rho$

Also:

${\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}\stackrel{´}{}=\rho +{\rho }_P$

Die Polarisation selbst bestimmt sich nach

$\overline{P}(\overline{r},t):=-{\epsilon }_0{\overline{E}}_p(\overline{r},t)$

ein makroskopisches lokales Feld, dessen Quelle Polarisationsladungen sind.

Somit:

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\nabla }\cdot ({\epsilon }_0\overline{E}\stackrel{´}{}+\overline{P})=\rho \\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{P}=-{\rho }_P\\ \end{array}$

Als Dielektrische Verschiebung bezeichnen wir

$\overline{D}(\overline{r},t)=({\epsilon }_0\overline{E}\stackrel{´}{}+\overline{P})$

Dies ist die effektive makroskopische Feldgröße, als dessen Quellen nur noch die freien Ladungen ( ohne Polarisationsladungen) auftreten:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}=\rho$

Wir bezeichnen mit

$\overline{P}(\overline{r},t)d\overline{f}=d{Q}_P$

die Polarisationsladung, die beim Übergang vom unpolarisierten zum polarisierten Zustand durch die Fläche df verschoben wird:

Denn ( bei Betrachtung eines Volumens V, das durch df begrenzt ist):

${\oint }_{\partial V}\overline{P}(\overline{r},t)d\overline{f}=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{P}(\overline{r},t)=-\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r{\rho }_P$

= Polarisationsladung, die V verläßt !

Zusammenhang mikroskopische elektrische Dipole / makroskopische Größen:

${\rho }_m(\overline{r},t)=\sum _i{q}_i\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i(t))$ ( mikroskopische Ladungsdichte)

${\overline{P}}_m(\overline{r},t)=\sum _i{\overline{p}}_i\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i(t))$ ( mikroskopische Dipoldichte) mit:

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r{\overline{P}}_m(\overline{r},t)=\sum _i{\overline{p}}_i$

Mittelung über ein kleines makroskopisches Volumen $\mathrm{\Delta }V:$

${\left(\mathrm{\Delta }V\right)}^{\frac{1}{3}}<<$ Längenskala der makroskopischen Dichtevariation

Somit:

$\rho (\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\rho }_m(\overline{r}+\overline{s},t)$ ( makroskopische Ladungsdichte)

$\overline{P}(\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\overline{P}}_m(\overline{r}+\overline{s},t)$

Also: Die makroskopische Dipoldichte ist GLEICH DER POLARISATION !!

Beweis:

Betrachten wir das mikroskopische retardierte Potenzial:

${\mathrm{\Phi }}_m(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$

wobei unter dem Integral die mikroskopische Ladungsdichte einzusetzen ist !

Das makroskopisch gemittelte Potenzial folgt dann gemäß

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\mathrm{\Phi }}_m(\overline{r}+\overline{s},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})}{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & \overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}:=\overline{r}\stackrel{´}{}-\overline{s}\\ & \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\frac{{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}\\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})\\ \end{array}$

Wobei

$\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})=\rho (\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})$

Die makroskopische Ladungsdichte ist !

$\begin{array}{ll}& \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\rho }_m(\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})\\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\overline{s},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})\\ \end{array}$

Analog:

Das mikroskopische Potenzial der elektrischen Dipole

${\overline{p}}_i$

${\mathrm{\Phi }}_m(\overline{r},t)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\mathrm{\nabla }}_r\left\{\sum _i\frac{1}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{\overline{p}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})\right\}$

mit dem mikroskopischen Dipolmoment

${\overline{p}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})$

Analog:

${\mathrm{\Phi }}_m(\overline{r},t)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\overline{P}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}$

mit der mikroskopischen Dipoldichte

${\overline{P}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})$

Somit ergibt sich für das makroskopisch gemittelte elektrische Potenzial:

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\mathrm{\Phi }}_m(\overline{r}+\overline{s},t)\\ & =-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\overline{P}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}\\ & =-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}\\ \end{array}$

Umformung:

${\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}=-{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}+Korrektur$

Dabei haben wir das Problem , dass beim Übergang zur gestrichenen Ableitung hier auch nach dem Argument r´ von P abgeleitet wird. Also müssen wir dies wieder abziehen:

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}=-{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}+\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\\ & t\stackrel{´}{}=t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c}\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}=-{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left\{\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right\}+\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Also folgt für das Potenzial:

Dies ist das makroskopische Potenzial einer Polarisationsladungsdichte

${\rho }_p(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})=(-{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\overline{P}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{}))$

Damit können wir die makroskopische Dipoldichte $\overline{P}$ mit der durch $\overline{P}:=-{\epsilon }_0{\overline{E}}_p$ bzw.

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{P}=-{\rho }_p$ definierten Polarisation identifizieren.

Magnetisierung

Mirkoskopische Ursache für den Magnetismus der Materie sind mikroskopische Kreisströme bzw. mikroskopische magnetische Dipolmomente $\overline{m}$

a) Für $\overline{B}=0$ vorhandene, permanente magnetische Momente $\overline{m}$ werden zur Minimierung der potenziellen Energie $W_{mag.}=-\overline{m}\overline{B}$ vorzugsweise ( entgegen der thermischen Bewegung) parallel zum äußeren B- Feld orientiert. Beispiel: Spin- Bahn- Momente von Elektronen

• paramagnetisches Verhalten

1. durch B können nach dem Faradayschen Induktionsgesetz Kreisströme freier oder gebundener Ladungen induziert werden. Wegen der Lenzschen Regel ist die induzierte Magnetisierung antiparallel zum äußeren B- Feld.

• diamagnetisches Verhalten !

Makroskopisch gemittelte Felder

mikroskopische magnetische Dipoldichte: Wie bei Polarisationsdichte:

$\begin{array}{ll}& {\overline{M}}_m(\overline{r},t)=\sum _i{\overline{m}}_i(t)\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i)\\ & {\overline{P}}_m(\overline{r},t)=\sum _i{\overline{p}}_i(t)\delta (\overline{r}-{\overline{r}}_i)el.Dipoldichte\\ \end{array}$

Mittelung über ein kleines, makroskopisches Volumen $\mathrm{\Delta }V$

$\overline{M}(\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\overline{M}}_m(\overline{r}+\overline{s},t)$

makroskopische magnetische Dipoldichte:= Magnetisierung

Ziel: Zusammenhang zwischen der magnetischen Dipoldichte $\overline{M}(\overline{r},t)$ und den effektiven Feldern $\overline{B}$ in der Materie finden. Hierzu zeige man, dass eine Magnetisierungsstromdichte ${\overline{j}}_M$

als Quelle der Felder eingeführt werden kann:

$\mathrm{\nabla }\times {\overline{B}}_M={\mu }_0{\overline{j}}_M$

bzw.

$\mathrm{\nabla }\times \overline{M}={\overline{j}}_M$

effektive Gesamtinduktion ( im stationären Fall):

$\begin{array}{ll}& \overline{B}\stackrel{´}{}=\overline{B}+{\overline{B}}_M\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \left(\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\stackrel{´}{}\right)=\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\right)+{\overline{j}}_M=\overline{j}+{\overline{j}}_M\\ \end{array}$

Also: Erzeugung des B- Feldes ( Differenz aus effektiver Gesamtinduktion und Magnetisierung) durch den sogenannte freien Strom j :

$\begin{array}{ll}& \overline{B}\stackrel{´}{}=\overline{B}+{\overline{B}}_M\\ & \mathrm{\nabla }\times (\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\stackrel{´}{}-\overline{M})=\overline{j}\\ & \overline{H}=\frac{1}{{\mu }_0}(\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\stackrel{´}{}-{\overline{B}}_M)=\frac{\overline{B}}{{\mu }_0}\\ \end{array}$

Betrachten wir das Vektorpotenzial der mikroskopischen elektrischen und magnetischen Dipole:

$\begin{array}{ll}& {\overline{A}}_m(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\sum _i[\frac{1}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{\dot{\overline{p}}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})+\mathrm{\nabla }\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{\overline{m}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})\right)]\\ & {\overline{p}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})elektrDipolmoment\\ & {\overline{m}}_i(t-\frac{|\overline{r}-{\overline{r}}_i|}{c})magnetDipolmoment\\ & \Rightarrow {\overline{A}}_m(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\dot{\overline{p}}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\mathrm{\nabla }}_r\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\overline{M}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)]\\ \end{array}$

mit der mikroskopischen elektrischen Dipoldichte

${\overline{p}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})$

und der magnetischen Dipoldichte

${\overline{M}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})$

Als makroskopisch gemitteltes Potenzial:

$\begin{array}{ll}& \overline{A}(\overline{r},t)=\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s{\overline{A}}_m(\overline{r}+\overline{s},t)\\ & =\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{1}{\mathrm{\Delta }V}\underset{\mathrm{\Delta }V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}s\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\frac{1}{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\dot{\overline{p}}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\mathrm{\nabla }}_r\times \left(\frac{1}{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\overline{M}}_m(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}+\overline{s}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)]\\ & ==\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\dot{\overline{P}}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\mathrm{\nabla }}_r\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)]\\ \end{array}$

Wobei nur die makroskopischen Dichten einzusetzen sind ( vergleiche oben)

Umformung liefert:

$\begin{array}{ll}& \overline{A}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\dot{\overline{P}}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\mathrm{\nabla }}_r\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)]\\ & \underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_r\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)=\\ & =-\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)+\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\times \overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})\\ & t\stackrel{´}{}=t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c}\\ & \underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\times \left(\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\right)=0\\ & \Rightarrow \overline{A}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}[\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\dot{\overline{P}}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\times \overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})]\\ \end{array}$

Definition

$\begin{array}{ll}& \dot{\overline{P}}={\overline{j}}_p\\ & {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\times \overline{M}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})={\overline{j}}_M\\ \end{array}$

Ersteres: Polarisationsstromdichte Letzteres: Magnetisierungsstromdichte

Also:

$\overline{A}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}[{\overline{j}}_p(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\overline{j}}_M(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})]$

Das heißt, das makroskopisch gemittelte retardierte Vektorpotenzial wird durch die Polarisations- und Magnetisierungsstromdichten im Medium erzeugt !

es gilt der Erhaltungssatz:

$\begin{array}{ll}& \frac{\partial }{\partial t\stackrel{´}{}}{\rho }_p=-\mathrm{\nabla }\cdot \dot{\overline{P}}=-\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_p\\ & \Rightarrow {\dot{\rho }}_p+\mathrm{\nabla }\cdot {\overline{j}}_p=0\\ \end{array}$

Kontinuitätsgleichung für die Erhaltung der Polarisationsladung !

Maxwell- Gleichungen in Materie

Die vollständigen Potenziale enthalten

• die freie Ladungs- und Stromdichten
• $\rho ,\overline{j}$
• die Polarisations- und Magnetisierungsbeiträge
• ${\rho }_p,{\overline{j}}_p,{\overline{j}}_m$

Somit folgt für die vollständigen Potenziale:

$\begin{array}{ll}& t\stackrel{´}{}=t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c}\\ & \overline{A}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}[\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\overline{j}}_P(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\overline{j}}_M(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})]\\ & \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}[\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+{\rho }_P(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})]\\ & \\ \end{array}$

Diese Potenziale sind Lösungen der inhomogenen Wellengleichung in Lorentz- Eichung

$\begin{array}{ll}& \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_{\stackrel{´}{}0}[\overline{j}+{\overline{j}}_P+{\overline{j}}_M]\\ & \#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{1}{{\epsilon }_0}[\rho +{\rho }_P]\\ & \\ \end{array}$

Für die Felder in Materie folgt:

$\begin{array}{ll}& \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Daraus folgen die Maxwell- Gleichungen:

$\begin{array}{ll}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

• Wie im Vakuum

$\begin{array}{ll}& 3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{\Phi }-\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\#\mathrm{\Phi }\\ \end{array}$

In Lorentz Eichung !

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)-\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{\Phi }-\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }=-\#\mathrm{\Phi }=\frac{1}{{\epsilon }_0}(\rho +{\rho }_p)=\frac{1}{{\epsilon }_0}(\rho -\mathrm{\nabla }\cdot \overline{P})$

per Definition von ${\rho }_p$ .

$\begin{array}{ll}& \Rightarrow 3)\mathrm{\nabla }\cdot ({\epsilon }_0\overline{E}(\overline{r},t)+\overline{P}(\overline{r},t))=\rho (\overline{r},t)\\ & ({\epsilon }_0\overline{E}(\overline{r},t)+\overline{P}(\overline{r},t)):=\overline{D}(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\rho (\overline{r},t)\\ \end{array}$

Die Dielektrische Verschiebung

4) Letzte Gleichung:

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r},t)=\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t))=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t))-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r},t)=-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\\ & \mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=-\overline{E}-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r},t)=-\mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}+\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{A}(\overline{r},t)=-\#\overline{A}(\overline{r},t)+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}\\ & ={\mu }_0(\overline{j}+{\overline{j}}_P+{\overline{j}}_M)+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}\\ & {\overline{j}}_P=\dot{\overline{P}}\\ & {\overline{j}}_M=\mathrm{\nabla }\times \overline{M}\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times \overline{B}(\overline{r},t)={\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}(\overline{P}+{\epsilon }_0\overline{E})+{\mu }_0\mathrm{\nabla }\times \overline{M}+{\mu }_0\overline{j}\\ & \Rightarrow 4)\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times (\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}(\overline{r},t)-\overline{M})=\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}\\ & (\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}(\overline{r},t)-\overline{M})=H(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}\\ \end{array}$

Mit dem Magnetfeld $H(\overline{r},t)$ , welches so definiert wurde, dass es nur durch die FREIEN Ströme erzeugt wird:

Zusammenfassung:

$\begin{array}{ll}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

$3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\rho (\overline{r},t)$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=\overline{j}$

Dabei beschreibt

$\begin{array}{ll}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

die Wechselwirkung der Felder mit Probeladungen und

$3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\rho (\overline{r},t)$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=\overline{j}$

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

$\begin{array}{ll}& \overline{D}(\overline{r},t)={\epsilon }_0\overline{E}(\overline{r},t)+\overline{P}(\overline{r},t)\\ & \overline{H}(\overline{r},t)=\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}(\overline{r},t)-\overline{M}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Im Gauß System ( weil so oft in diesem angegeben, vergl. Jackson):

$\begin{array}{ll}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=0\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

$3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=4\pi \rho (\overline{r},t)$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=\frac{4\pi }{c}\overline{j}$

die Erzeugung der Felder durch FREIE Ladungen und Ströme

Weiter:

$\begin{array}{ll}& 5)\overline{D}(\overline{r},t)=\overline{E}(\overline{r},t)+4\pi \overline{P}(\overline{r},t)\\ & 6)\overline{H}(\overline{r},t)=\overline{B}(\overline{r},t)-4\pi \overline{M}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Unsere 6 Feldgleichungen ( wenn man so will, also ( es kann nicht oft genug gezeigt werden):

$\begin{array}{ll}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=0\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ \end{array}$

$3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=4\pi \rho (\overline{r},t)$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=\frac{4\pi }{c}\overline{j}$

$\begin{array}{ll}& 5)\overline{D}(\overline{r},t)=\overline{E}(\overline{r},t)+4\pi \overline{P}(\overline{r},t)\\ & 6)\overline{H}(\overline{r},t)=\overline{B}(\overline{r},t)-4\pi \overline{M}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

sind nicht vollständig. Es muss noch der Zusammenhang zwischen Polarisation und E- Feld, bzw. B- Feld und Magnetisierung angegeben werden. Dies sind die sogenannten " Materialgleichungen".

Einfachster Fall:

1. isotrope Materie:

$\overline{E}(\overline{r},t)\left|\right|\overline{P}(\overline{r},t)$

und für paramagnetische Stoffe $\overline{B}(\overline{r},t)\uparrow \uparrow \overline{M}(\overline{r},t)$

für diamagnetische Stoffe: $\overline{B}(\overline{r},t)\uparrow \downarrow \overline{M}(\overline{r},t)$ , also ein skalarer Zusammenhang

1. bei nicht zu hohen Feldern:

$\overline{E}\stackrel{~}{}\overline{P}$

$\overline{B}\stackrel{~}{}\overline{M}$

also ein linearer Zusammenhang

1. ohne Gedächtniseffekte, keine nichtlokale Wechselwirkung ( keine Phasenkohärenzen):

$\overline{E}(\overline{r},t)\stackrel{~}{}\overline{P}(\overline{r},t)$

$\overline{B}(\overline{r},t)\stackrel{~}{}\overline{M}(\overline{r},t)$

neben der Linearität also ein INSTANTANER, LOKALER Zusammenhang !

Dann kann man schreiben:

$\overline{P}(\overline{r},t)={\epsilon }_0{\chi }_e\overline{E}(\overline{r},t)$

$\overline{M}(\overline{r},t)={\chi }_M\overline{H}(\overline{r},t)$

Mit den Suszeptibilitäten, der elektrischen Suszeptibilität

${\chi }_e$ und der magnetischen Suszeptibilität ${\chi }_M$ ( Materialkonstanten). Die Materialkonstanten müssen aus den mikroskopischen Theorien ( z.B. Quantentheorie, Festkörperphysik) abgeleitet werden.

$\overline{D}(\overline{r},t)={\epsilon }_0\overline{E}(\overline{r},t)+\overline{P}={\epsilon }_0(1+{\chi }_e)\overline{E}(\overline{r},t)={\epsilon }_0\epsilon \overline{E}(\overline{r},t)$

mit

$\epsilon =(1+{\chi }_e)$ , der relativen Dielektrizitätskonstante ( permittivity)

$\overline{B}={\mu }_0(\overline{H}+\overline{M})={\mu }_0(1+{\chi }_M)\overline{H}(\overline{r},t)={\mu }_0\mu \overline{H}$

mit

$(1+{\chi }_M)=\mu$ , der relativen Permeabilität

$\Rightarrow \overline{M}={\chi }_M\overline{H}=\frac{1}{{\mu }_0}\frac{{\chi }_M}{\mu }\overline{B}=\frac{1}{{\mu }_0}\frac{{\chi }_M}{(1+{\chi }_M)}\overline{B}$

Man sagt: Ein Stoff ist paramagnetisch für $\frac{{\chi }_M}{(1+{\chi }_M)}>0$

diamagnetisch für $\frac{{\chi }_M}{(1+{\chi }_M)}<0$

paramagnetisch: ${\chi }_M>0\Rightarrow \mu >1$

diamagnetisch $0>{\chi }_M>-1\Rightarrow 0<\mu <1$

Bemerkungen

$\overline{E}(\overline{r},t)=0\Rightarrow \overline{P}=0$ beschreibt kein Ferroelektrikum

$\overline{B}=0\Rightarrow \overline{M}=0$ kein Ferromagnet

Es gilt stets ${\chi }_e>0$ ( Dielektrischer Effekt, Polarisierbarkeit -> es existiert keine negative Polarisierbarkeit)

${\chi }_M\begin{array}{c}>\\ <\\ \end{array}0$ Para- ODER Diamagnet

Ein Term $\stackrel{~}{}\overline{B}$ in $\overline{P}$ oder $\stackrel{~}{}\overline{E}$ in $\overline{M}$ kann gar nicht auftreten, schon wegen des falschen Raumspiegelverhaltens !

$\overline{E}$ ist polarer Vektor, $\overline{B}$ ist axialer Vektor !

${\rho }_P(\overline{r},t)=-\mathrm{\nabla }\cdot \overline{P}(\overline{r},t)$ ist ein Skalar

${\overline{j}}_M=rot\overline{M}$ ist ein polarer Vektor.

Abweichungen

1)Für anisotrope Kristalle : $\overline{P}(\overline{r},t)={\epsilon }_0{\overline{\overline{\chi }}}_e\overline{E}$

drückt den anisotropen Charakter aus mit einem symmetrischen Tensor ${\overline{\overline{\chi }}}_e$ .

2) für starke Felder gibt es nichtlineare Effekte, die ebenfalls tensoriellen Charakter der Suszeptibilität bedingen:

$\overline{P}(\overline{r},t)={\epsilon }_0({{\overline{\overline{\chi }}}_e}^{(1)}\overline{E}+{{\overline{\overline{\chi }}}_e}^{(2)}{\overline{E}}^2+{{\overline{\overline{\chi }}}_e}^{(3)}{\overline{E}}^3+...)$

Anwendung: optische Nichtlinearität, Beispiel: optische Bistabilität, optische Schalter:

Für hochfrequente Felder folgt:

$\overline{P}(\overline{r},t)={\epsilon }_0\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}dt\stackrel{´}{}{\chi }_e(\overline{r},\overline{r}\stackrel{´}{},t,t\stackrel{´}{})\overline{E}(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})$

( räumliche bzw. zeitliche Dispersion):

$\hat{\overline{P}}(\overline{k},\omega )={\epsilon }_0{\hat{\chi }}_e(\overline{k},\omega )\hat{\overline{E}}(\overline{k},\omega )$

Grenzbedingungen für Felder

_ Frage ist: Wie verhalten sich $\overline{B},\overline{H},\overline{D},\overline{E}$ an Grenzflächen, die verschiedene elektrische und magnetische Materialien ( Vakuum/ Materie) trennen ?

Integration der Maxwell- Gleichungen über ein Volumen V:

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=Q=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{D}(\overline{r},t)$

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})$

Bildlich:

Normalkomponenten: Betrachte einen Zylinder, der senkrecht auf einer Grenzfläche steht. Nun nimmt man die Maxwellgleichungen in integraler Schreibweise an und läßt den Zylinder unter Berücksichtigung von Integrationssätzen gegen Null- Höhe gehen:

also: Für die Normalkomponenten: h -> 0

Während also die Normalkomponente des B- Feldes an der Grenzfläche stetig ist, springt die Normalkomponente der dielektrischen Verschiebung um die Ladung, die an der Grenzfläche sitzt: Unter der Annahme, dass die Grenzfläche die freie Flächenladungsdichte $\sigma$ trägt:

$\begin{array}{ll}& \rho (\overline{r},t)=\sigma (x,y,t)\delta \left(z\right)\\ & {\overline{e}}_z\equiv \overline{n}\\ & \Rightarrow \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=Q=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\sigma (x,y,t)\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}({\overline{D}}^{(1)}-{\overline{D}}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{n}({\overline{D}}^{(1)}-{\overline{D}}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\sigma (x,y,t)\\ \end{array}$

$\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{B}=\underset{F}{\overset{}{\int }}d\overline{f}({\overline{B}}^{(1)}-{\overline{B}}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{n}({\overline{B}}^{(1)}-{\overline{B}}^{(2)})=0$

Somit müssen die Integranden übereinstimmen:

$\overline{n}({\overline{B}}^{(1)}-{\overline{B}}^{(2)})=0$

$\overline{n}({\overline{D}}^{(1)}-{\overline{D}}^{(2)})=\sigma (x,y,t)$

Tangentialkomponenten

Anwendung des verallgemeinerten Gaußschen Satz:

$1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=0$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)-\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=\frac{4\pi }{c}\overline{j}$

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}$

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})$

Auch hier: h-> 0

$\begin{array}{ll}& \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times \overline{E}=-\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times H(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times \overline{E}=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times H(\overline{r},t)=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})\\ \end{array}$

In beiden Fällen die Tangentialkomponenten der Felder ! senkrecht auf Flächenvektor und Feld

Wegen:

$\begin{array}{ll}& \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times \overline{E}=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})=-\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\times H(\overline{r},t)=\underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})=\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})\\ \end{array}$

Annahme: Grenzfläche trägt (freie) Flächenstromdichte $\begin{array}{ll}& \overline{g}\\ & \Rightarrow \overline{j}(\overline{r},t)=\overline{g}(x,y,t)\delta \left(z\right)\\ \end{array}$

wie es bei metallen der Fall ist !, dann:

$\begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\overline{j}=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{g}$

Weiter:

$\begin{array}{ll}& \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}\\ \end{array}$

können für Volumenintegrale mit verschwindendem Volumen nur einen Beitrag liefern, wenn $\frac{\partial }{\partial t}\overline{B},\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}$ Unendlichkeitsstellen besitzen.

Annahme:

$\overline{B},\overline{D}$ und $\frac{\partial }{\partial t}\overline{B},\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}$ sind beschränkt:

$\begin{array}{ll}& \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=0\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=0\\ & \begin{array}{c}\lim \\ h->0\\ \end{array}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{g}(x,y,t)\\ & \underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})=0\\ & \underset{\partial V}{\oint }df\overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})=\underset{F}{\overset{}{\int }}df\overline{g}(x,y,t)\\ \end{array}$

Somit haben wir die Grenzbedingungen für die Tangentialkomponenten:

$\begin{array}{ll}& \overline{n}\times ({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})=0\\ & \overline{n}\times (H{(\overline{r},t)}^{(1)}-H{(\overline{r},t)}^{(2)})=\overline{g}(x,y,t)\\ \end{array}$

Das heißt:

Die Tangentialkomponente des elektrischen Feldes E ist am Grenzübergang stetig Die Tangentialkomponente des magnetischen Feldes H springt am Grenzübergang um die Flächenstromdichte !

Bildlich: Sitzen Ladungen an einer Grenzfläche, so ist die Normalkomponente von D ( wichtig: Polarisationseffekt -> Polarisation muss irgendwo mit auftauchen) nicht stetig ! Fließen flächenartige Ströme entlang einer Grenzfläche, so ist die Tangentialkomponente von H nicht stetig !

Zusammenfassung:

$\delta \overline{E}:=({\overline{E}}^{(1)}-{\overline{E}}^{(2)})$

Maxwellgleichung Grenzbedingung

$\begin{array}{ll}& 1)\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}\overline{n}\times \delta \overline{E}=0\\ & 2)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\overline{n}\cdot \delta \overline{B}=0\\ \end{array}$

$3)\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\rho (\overline{r},t)\overline{n}\cdot \delta \overline{D}(\overline{r},t)=\sigma$

$4)\mathrm{\nabla }\times H(\overline{r},t)=\overline{j}+\frac{\partial }{\partial t}\overline{D}\overline{n}\times \delta H(\overline{r},t)=\overline{g}$

Also: die Tangenzialkomponente von E ist stetig Die Normalkomponente von D springt um die Flächenladungsdichte ( Flächendivergenz) Die Tangentialkomponente von H springt ( Flächenrotation) um die Flächenstromdichte Die Normalkomponente von B ist stetig.

Beispiele:

1. Grenzfläche zwischen 2 dielektrischen Materialien mit

$\begin{array}{ll}& {\epsilon }^{(1)}<{\epsilon }^{(2)}\\ & \sigma =0\\ \end{array}$

Zuerst zeichne man sich ein derartiges Diagramm hin !

$\begin{array}{ll}& {{\overline{E}}_t}^{(1)}={{\overline{E}}_t}^{(2)}\\ & {{\overline{D}}_n}^{(1)}={{\overline{D}}_n}^{(2)}\\ \end{array}$

letzteres wegen der verschwindenden Flächenladungsdichte !

$\begin{array}{ll}& {{\overline{E}}_t}^{(1)}={{\overline{E}}_t}^{(2)}\\ & {{\overline{D}}_n}^{(1)}={{\overline{D}}_n}^{(2)}\Rightarrow {\epsilon }_1{{\overline{E}}_n}^{(1)}={\epsilon }_2{{\overline{E}}_n}^{(2)}\\ & \Rightarrow {{\overline{E}}_n}^{(2)}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}{{\overline{E}}_n}^{(1)}\\ & \tan {\alpha }_1=\frac{{{\overline{E}}_t}^{(1)}}{{{\overline{E}}_n}^{(1)}}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\frac{{{\overline{E}}_t}^{(2)}}{{{\overline{E}}_n}^{(2)}}=\frac{{\epsilon }_1}{{\epsilon }_2}\tan {\alpha }_2\\ \end{array}$

Dies ist das Brechungsgesetz für die Feldlinien

Achtung ! Das Snelliussche Brechungsgesetz müsste man sich für den Verlauf des Energiestroms berechnen

1. Grenzfläche zwischen Vakuum ( Luft) und magnetischem Material

2.1 Sei speziell $\overline{B}\mathrm{\perp }$ Grenzfläche ( z.B. zwischen den Polschuhen eines Ringmagneten mit Luft dazwischen / Material genauso !)): In diesem Fall (keine Oberflächenströme) ist $\overline{B}$ grundsätzlich stetig ! B ist eh immer grundsätzlich stetig ! Wegen der Divergenzgleichung wird B immer ( wie D´) für Normalkomponenten herangezogen.

1. Paramagnetisch:

$\begin{array}{ll}& \frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}=\overline{M}+\overline{H}\\ & \overline{M}\uparrow \uparrow \overline{H}\\ \end{array}$

1. Paramagnetisch:

$\begin{array}{ll}& \frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}=\overline{M}+\overline{H}\\ & \overline{M}\uparrow \downarrow \overline{H}\\ \end{array}$

2.2 Sei speziell $\overline{B}\left|\right|$ Grenzfläche ( z.B. lange Spule mit Luft dazwischen / Material genauso !)): Wir müssen nun Tangentialkomponenten untersuchen. Dazu nimmt man die Rotationsgleichungen ( E und H):

In diesem Fall ist $\overline{H}$ stetig für $\overline{g}=0$ ( kein Oberflächenstrom)

Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit

Ziel: Berechnung der Materialkonstanten

5.5 Mikroskopisches Modell der Polarisierbarkeit

Ziel: Berechnung der Materialkonstanten ${\chi }_e$ aus einfachen mikroskopischen Modellen Methode: Berechne die induzierte mittlere elektrische Dipoldichte $\overline{P}$ für ein gegebenes Feld $\overline{E}$ .

Nebenbemerkung: Die Orientierungspolarisation ist nur mittels einer thermodynamischen- statistischen Theorie zu berechnen: Hier: Auseinandersetzung nur mit der " induzierten" Polarisation

Klassisches Atommodell:

homogen geladene Kugel mit Radius R und Elektronenladung $Q_e=-Ze<0$

Außerdem ein punktförmiger Kern mit $Q_k=+Ze>0$ am Ort ${\overline{r}}_k$

Merke:

Auch diese Berechnungen geschehen, wie im NOTFALL grundsätzlich zu empfehlen, durch Lösen integraler Darstellungen der Maxwellgleichungen

Ziel: Berechnung des elektrischen Feldes ${\overline{E}}_{el.}\left(\overline{r}\right)$ der Elektronen nach außen:

Gauß- Gesetz

$\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\mathrm{\nabla }\cdot \overline{D}(\overline{r},t)=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\rho (\overline{r},t)=Q=\underset{\partial V}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{D}(\overline{r},t)$

Wir müssen aber zurückkehren zu den mikroskopischen Maxwellgleichungen

Wichtig ! Integration immer über das Gebiet, in dem die Ladung vorhanden ist, aber ! Betrachtung des elektrischen Feldes an einem gewissen Aufpunkt r! Die Ladung ist eigentlich von r´ abhängig , aber hier homogen verteilt !-> einfache Integration.

Auswertung liefert

$\begin{array}{ll}& {\epsilon }_0\underset{\partial V(r\stackrel{´}{})}{\oint }d\overline{f}\cdot \overline{E}(\overline{r},t)=\underset{V(r\stackrel{´}{})}{\overset{}{\int }}\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{r{\stackrel{´}{}}^3}{R^3}Q\\ & \Rightarrow 4r{\stackrel{´}{}}^2\pi {\epsilon }_0\left|\overline{E}(\overline{r},t)\right|=\frac{r{\stackrel{´}{}}^3}{R^3}Q\\ & \Rightarrow \left|\overline{E}(\overline{r},t)\right|=\frac{r\stackrel{´}{}}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}Q\\ \end{array}$

Natürlich nur für

$r\stackrel{´}{}\le R$

setzt man $\overline{r}\stackrel{´}{}=\overline{r}-{\overline{r}}_e$ , wobei ${\overline{r}}_e$ das Zentrum der elektrischen Ladung angibt,

so gewinnt man das rotationssymmetrische Ergebnis

$\overline{E}(\overline{r},t)=\frac{\overline{r}-{\overline{r}}_e}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}{Q}_e$

und die Kraft auf den Kern folgt gemäß:

${\overline{F}}_K=Q_K\overline{E}({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)=\frac{{\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}{Q}_e{Q}_k=-\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)$

wegen actio = reactio folgt dann für die Kraft auf die Elektronen:

${\overline{F}}_e=-{\overline{F}}_K$

Aufstellen der Bewegungsgleichungen ( inklusive einem äußeren Feld ${\overline{E}}_a$ ):

$\begin{array}{ll}& m_K{\ddot{\overline{r}}}_k={\overline{F}}_K+Q_K{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)=-\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+Q_K{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)=-\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+Ze{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)\\ & Z{m}_e{\ddot{\overline{r}}}_e=-{\overline{F}}_K+Q_e{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)=\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+Q_e{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)=\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)-Ze{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)\\ \end{array}$

Also folgt für die Relativbewegung:

$\overline{r}={\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e$

als relativer Abstand

$\begin{array}{ll}& \ddot{\overline{r}}={\ddot{\overline{r}}}_k-{\ddot{\overline{r}}}_e=-\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3{m}_K}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+\frac{Ze}{m_K}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_{\stackrel{´}{}k},t)-\frac{Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3{m}_e}({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+\frac{e}{m_e}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)\\ & =-\frac{Z^2{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}(\frac{1}{m_K}+\frac{1}{Z{m}_e})({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)+Ze(\frac{1}{m_K}+\frac{1}{Z{m}_e}){\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)\\ & (\frac{1}{m_K}+\frac{1}{Z{m}_e})\approx \frac{1}{Z{m}_e}\\ & ({\overline{r}}_k-{\overline{r}}_e)=\overline{r}\\ & \Rightarrow \ddot{\overline{r}}=-\frac{Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{R}^3}\overline{r}+\frac{e}{m_e}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)\\ & \frac{Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{R}^3}:={{\omega }_0}^2\\ & \Rightarrow \ddot{\overline{r}}+{{\omega }_0}^2\overline{r}=\frac{e}{m_e}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)\\ \end{array}$

Also ergibt sich ein harmonischer Oszillator mit quadratischem Potenzial ! was wir schon an der Bestimmung des Potenzials sofort hätten sehen können !

Jedenfalls im stationären Zustand gilt:

$\overline{r}=\frac{e}{{{\omega }_0}^2{m}_e}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)$

( Dynamik mit Dämpfung)

$\Rightarrow {\chi }_e\left(\omega \right)$

Als Ergebnis gewinnen wir ein statisch mikroskopisch elektrisches Dipolmoment, welches sich über p=qd bereits hinschreiben läßt und welches auch übereinstimmt mit Gleichungen von oben zur exakten Berechnung des elektrischen Dipolmoments:

$\begin{array}{ll}& \overline{p}=Ze\overline{r}=\frac{Z{e}^2}{{{\omega }_0}^2{m}_e}{\overline{E}}_a({\overline{r}}_k,t)={\epsilon }_0\alpha {\overline{E}}_a\\ & \alpha :=\frac{Z{e}^2}{{{\omega }_0}^2{\epsilon }_0{m}_e}\\ & \frac{Z{e}^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{R}^3}:={{\omega }_0}^2\\ & \Rightarrow \alpha :=\frac{Z{e}^2}{{{\omega }_0}^2{\epsilon }_0{m}_e}=4\pi R^3=3V_{Atom}\\ \end{array}$

Die Polarisierbarkeit des Atoms, ein mikroskopischer Parameter. Entsprechend:

$\begin{array}{ll}& \overline{p}=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\rho }_e(r\stackrel{´}{})\overline{r}\stackrel{´}{}+Ze\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & Ze\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=Ze\overline{r}\\ & \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\rho }_e(r\stackrel{´}{})\overline{r}\stackrel{´}{}=-\frac{Ze}{\frac{4\pi }{3}{R}^3}\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\\ & \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}=0\\ \end{array}$

wegen Symmetrie

$\overline{p}=Ze\overline{r}$

makroskopisch gemittelte Energiedichte:

$\overline{P}=n\overline{p}={\epsilon }_{0}n\alpha {\overline{E}}_a$

mit der mittleren Atomdichte n

Selbstkonsistente Berechnung des Lokalfeldes Ea:

Wichtig: Berücksichtigung der Felder, die durch andere elektrische Dipole erzeugt werden:

Gedankenexperiment

Feld einer homogenen polarisierten Kugel:

Ansatz: homogen geladene Kugel:

${\overline{E}}_0\left(\overline{r}\right)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}\frac{\overline{r}}{a^3}r\le a\\ \frac{\overline{r}}{r^3}r\ge a\\ \end{array}$

Also:

${\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}c-\frac{{\overline{r}}^2}{2a^3}r\le a\\ \frac{1}{r}r\ge a\\ \end{array}$

Bestimmung der Integrationskonstanten:

$\begin{array}{c}\lim \\ \epsilon ->0\\ \end{array}{\mathrm{\Phi }}_0(a-\epsilon )={\mathrm{\Phi }}_0(a+\epsilon )\Rightarrow c=\frac{3}{2a}$

die homogen polarisierte Kugel

Bei der homogen polarisierten Kugel kann man 2 entgegegengesetzt homogen geladene Kugeln mit Abstand ro annehmen.

Dann: ro -> 0

Bilde:

$\begin{array}{ll}& {\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)={\mathrm{\Phi }}_0(\overline{r}-\frac{1}{2}{\overline{r}}_0)-{\mathrm{\Phi }}_0(\overline{r}+\frac{1}{2}{\overline{r}}_0)\\ & \approx -{\overline{r}}_0\mathrm{\nabla }{\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)\\ & \mathrm{\nabla }{\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)=-{\overline{E}}_0\\ & \Rightarrow {\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)\approx {\overline{r}}_0{\overline{E}}_0=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}\frac{{\overline{r}}_0\overline{r}}{a^3}r\le a\\ \frac{{\overline{r}}_0\overline{r}}{r^3}r\ge a\\ \end{array}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}\frac{\overline{p}\overline{r}}{a^3}r\le a\\ \frac{\overline{p}\overline{r}}{r^3}r\ge a\\ \end{array}\\ & \overline{p}:=Q{\overline{r}}_0\\ \end{array}$

Das Dipolmoment der herausgeschnittenen Kugel.

Als Näherung wurde taylorentwickelt. Dabei allerdings nur bis zur ersten Ordnung und Nullte Ordnung verschwindet. Verwendet wurde das Dipolmoment der Kugel. Man kann auf Polarisation ( eigentlich Dipoldichte) umschreiben:

$\begin{array}{ll}& \overline{P}=\frac{\overline{p}}{\frac{4}{3}{a}^3\pi }\\ & \Rightarrow {\mathrm{\Phi }}_0\left(\overline{r}\right)\approx {\overline{r}}_0{\overline{E}}_0=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}\frac{{\overline{r}}_0\overline{r}}{a^3}r\le a\\ \frac{{\overline{r}}_0\overline{r}}{r^3}r\ge a\\ \end{array}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\{\begin{array}{c}\frac{\overline{P}\overline{r}}{3}r\le a\\ \overline{P}\overline{r}\frac{a^3}{r^3}r\ge a\\ \end{array}\\ \end{array}$

Wir gewinnen innerhalb der Kugel homogene Polarisation und außerhalb ein Dipolpotenzial.

${\overline{E}}_{Kugel}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\frac{\overline{P}}{3}r\le a$

für das elektrische Feld im Inneren der Kugel ( homogen polarisiert).

Gesamtes Lokalfeld am Ort des Atoms ergibt sich nach:

das äußere Feld wird erzeugt durch Atome, die sich außerhalb der Hohlkugel befinden. Das innere Feld durch Atome im Inneren der Hohlkugel. Gezeichnet: Lokalfeld einer polarisierten dielektrischen Kugel im homogenen elektrischen Feld

Das Lokalfeld im INNEREN des KugelHOHLRAUMS, welcher aus dem Volumen herausgeschnitten wurde:

${\overline{E}}_a\left(\overline{r}\right)=\overline{E}-{\overline{E}}_{KUgel}$

$\begin{array}{ll}& {\overline{E}}_a\left(\overline{r}\right):Lokalfeld\\ & \overline{E}:makroskopisch\\ & {\overline{E}}_a\left(\overline{r}\right)=\overline{E}+\frac{1}{3{\epsilon }_0}\overline{P}\\ \end{array}$

Letztes wurde von Lorentz eingeführt als "Korrekturfeld"

weil

${\overline{E}}_a+{\overline{E}}_{Kugel}=\overline{E}$ sein muss

Das Lokalfeld am Ort des Atoms mit dem Innenfeld der dielektrischen Kugel ( wieder in den Hohlraum eingesetzt) ergibt das mittlere makroskopische Feld !

Zusammenhang zwischen P und makroskopischem Feld E:

$\begin{array}{ll}& \overline{P}={\epsilon }_{0}n\alpha {\overline{E}}_a={\epsilon }_{0}n\alpha (\overline{E}+\frac{1}{3{\epsilon }_0}\overline{P})\\ & \overline{P}={\epsilon }_0{\chi }_e\overline{E}\\ & \Rightarrow {\chi }_e=\frac{n\alpha }{1-\frac{1}{3}n\alpha }\\ & n\alpha =\frac{{\chi }_e}{1+\frac{1}{3}{\chi }_e}=\frac{\epsilon -1}{1+\frac{\epsilon -1}{3}}=3\frac{\epsilon -1}{\epsilon +2}\\ \end{array}$

Formel von Clausius - Masotti für polarisierte Kugel

Wellenausbreitung in Materie

Annahme: homogene, isotrope, lineare Medien mit skalaren Materialparametern $\epsilon ,\mu ,\sigma$

$\begin{array}{ll}& \overline{D}=\epsilon {\epsilon }_0\overline{E}\epsilon >1\\ & \overline{B}={\mu }_0\mu \overline{H}i.a.\mu \stackrel{~}{}1\\ & \overline{j}=\sigma \overline{E}\\ \end{array}$

( ohmsches Gesetz)

Wellen in leitenden Medien ohne Dispersion:

Das heißt: $\epsilon ,\mu ,\sigma$ nicht frequenzabhängig !

Sei

$\begin{array}{ll}& \rho =0\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{E}+\dot{\overline{B}}=0\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{B}-{\mu }_0\mu \epsilon {\epsilon }_0\dot{\overline{E}}={\mu }_0\mu \overline{j}={\mu }_0\mu \sigma \overline{E}\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=0\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}=0\\ & \Rightarrow \mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E})-\mathrm{\Delta }\overline{E}=-\mathrm{\Delta }\overline{E}=-\mathrm{\nabla }\times \dot{\overline{B}}=-{\mu }_0\mu \sigma \dot{\overline{E}}-{\mu }_0\mu \epsilon {\epsilon }_0\ddot{\overline{E}}\\ & \\ & \mathrm{\Delta }\overline{E}={\mu }_0\mu \sigma \dot{\overline{E}}+{\mu }_0\mu \epsilon {\epsilon }_0\ddot{\overline{E}}\\ \end{array}$

Somit erhalten wir die Gleichung einer gedämpften Welle

$\begin{array}{ll}& \mathrm{\Delta }\overline{E}-\frac{1}{{c_m}^2}(\frac{\sigma }{\epsilon {\epsilon }_0}\dot{\overline{E}}+\ddot{\overline{E}})=0\\ & c_m:=\frac{1}{\sqrt{\epsilon {\epsilon }_0\mu {\mu }_0}}=c\frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu }}\\ \end{array}$

Für den eindimensionalen Fall: sogenannte Telegraphengleichung. Beschreibt die Drahtwellenausbreitung !

Spezielle Lösung dieses Problems:

homogene, ebene Welle:

$\begin{array}{ll}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}\\ & \Rightarrow k^2=\epsilon \mu \frac{{\omega }^2}{c^2}(1+i\frac{1}{\omega \tau })\\ \end{array}$

Dispersionsrelation für den Fall der frequenzunabhängigen Parameter Durch die Dämpfung $\sigma$ ist der Wellenvektor ein komplexer Parameter.

$k\in C$

Setze:

$k=\frac{\omega }{c}\tilde{n}=\frac{\omega }{c}(n+i\gamma )$

mit c: Vakuumlichtgeschwindigkeit

$\tilde{n}=(n+i\gamma )$ komplexer Brechungsindex ! Somit:

$k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}{\tilde{n}}^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}(n^2-{\gamma }^2+2in\gamma )=\frac{{\omega }^2}{c^2}\epsilon \mu (1+i\frac{1}{\omega \tau })$

Damit können Real- und Imaginärteil durch Vergleich herangezogen werden, um Gamma und n zu bestimmen:

$\begin{array}{ll}& n^2-{\gamma }^2=\epsilon \mu \\ & n\gamma =\frac{\epsilon \mu }{2\omega \tau }\\ \end{array}$

• Bestimmung von
• $n,\gamma$
• :

o.B.d.A.:

$\overline{k}\left|\right|{\overline{x}}_3$

Ausschreiben der Welle:

$\begin{array}{ll}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}\\ & \overline{E}({\overline{x}}_3,t)={\overline{E}}_0{e}^{-\frac{x_3}{\lambda }}{e}^{-i\omega (t-\frac{n}{c}{x}_3)}\\ \end{array}$

Also eine gedämpfte Welle mit der Phasengeschwindigkeit $\frac{c}{n}$ und dem Extinktionskoeffizienten

$\lambda =\frac{c}{\omega \gamma }$

Lineare Polarisation:

${\overline{E}}_0\left|\right|{\overline{x}}_1\Rightarrow {\overline{B}}_0\left|\right|{\overline{x}}_2$

$\begin{array}{ll}& {(\mathrm{\nabla }\times \overline{E})}_2=\frac{\partial E_1}{\partial x_3}=-{\dot{B}}_2\\ & \iff i\frac{\omega }{c}(n+i\gamma )E_1=i\omega B_2\\ & \iff B_2=\frac{(n+i\gamma )}{c}{E}_1=\frac{\sqrt{n^2+{\gamma }^2}}{c}{e}^{i\varphi }{E}_1\\ \end{array}$

Somit existiert eine Phasenverschiebung $\varphi$ zwischen E und B

Der Isolator

$\begin{array}{ll}& \sigma =0\\ & \tau \to \mathrm{\infty }\\ \end{array}$

Folgen:

$\gamma =0$ keine Dämpfung

$\varphi$ =0 keine Phasenverschiebung zwischen E und B

• kommt erst durch die Dämpfung !
• i m Isolator schwingen E und B in Phase !

reeller Brechungsindex:

$n=\sqrt{\epsilon \mu }\approx \sqrt{\epsilon }>1$

• Phasengeschwindigkeit :
• $\frac{c}{n}<c$

Nebenbemerkung: Nur OHNE DISPERSION ist $\epsilon$ reell

Metalle

$\tau =\frac{{\epsilon }_0\epsilon }{\sigma }<<\frac{1}{\omega }$ für alle Frequenzen bis UV Somit:

$\begin{array}{ll}& k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}(n^2-{\gamma }^2+2in\gamma )\approx \frac{{\omega }^2}{c^2}\epsilon \mu \frac{i}{\omega \tau }\\ & \Rightarrow n^2-{\gamma }^2\approx 0\\ & n\gamma \approx n^2\approx {\gamma }^2\approx \frac{\epsilon \mu }{2\omega \tau }\Rightarrow n=\gamma =\sqrt{\frac{\epsilon \mu }{2\omega \tau }}\\ & \tan \varphi =\frac{\gamma }{n}\approx 1\Rightarrow \varphi \approx \frac{\pi }{4}\\ \end{array}$

Extinktionskoeffizient

$d<<\frac{c}{\omega \gamma }\stackrel{~}{}cm$ für 100 Hz ( hochfrequente Wellen dringen nicht in Metall ein, Grund: Verschiebungsstrom << Leitungsstrom)

Dielektrische Dispersion

Annahme: $\mu =1$

Betrachte nun zeitliche Dispersion, also

$\begin{array}{ll}& \hat{\chi }\left(\omega \right):\\ & \hat{\overline{P}}\left(\omega \right)={\epsilon }_0\hat{\chi }\left(\omega \right)\hat{\overline{E}}\left(\omega \right)\\ \end{array}$

mit:

$\hat{\chi }\left(\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\chi \left(t\right)e^{i\omega t}$

dynamische elektrische Suszeptibilität

Fourier- Trafo:

$\begin{array}{ll}& \overline{P}(\overline{r},t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \hat{\overline{P}}(\overline{r},\omega )e^{-i\omega t}\\ & \hat{\overline{E}}(\overline{r},\omega )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\overline{E}(\overline{r},t)e^{+i\omega t}\\ & \Rightarrow \overline{P}(\overline{r},t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega {\epsilon }_0\hat{\chi }\left(\omega \right)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}\overline{E}(\overline{r},t\stackrel{´}{})e^{+i\omega (t\stackrel{´}{}-t)}\\ \end{array}$

Betrachte:

$\begin{array}{ll}& \frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega {\epsilon }_0\hat{\chi }\left(\omega \right)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}{e}^{+i\omega (t\stackrel{´}{}-t)}:=\frac{{\epsilon }_0}{\sqrt{2\pi }}\chi (t-t\stackrel{´}{})\\ & \Rightarrow \overline{P}(\overline{r},t)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega {\epsilon }_0\hat{\chi }\left(\omega \right)\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}\overline{E}(\overline{r},t\stackrel{´}{})e^{+i\omega (t\stackrel{´}{}-t)}=\frac{{\epsilon }_0}{\sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}\chi (t-t\stackrel{´}{})\overline{E}(\overline{r},t\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Nachwirkungseffekt: Faltungsintegral -> Berücksichtigung des Nachwirkungseffekts über Faltungsintegral.

Nebenbemerkung: Kausalität verlangt:

$\begin{array}{ll}& \chi (t-t\stackrel{´}{})=0\\ & f\ddot{u}r\\ & t\stackrel{´}{}>t\\ \end{array}$

Aus mikroskopischen Modellen folgt i.A. ein komplexes $\hat{\chi }\left(\omega \right)\in C$

• Komplexe dielektrische Funktion:

$\begin{array}{ll}& \epsilon \left(\omega \right)=1+\hat{\chi }\left(\omega \right)=\epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \right)+i\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \right)\\ & \epsilon \stackrel{´}{},\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\in R\\ \end{array}$

Aus:

$\begin{array}{ll}& \epsilon \left(\omega \right)=1+\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\chi \left(t\right)e^{i\omega t}\\ & \Rightarrow \epsilon *(\omega )=\epsilon (-\omega )\\ & \epsilon \stackrel{´}{}(\omega )=\epsilon \stackrel{´}{}(-\omega )\\ & \epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(\omega )=-\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(-\omega )\\ \end{array}$

Monochromatische ebene Welle:

$\begin{array}{ll}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}\\ & \Rightarrow k^2=\epsilon \left(\omega \right)\frac{{\omega }^2}{c^2}(1+i\frac{1}{\omega \tau })\\ \end{array}$

Isolator ( dispersives Dielektrikum)

$\begin{array}{ll}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}\\ & \Rightarrow k^2=\epsilon \left(\omega \right)\frac{{\omega }^2}{c^2}\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& \tilde{n}\left(\omega \right)=n\left(\omega \right)+i\gamma \left(\omega \right)\\ & \tilde{n}{\left(\omega \right)}^2=\epsilon \left(\omega \right)\equiv \epsilon \stackrel{´}{}+i\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & \epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \right)=n^2-{\gamma }^2\\ & \epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \right)=2n\gamma \\ & \Rightarrow \begin{array}{c}\gamma \\ n\\ \end{array}\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{(\sqrt{\epsilon {\stackrel{´}{}}^2+\epsilon \stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}^2}\mp \epsilon \stackrel{´}{})}^{\frac{1}{2}}\\ \end{array}$

Dabei

$\begin{array}{c}\gamma \\ n\\ \end{array}\}=\frac{1}{\sqrt{2}}{(\sqrt{\epsilon {\stackrel{´}{}}^2+\epsilon \stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}^2}\mp \epsilon \stackrel{´}{})}^{\frac{1}{2}}$

Als Absorptionskoeffizient $\gamma$ ( reeller Brechungsindex n)

Absorption

$\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=0\Rightarrow \gamma =0,n=\sqrt{\epsilon \stackrel{´}{}}$

Absorptionskoeffizient Null, reeller Brechungsindex: Wurzel epsilon Also: für $\epsilon \stackrel{´}{}>0$ -> ungedämpfte Welle

$\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}>0\Rightarrow \gamma >0$

• in jedem Fall gedämpfte Welle ( Energiedissipation).

Der Frequenzbereich mit

$\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}<<\epsilon \stackrel{´}{}$ heißt Transparenzgebiet der Substanz ( besonders wenig Absorption).

Dispersion

$\mathrm{R}\mathrm{e}k=k\stackrel{´}{}=\frac{\omega }{c}n(\omega )$ nichtlineare Dispersion ( nur in erster Näherung ist n(w) linear !)

• Definition der Gruppengeschwindigkeit:

$\begin{array}{ll}& v_g:=\frac{d\omega }{dk\stackrel{´}{}}=\frac{1}{\frac{dk\stackrel{´}{}}{d\omega }}=\frac{c}{\frac{d\left(\omega n\right)}{d\omega }}\\ & v_g=\frac{c}{n+\omega \frac{dn}{d\omega }}\ne \frac{c}{n\left(\omega \right)}=v_{ph.}\\ \end{array}$

Typische Frequenzabhängigkeit: ( sogenanntes Resonanzverhalten):

Normale Dispersion

$\frac{dn}{d\omega }>0$

Stets im Transparenzgebiet, also wenn $\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\stackrel{~}{}0$

$v_g<v_{ph.}$

Anormale Dispersion

$\frac{dn}{d\omega }<0$ bei Absorption !

Beziehung zwischen $\epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \right)$ und $\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \right)$

Kramers- Kronig- Relation

• Allgemein gültiger Zusammenhang zwischen Dispersion
• $n\left(\omega \right)$
• und Absorption
• $\gamma \left(\omega \right)$
• .
• erlaubt z.B. dann die Berechnung von Dispersionsrelationen aus dem Absorptionsspektrum und auch umgekehrt
• Folgt alleine aus dem Kausalitätsprinzip !

Beweis ( Funktionenthorie)

Für kausale Funktion gilt:

$\begin{array}{ll}& \chi \left(t\right)=\mathrm{\Theta }\left(t\right)\chi \left(t\right)\\ & \mathrm{\Theta }\left(t\right)=\{\begin{array}{c}\begin{array}{ll}& 0t<0\\ & 1t\ge 0\\ \end{array}\\ \\ \end{array}\\ \end{array}$ Heavyside

Fourier- Trafo:

$\hat{\chi }\left(\omega \right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{}{\overset{}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\mathrm{\Theta }(\omega -\omega \stackrel{´}{})\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)$

$\begin{array}{ll}& \hat{\mathrm{\Theta }}\left(\omega \right):=\begin{array}{c}\lim \\ \sigma ->0+\\ \end{array}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{e}^{i\omega t-\sigma t}=\begin{array}{c}\lim \\ \sigma ->0+\\ \end{array}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\frac{1}{i\omega -\sigma }\\ & \\ \end{array}$

Mit dem konvergenzerzeugenden Faktor $\sigma$

Also:

$\hat{\chi }\left(\omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{array}{c}\lim \\ \sigma ->0+\\ \end{array}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)$

Der Integrand hat einen Pol für

$\omega \stackrel{´}{}=\omega +i\sigma$

Also:

Äquivalenter Integrationsweg:

Zerlegung:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)=\begin{array}{c}\lim \\ \epsilon ->0^{+}\\ \end{array}\left[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\omega -\epsilon }{\int }}+\underset{\omega +\epsilon }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\right]d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)+\underset{Kreisbogen}{\int }d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)$

Man sagt:

$\begin{array}{c}\lim \\ \epsilon ->0^{+}\\ \end{array}\left[\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\omega -\epsilon }{\int }}+\underset{\omega +\epsilon }{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\right]d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)=P\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)$

= Hauptwertintegral ( principal Value), entsteht nur direkt an der Polstelle !

$\underset{Kreisbogen}{\int }d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)$

Integral längs des Halbkreis mit Radius $\epsilon$ um den Pol !

$\begin{array}{ll}& \underset{Kreisbogen}{\int }ds\frac{f(s)}{s}=f(0)\underset{Kreisbogen}{\int }\frac{ds}{s}\\ & s=\epsilon e^{i\varphi }\Rightarrow ds=isd\varphi \\ & f(0)\underset{Kreisbogen}{\int }\frac{ds}{s}=f(0)i\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\varphi =i\pi f(0)\\ \end{array}$

sogenanntes " Halbes Residuum!"

Also:

$\begin{array}{ll}& \hat{\chi }\left(\omega \right)=\frac{1}{2\pi i}\begin{array}{c}\lim \\ \sigma ->0+\\ \end{array}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega -i\sigma }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)\\ & =\frac{1}{2\pi i}P\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)+\frac{1}{2}\hat{\chi }\left(\omega \right)\\ & \Rightarrow \hat{\chi }\left(\omega \right)=\frac{1}{\pi i}P\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\hat{\chi }\left(\omega \stackrel{´}{}\right)\\ \end{array}$

Nun: Zerlegung in Re und Im mit

$\begin{array}{ll}& \mathrm{R}\mathrm{e}\hat{\chi }\left(\omega \right)=\epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \right)-1\\ & \mathrm{I}\mathrm{m}\hat{\chi }\left(\omega \right)=\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \right)\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{ll}& \mathrm{R}\mathrm{e}\hat{\chi }\left(\omega \right)=\epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \right)-1=\frac{1}{\pi }P\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \stackrel{´}{}\right)\\ & \mathrm{I}\mathrm{m}\hat{\chi }\left(\omega \right)=\epsilon \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\omega \right)=-\frac{1}{\pi }P\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \stackrel{´}{}\frac{1}{\omega \stackrel{´}{}-\omega }(\epsilon \stackrel{´}{}\left(\omega \stackrel{´}{}\right)-1)\\ \end{array}$

Dies ist die Kramers- Kronig- Relation. Sie verknüpft Real- und Imaginärteil des komplexen Brechungsindex miteinander !

Titchmask- Theorem:

$\hat{\chi }\left(z\right)$ sollte regulär sein auf der oberen komplexen z- Halbebene Somit:

$\hat{\chi }\left(z\right)\to 0$ für $\mathrm{I}\mathrm{m}z\to \mathrm{\infty }$

Brechung und Reflexion

Wir haben bereits gesehen, wie man aus den Stetigkeitsbedingungen mit Hilfe der integralen Maxwellgleichungen die Brechungsrelationen für die Feldvektoren herleiten kann. Nun soll dies für Lichtwellen wiederholt / vertieft werden:

Sogenannte Wellenausbreitung in geschichteten Medien Transparent -> ${\epsilon }_i\in R$

$\begin{array}{ll}& \frac{\omega }{c_1}=\left|\overline{k}\right|=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\right|=\frac{\omega \stackrel{´}{}}{c_1}\\ & \left|\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right|=\frac{\omega \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{c_2}\\ & c_i=\frac{c}{n_i}=\frac{c}{\sqrt{{\epsilon }_i}}i=1,2\\ & \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}\\ \end{array}$

Einfallende Welle:

$\overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\omega t)}$

Reflektierte Welle:

$\overline{E}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0\stackrel{´}{}{e}^{i(\overline{k}\stackrel{´}{}\overline{r}-\omega \stackrel{´}{}t)}$

Transmittierte Welle:

$\overline{E}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{e}^{i(\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\overline{r}-\omega \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}t)}$

Grenzbedingungen für $\overline{E}(\overline{r},t)$ . Annahme: linear polarisiert:

${E_1+E_1\stackrel{´}{}|}_{x_3=0}={E_1\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}_{x_3=0}$ -> Stetigkeit der Tangenzialkomponenten Diese Bedingungen werden nur an die Amplituden gestellt. Für die Phasen gibt es keine Bedingungen, besser gesagt:

Betrachte Situation für r=0

$\begin{array}{ll}& {\overline{E}}_{01}{e}^{i\omega t}+{\overline{E}}_{01}\stackrel{´}{}{e}^{i\omega \stackrel{´}{}t}={\overline{E}}_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{e}^{i\omega \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}t}\\ & \Rightarrow \omega =\omega \stackrel{´}{}=\omega \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & {\overline{E}}_{01}+{\overline{E}}_{01}\stackrel{´}{}={\overline{E}}_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ \end{array}$

Das Snelliussche Brechungsgesetz können wir uns nicht als Amplitudenverhältnis anschauen, weil wir sonst wieder nur die Brechung der elektrischen Feldvektoren gewinnen. Aber: Wenn man ein Verhältnis der Beträge der k- Vektoren ( Ausbreitungsrichtung des Energiestroms) betrachtet, so ergibt sich das richtige Ausbreitungsgesetz:

Betrachte für t=0

$E_{01}{e}^{i{k}_1{x}_1}+E_{01}\stackrel{´}{}{e}^{ik{\stackrel{´}{}}_1{x}_1}=E_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{e}^{i{k}_1\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{x}_1}$

Also:

$k_1=k_1\stackrel{´}{}=k_1\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$

Aber: ( Siehe Skizze) ! Dies gilt ja genau für die Anteile entlang x^1, also: muss man den Winkel dazunehmen und man gewinnt:

$\begin{array}{ll}& \left|\overline{k}\right|\sin \gamma =\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\right|\sin \gamma \stackrel{´}{}=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right|\sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & \left|\overline{k}\right|=\frac{\omega }{c_1}\\ & \left|\overline{k}\stackrel{´}{}\right|=\frac{\omega }{c_1}\\ & \left|\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right|=\frac{\omega }{c_2}\\ \end{array}$

Somit gewinnen wir Reflexions und Snelliussches Brechungsgesetz:

$\begin{array}{ll}& \sin \gamma =\sin \gamma \stackrel{´}{}\\ & \frac{\sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{\sin \gamma }=\frac{c_2}{c_1}=\frac{n_1}{n_2}\\ \end{array}$

Reflexions- und Brechungsgesetz

Bestimmung der Amplituden:

1. Polarisation von E in der Einfallsebene

Stetigkeitsbedingungen: Normalkomponenten sind keine vorhanden -> Nur Tangentialkomponenten:

$\begin{array}{ll}& E_{01}=E_{01}\stackrel{´}{}=E_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=0\\ & E_{03}=E_{03}\stackrel{´}{}=E_{03}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=0\\ \end{array}$

Für die Tangentialkomp.:

$E_{02}+E_{02}\stackrel{´}{}=E_{02}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$

Mit

${\overline{B}}_0=\frac{c}{\omega }\overline{k}\times {\overline{E}}_0=\frac{c}{\omega }{E}_{02}\left(\begin{array}{c}-k_3\\ 0\\ k_1\\ \end{array}\right)$

Somit folgt dann für die Tangentialkomponente von B:

$B_{01}+B_{01}\stackrel{´}{}=B_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\Rightarrow k_3{E}_{02}+k_3\stackrel{´}{}E{\stackrel{´}{}}_{02}=k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}{E}_{02}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$

mit dem Reflexionsgesetz.

$k_3=-k_3\stackrel{´}{}$

$\begin{array}{ll}& \Rightarrow k_3(E_{02}-E{\stackrel{´}{}}_{02})=k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(E_{02}+E_{02}\stackrel{´}{})\\ & \Rightarrow \frac{E{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}=\frac{k_3-k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{k_3+k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}\\ & \frac{E\stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}=\frac{2k_3}{k_3+k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}\\ \end{array}$

Man muss nun nur $k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$ über den Brechungswinkel $\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$ ausdrücken und man gewinnt die Fresnelschen Formeln:

$\begin{array}{ll}& k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right|\cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\right|\frac{n_2}{n_1}\cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & \frac{n_2}{n_1}=\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}\\ & \Rightarrow k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right|\cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\left|\overline{k}\stackrel{´}{}\right|\frac{\sin \gamma }{\sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}\cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & k_3=\left|\overline{k}\right|\cos \gamma \\ \end{array}$

Also können wir dies in die gefundenen Formeln für die Amplitudenverhältnisse einsetzen und erhalten die Brechungsformeln ( Fresnelsche Formeln) nur noch in Abhängigkeit von den Winkeln:

Also:

$\begin{array}{ll}& \frac{E{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}=\frac{\cos \gamma \sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\sin \gamma \cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{\cos \gamma \sin \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\sin \gamma \cos \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}=\frac{\sin (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\gamma )}{\sin (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}\\ & \frac{E\stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}=\frac{2k_3}{k_3+k_3\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}=\frac{2\sin \left(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right)\cos \gamma }{\sin (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}\\ \end{array}$

Intensitätsverhältnisse:

betrachte: Zeitmittel des Poynting- Vektors:

$⟨\overline{S}⟩=\frac{1}{T}\underset{0}{\overset{T}{\int }}dt(\overline{E}\times \overline{H})$

Reflexionskoeffizient: ( bei senkrechter Polarisation)

$\begin{array}{ll}& R_{\mathrm{\perp }}={\left|\frac{E{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}\right|}^2=\frac{{\sin }^2(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\gamma )}{{\sin }^2(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}\\ & \\ \end{array}$

Transmissionskoeffizient ( bei senkrechter Polarisation)

$T_{\mathrm{\perp }}={\left|\frac{E\stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_{02}}{E_{02}}\right|}^2=\frac{4{\sin }^2\left(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right){\cos }^2\gamma }{{\sin }^2(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}=1-R_{\mathrm{\perp }}$

1. Polarisation von
2. $\overline{E}\left|\right|$
3. Einfallsebene:

Dadurch: $\overline{B}\mathrm{\perp }$ Einfallsebene

• Analoge Argumentation:

$\begin{array}{ll}& B_{01}=B_{01}\stackrel{´}{}=B_{01}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=0\\ & B_{03}=B_{03}\stackrel{´}{}=B_{03}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=0\\ & B_{02}+B_{02}\stackrel{´}{}=B_{02}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ \end{array}$

usw... ebenfalls Bildung der Verhältnisse in Abhängigkeit von k -> wie beim Vorgehen in a) weiter rechnen. k durch Zwischenwinkel ausdrücken: Zur Übung berechnen, es ergibt sich:

$\begin{array}{ll}& \frac{E{\stackrel{´}{}}_{\left|\right|}}{E_{\left|\right|}}=\frac{\tan (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\gamma )}{\tan (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}\\ & \frac{E\stackrel{´}{}{\stackrel{´}{}}_{\left|\right|}}{E_{\left|\right|}}=\frac{2\sin \left(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\right)\cos \gamma }{\sin (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )\cos (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\gamma )}\\ \end{array}$

Ebenso:

$\begin{array}{ll}& R_{\left|\right|}={\left|\frac{E{\stackrel{´}{}}_{\left|\right|}}{E_{\left|\right|}}\right|}^2=\frac{{\tan }^2(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}-\gamma )}{{\tan }^2(\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )}=1-T_{\left|\right|}\\ & \\ \end{array}$

Bemerkung Bei Reflexion und Brechung wird im Allgemeinen die Polarisationsrichtung gedreht. Speziell für den Fall

$\begin{array}{ll}& \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma =\frac{\pi }{2}\\ & ->\tan (\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma )\to \mathrm{\infty }\\ & R_{\left|\right|}=0\\ \end{array}$

In diesem Fall kommt es nicht zu Teilpolarisation sondern: die reflektierte Welle wird vollständig polarisiert ( senkrecht zur Einfallsebene)

• Dies ist der Brewsterwinkel:
• $\begin{array}{ll}*& \gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}+\gamma =\frac{\pi }{2}->\gamma =\left({\gamma }_{Brew}\right)\\ *& \tan {\gamma }_B=\sqrt{\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}}\\ *\end{array}$

Totalreflexion Sei

$\begin{array}{ll}& {\epsilon }_2<{\epsilon }_1\\ & \sin {\gamma }_G=\sqrt{\frac{{\epsilon }_2}{{\epsilon }_1}}\\ \end{array}$

Totalreflexion unter diesem Winkel oder flacher !

Grenzwinkel der Totalreflexion -> $\gamma \stackrel{´}{}\stackrel{´}{}=\frac{\pi }{2}$

$\begin{array}{ll}& R_{\mathrm{\perp }}=R_{\left|\right|}=1\\ & T_{\mathrm{\perp }}=T_{\left|\right|}=0\\ \end{array}$

$\begin{array}{ll}& {\epsilon }_2<{\epsilon }_1\\ & \gamma >{\gamma }_G\Rightarrow \\ \end{array}$

$k\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}$ wird imaginär -> es dringt kein reeller Strahl mehr ins Medium ein !