Die Hamilton-Jacobi-Theorie: Difference between revisions
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Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht. | Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht. | ||
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<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& (\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right) \\ | & (\bar{q},\bar{p})\to \left( \bar{Q},\bar{P} \right) \\ | ||
& H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H+\frac{\partial S}{\partial t} \\ | & H(\bar{q},\bar{p},t)\to \bar{H}\left( \bar{Q},\bar{P} \right)=H+\frac{\partial S}{\partial t} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
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<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\ | & {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\ | ||
& {{Q}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{P}_{k}}} \\ | & {{Q}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{P}_{k}}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 45: | Line 44: | ||
<u>'''Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.'''</u> | <u>'''Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.'''</u> | ||
Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für | Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\ | & S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\ | ||
& {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\ | & {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen: | Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen: | ||
<math>\bar{q},t</math> | <math>\bar{q},t</math> | ||
Line 60: | Line 59: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& {{{\dot{P}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{Q}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=cons \\ | & {{{\dot{P}}}_{k}}=-\frac{\partial H}{\partial {{Q}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=cons \\ | ||
& {{{\dot{Q}}}_{k}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{Q}_{k}}={{\beta }_{k}}=const \\ | & {{{\dot{Q}}}_{k}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{k}}}\equiv 0\Rightarrow {{Q}_{k}}={{\beta }_{k}}=const \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 67: | Line 66: | ||
====Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:==== | ====Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:==== | ||
# | # | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& H(\bar{q},\bar{p},t) \\ | & H(\bar{q},\bar{p},t) \\ | ||
& {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\ | & {{p}_{k}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{k}}} \\ | ||
& H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial \bar{q}},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\quad Ham.Jac.DGL \\ | & H(\bar{q},\frac{\partial S}{\partial \bar{q}},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0\quad Ham.Jac.DGL \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
# Lösung der Ham- Jacobi-DGL: | # Lösung der Ham- Jacobi-DGL: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\ | & S(\bar{q},\bar{\alpha },t) \\ | ||
& {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\ | & {{\alpha }_{k}}={{P}_{k}}=const. \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
# Aus der Erzeugenden | # Aus der Erzeugenden | ||
<math>S(\bar{q},\bar{\alpha },t)</math> | <math>S(\bar{q},\bar{\alpha },t)</math> | ||
folgt: | folgt: | ||
Line 102: | Line 101: | ||
Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf | Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf | ||
4. | 4. | ||
<math>{{p}_{j}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}={{p}_{j}}\left( \bar{q},\bar{\alpha },t \right)={{p}_{j}}\left( \bar{q}(\bar{\alpha },\bar{\beta }),\bar{\alpha },t \right)</math> | <math>{{p}_{j}}=\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}={{p}_{j}}\left( \bar{q},\bar{\alpha },t \right)={{p}_{j}}\left( \bar{q}(\bar{\alpha },\bar{\beta }),\bar{\alpha },t \right)</math> | ||
5. Bestimmung von | 5. Bestimmung von | ||
<math>\bar{\alpha },\bar{\beta }</math> | <math>\bar{\alpha },\bar{\beta }</math> | ||
aus den Anfangsbedingungen: | aus den Anfangsbedingungen: | ||
In drei (3.): | In drei (3.): | ||
<math>{{q}_{j}}(0)={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },0)</math> | <math>{{q}_{j}}(0)={{q}_{j}}(\bar{\alpha },\bar{\beta },0)</math> | ||
In vier ( 4.): | In vier ( 4.): | ||
<math>{{p}_{j}}(0)={{p}_{j}}\left( \bar{\alpha },\bar{\beta },0 \right)</math> | <math>{{p}_{j}}(0)={{p}_{j}}\left( \bar{\alpha },\bar{\beta },0 \right)</math> | ||
Line 120: | Line 119: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \Rightarrow \bar{\alpha }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\ | & \Rightarrow \bar{\alpha }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\ | ||
& \bar{\beta }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\ | & \bar{\beta }(\bar{q}(0),\bar{p}(0)) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit | Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit | ||
<math>{{q}_{j}}(t)</math> | <math>{{q}_{j}}(t)</math> | ||
und | und | ||
<math>{{p}_{j}}(t)</math> | <math>{{p}_{j}}(t)</math> | ||
bestimmt | bestimmt | ||
Line 135: | Line 134: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t} \\ | & \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}\frac{\partial S}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}+\frac{\partial S}{\partial t} \\ | ||
& \frac{\partial S}{\partial t}=\bar{H}-H=-H \\ | & \frac{\partial S}{\partial t}=\bar{H}-H=-H \\ | ||
& \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}-H=L \\ | & \frac{dS}{dt}=\sum\limits_{j}{{}}{{p}_{j}}{{{\dot{q}}}_{j}}-H=L \\ | ||
& \Rightarrow S=\int{Ldt} \\ | & \Rightarrow S=\int{Ldt} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 146: | Line 145: | ||
====Beispiel: 1 dim Oszi==== | ====Beispiel: 1 dim Oszi==== | ||
1. | 1. | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}} \\ | & H=\frac{{{p}^{2}}}{2m}+\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}^{2}} \\ | ||
& S(q,P,t) \\ | & S(q,P,t) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit | H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit | ||
<math>\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}=p</math> | <math>\frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q}=p</math> | ||
Line 189: | Line 188: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& {{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}={{m}^{2}}{{\omega }^{2}}\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right) \\ | & {{\left( \frac{dW}{dq} \right)}^{2}}={{m}^{2}}{{\omega }^{2}}\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right) \\ | ||
& W=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)} \\ | & W=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 204: | Line 203: | ||
<math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}+\frac{\alpha }{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \right]</math> | <math>S(q,\alpha ,t)=m\omega \int{dq}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}-\alpha t=-\alpha t+m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}+\frac{\alpha }{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \right]</math> | ||
3. | 3. | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& Q=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha } \right)=-t+\frac{1}{\omega }\int{dq}{{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta \\ | & Q=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial \alpha } \right)=-t+\frac{1}{\omega }\int{dq}{{\left( \frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\beta \\ | ||
& Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \\ | & Q=\beta =-t+\frac{1}{\omega }\arcsin \left( q\sqrt{\frac{m{{\omega }^{2}}}{2\left| \alpha \right|}} \right) \\ | ||
& \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (t+\beta ) \right) \\ | & \Rightarrow q=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (t+\beta ) \right) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 214: | Line 213: | ||
Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) ! | Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) ! | ||
4. | 4. | ||
<math>p=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)=\frac{dW}{dq}=m\omega \sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (t+\beta ) \right)</math> | <math>p=\left( \frac{\partial S(q,P,t)}{\partial q} \right)=\frac{dW}{dq}=m\omega \sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (t+\beta ) \right)</math> | ||
Line 226: | Line 225: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \Rightarrow {{q}_{0}}=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (\beta ) \right) \\ | & \Rightarrow {{q}_{0}}=\frac{1}{\omega }\sqrt{\frac{2\alpha }{m}}\sin \left( \omega (\beta ) \right) \\ | ||
& 0={{p}_{0}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (\beta ) \right) \\ | & 0={{p}_{0}}=\sqrt{2\alpha m}\cos \left( \omega (\beta ) \right) \\ | ||
& \Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2\omega }\Rightarrow {{q}_{0}}=\sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}} \\ | & \Rightarrow \beta =\frac{\pi }{2\omega }\Rightarrow {{q}_{0}}=\sqrt{\frac{2\alpha }{m{{\omega }^{2}}}} \\ | ||
& \Rightarrow \alpha =\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}_{0}}^{2}=E \\ | & \Rightarrow \alpha =\frac{m}{2}{{\omega }^{2}}{{q}_{0}}^{2}=E \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 235: | Line 234: | ||
Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist. | Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist. | ||
Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch | Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch | ||
<math>S(q,P,t)</math> | <math>S(q,P,t)</math> | ||
erzeugt wird. | erzeugt wird. | ||
Line 273: | Line 272: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& {{p}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{q}_{j}}} \\ | & {{p}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{q}_{j}}} \\ | ||
& {{Q}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\ | & {{Q}_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\ | ||
& \bar{H}=H=E \\ | & \bar{H}=H=E \\ | ||
& \Rightarrow {{{\dot{Q}}}_{j}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{j}}}=\frac{\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\ | & \Rightarrow {{{\dot{Q}}}_{j}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial {{P}_{j}}}=\frac{\partial E}{\partial {{\alpha }_{j}}}={{\omega }_{j}}\Rightarrow {{Q}_{j}}={{\omega }_{j}}t+{{\beta }_{j}}=\frac{\partial W}{\partial {{P}_{j}}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 282: | Line 281: | ||
====Bezug zur Quantenmechanik==== | ====Bezug zur Quantenmechanik==== | ||
* Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial | * Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial | ||
<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{3}}</math> | <math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{3}}</math> | ||
, gilt auch für | , gilt auch für | ||
<math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{f}}</math> | <math>V(\bar{q}),\bar{q}\in {{R}^{f}}</math> | ||
* | * | ||
<math>W(\bar{q})=const</math> | <math>W(\bar{q})=const</math> | ||
sind dann Flächen im R³: | sind dann Flächen im R³: | ||
Dabei sind | Dabei sind | ||
<math>S(\bar{q},t)=W(\bar{q})-Et</math> | <math>S(\bar{q},t)=W(\bar{q})-Et</math> | ||
Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit | Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit | ||
Line 297: | Line 296: | ||
<math>\bar{u}\approx \nabla W(\bar{q})</math> | <math>\bar{u}\approx \nabla W(\bar{q})</math> | ||
mit | mit | ||
<math>\bar{u}\bot W(\bar{q})=const</math> | <math>\bar{u}\bot W(\bar{q})=const</math> | ||
Line 321: | Line 320: | ||
links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung. | links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung. | ||
<math>\Psi (\bar{r})={{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}</math> | <math>\Psi (\bar{r})={{e}^{\frac{i}{\hbar }W(\bar{r})}}</math> | ||
als Wellenfunktion | als Wellenfunktion | ||
Line 329: | Line 328: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \bar{q}\to \bar{r} \\ | & \bar{q}\to \bar{r} \\ | ||
& \bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla \\ | & \bar{p}\to \frac{\hbar }{i}\nabla \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 357: | Line 356: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& q(t+\tau )=q(t) \\ | & q(t+\tau )=q(t) \\ | ||
& p(t+\tau )=p(t) \\ | & p(t+\tau )=p(t) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
* periodische ( hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen ( dies sind nicht Schwingungen im ortsraum !) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt: | * periodische ( hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen ( dies sind nicht Schwingungen im ortsraum !) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt: | ||
* | * | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& q(t+\tau )=q(t)+{{q}_{0}} \\ | & q(t+\tau )=q(t)+{{q}_{0}} \\ | ||
& p(t+\tau )=p(t) \\ | & p(t+\tau )=p(t) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
* Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse: | * Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& q(t)=\phi \\ | & q(t)=\phi \\ | ||
& {{q}_{0}}=2\pi \\ | & {{q}_{0}}=2\pi \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 386: | Line 385: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& T=\frac{1}{2}m{{l}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \\ | & T=\frac{1}{2}m{{l}^{2}}{{{\dot{\phi }}}^{2}} \\ | ||
& V=mgl(1-\cos \phi ) \\ | & V=mgl(1-\cos \phi ) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 395: | Line 394: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& {{p}_{\phi }}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi }}=m{{l}^{2}}\dot{\phi } \\ | & {{p}_{\phi }}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\phi }}=m{{l}^{2}}\dot{\phi } \\ | ||
& H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ) \\ | & H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})=T+V=\frac{{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{l}^{2}}}+mgl(1-\cos \phi ) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
für ein konservatives System | für ein konservatives System | ||
Line 404: | Line 403: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \dot{\phi }=\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{l}^{2}}} \\ | & \dot{\phi }=\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{l}^{2}}} \\ | ||
& {{{\dot{p}}}_{\phi }}=-\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial \phi }=-mgl\sin \phi \\ | & {{{\dot{p}}}_{\phi }}=-\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial \phi }=-mgl\sin \phi \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 421: | Line 420: | ||
-> Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt. | -> Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt. | ||
Gleichgewichtslagen: Fixpunkte: | Gleichgewichtslagen: Fixpunkte: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \dot{\phi }={{{\dot{p}}}_{\phi }}=0 \\ | & \dot{\phi }={{{\dot{p}}}_{\phi }}=0 \\ | ||
& {{p}_{\phi }}=0 \\ | & {{p}_{\phi }}=0 \\ | ||
& \phi =n\pi ,n\in N \\ | & \phi =n\pi ,n\in N \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
# | # | ||
<math>E\le 2mgl</math> | <math>E\le 2mgl</math> | ||
Libration: Schwingung mit | Libration: Schwingung mit | ||
<math>\left| \phi \right|\le {{\phi }_{0}}</math> | <math>\left| \phi \right|\le {{\phi }_{0}}</math> | ||
# | # | ||
<math>E>2mgl</math> | <math>E>2mgl</math> | ||
Rotation: überschlagendes Pendel: | Rotation: überschlagendes Pendel: | ||
<math>\phi </math> | <math>\phi </math> | ||
unbeschränkt | unbeschränkt | ||
Line 448: | Line 447: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\ | & \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\ | ||
& I(E):=\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\ | & I(E):=\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn | I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn | ||
<math>{{\Gamma }_{E}}</math> | <math>{{\Gamma }_{E}}</math> | ||
zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. ( = Phasenintegral). | zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. ( = Phasenintegral). | ||
Line 465: | Line 464: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\ | & \left( q,p \right)\to \left( \theta ,I \right) \\ | ||
& I(E):=\frac{1}{2\pi }\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\ | & I(E):=\frac{1}{2\pi }\oint\limits_{{{\Gamma }_{E}}}{pdq} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
In diesem Fall ist | In diesem Fall ist | ||
<math>\theta </math> | <math>\theta </math> | ||
auf | auf | ||
<math>2\pi </math> | <math>2\pi </math> | ||
normiert. | normiert. | ||
Line 480: | Line 479: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \\ | & p=\frac{\partial W(q,I)}{\partial q} \\ | ||
& \theta =\frac{\partial W(q,I)}{\partial I} \\ | & \theta =\frac{\partial W(q,I)}{\partial I} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 491: | Line 490: | ||
Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn | Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn | ||
<math>\frac{dI}{dE}\ne 0</math> | <math>\frac{dI}{dE}\ne 0</math> | ||
. | . | ||
Da | Da | ||
<math>\theta </math> | <math>\theta </math> | ||
zyklisch ist muss I konstant sein. | zyklisch ist muss I konstant sein. | ||
Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für | Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für | ||
<math>\theta </math> | <math>\theta </math> | ||
lautet: | lautet: | ||
Line 505: | Line 504: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \dot{\theta }=\frac{\partial E(I)}{\partial I}:={{\nu }_{I}}=const. \\ | & \dot{\theta }=\frac{\partial E(I)}{\partial I}:={{\nu }_{I}}=const. \\ | ||
& \theta ={{\nu }_{I}}t+{{\theta }_{0}}\quad \bmod \quad 1 \\ | & \theta ={{\nu }_{I}}t+{{\theta }_{0}}\quad \bmod \quad 1 \\ | ||
& I=const \\ | & I=const \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die Lösung für | Die Lösung für | ||
<math>\theta </math> | <math>\theta </math> | ||
ist bei Normierung auf | ist bei Normierung auf | ||
<math>2\pi </math> | <math>2\pi </math> | ||
natürlich modulo | natürlich modulo | ||
<math>2\pi </math> | <math>2\pi </math> | ||
zu verstehen. | zu verstehen. | ||
Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz | Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz | ||
<math>{{\nu }_{I}}</math> | <math>{{\nu }_{I}}</math> | ||
berechnet. | berechnet. | ||
Line 547: | Line 546: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& I(E)=\oint{pdq}=2m\omega \int\limits_{{{q}_{-}}}^{{{q}_{+}}}{{}}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}dq \\ | & I(E)=\oint{pdq}=2m\omega \int\limits_{{{q}_{-}}}^{{{q}_{+}}}{{}}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}dq \\ | ||
& I(E)=2m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}+\frac{E}{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}} \right]_{q+}^{q-}=\frac{2\pi }{\omega }E \\ | & I(E)=2m\omega \left[ \frac{q}{2}\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}-{{q}^{2}}}+\frac{E}{m{{\omega }^{2}}}\arcsin \frac{q}{\sqrt{\frac{2E}{m{{\omega }^{2}}}}} \right]_{q+}^{q-}=\frac{2\pi }{\omega }E \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 556: | Line 555: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \bar{H}=E=\frac{\omega }{2\pi }I \\ | & \bar{H}=E=\frac{\omega }{2\pi }I \\ | ||
& \dot{\theta }=\frac{\partial E}{\partial I}=\frac{\omega }{2\pi }:={{\nu }_{I}} \\ | & \dot{\theta }=\frac{\partial E}{\partial I}=\frac{\omega }{2\pi }:={{\nu }_{I}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 569: | Line 568: | ||
hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung | hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung | ||
# | # | ||
<math>\theta </math> | <math>\theta </math> | ||
ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum ! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum ( des Pendels Phi) zu tun | ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum ! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum ( des Pendels Phi) zu tun | ||
Line 585: | Line 584: | ||
ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls ! | ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls ! | ||
Falls: | Falls: | ||
<math>{{\omega }_{1}}:{{\omega }_{2}}:{{\omega }_{3}}:...:{{\omega }_{f}}</math> | <math>{{\omega }_{1}}:{{\omega }_{2}}:{{\omega }_{3}}:...:{{\omega }_{f}}</math> | ||
rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch. | rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch. | ||
Falls: | Falls: | ||
<math>\exists i,j\to {{\omega }_{i}}:{{\omega }_{j}}</math> | <math>\exists i,j\to {{\omega }_{i}}:{{\omega }_{j}}</math> | ||
irrational -> offene Bahn ( quasiperiodisch). | irrational -> offene Bahn ( quasiperiodisch). | ||
Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable | Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable | ||
<math>{{\theta }_{j}}</math> | <math>{{\theta }_{j}}</math> | ||
zu | zu | ||
<math>{{\omega }_{j}}</math> | <math>{{\omega }_{j}}</math> | ||
: | : | ||
Abbildung auf | Abbildung auf | ||
<math>{{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times ...\times {{S}^{1}}=:{{T}^{f}}</math> | <math>{{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times {{S}^{1}}\times ...\times {{S}^{1}}=:{{T}^{f}}</math> | ||
(f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus | (f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus | ||
Line 615: | Line 614: | ||
k=1,...,f | k=1,...,f | ||
mit | mit | ||
<math>{{g}_{1}}(\bar{q},\bar{p})=H(\bar{q},\bar{p})</math> | <math>{{g}_{1}}(\bar{q},\bar{p})=H(\bar{q},\bar{p})</math> | ||
Energie und | Energie und | ||
Line 625: | Line 624: | ||
Dann gilt: | Dann gilt: | ||
# die durch | # die durch | ||
<math>{{g}_{k}}(\bar{q},\bar{p})={{\alpha }_{k}}=const</math> | <math>{{g}_{k}}(\bar{q},\bar{p})={{\alpha }_{k}}=const</math> | ||
gegebene Hyperfläche des Phasenraums ( falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus | gegebene Hyperfläche des Phasenraums ( falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus | ||
<math>{{T}^{f}}</math> | <math>{{T}^{f}}</math> | ||
abbilden. | abbilden. | ||
# die Allgemeine Bewegung auf | # die Allgemeine Bewegung auf | ||
<math>{{T}^{f}}</math> | <math>{{T}^{f}}</math> | ||
ist quasiperiodisch: | ist quasiperiodisch: | ||
<math>\frac{d{{\theta }_{i}}}{dt}={{\omega }_{i}}</math> | <math>\frac{d{{\theta }_{i}}}{dt}={{\omega }_{i}}</math> | ||
, | , | ||
<math>{{\theta }_{i}}</math> | <math>{{\theta }_{i}}</math> | ||
ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f | ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f | ||
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Nebenbemerkung: | Nebenbemerkung: | ||
Wegen | Wegen | ||
<math>\left\{ {{l}_{3}},{{l}_{1}} \right\}={{l}_{3}}</math> | <math>\left\{ {{l}_{3}},{{l}_{1}} \right\}={{l}_{3}}</math> | ||
und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung | und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung | ||
<math>\left\{ {{g}_{i}},{{g}_{j}} \right\}=0</math> | <math>\left\{ {{g}_{i}},{{g}_{j}} \right\}=0</math> | ||
obgleich gilt: | obgleich gilt: | ||
<math>\left\{ {{l}_{i}},H \right\}=0</math> | <math>\left\{ {{l}_{i}},H \right\}=0</math> | ||
. | . | ||
Line 667: | Line 666: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& W=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{W}_{j}}({{q}_{j}},\bar{\alpha })} \\ | & W=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{W}_{j}}({{q}_{j}},\bar{\alpha })} \\ | ||
& {{p}_{k}}=\frac{d{{W}_{k}}}{d{{q}_{k}}} \\ | & {{p}_{k}}=\frac{d{{W}_{k}}}{d{{q}_{k}}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Line 682: | Line 681: | ||
<math>\begin{align} | <math>\begin{align} | ||
& \dot{\theta }=\frac{\partial E({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})}{\partial {{I}_{k}}}={{\nu }_{k}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}}) \\ | & \dot{\theta }=\frac{\partial E({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})}{\partial {{I}_{k}}}={{\nu }_{k}}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}}) \\ | ||
& \Rightarrow {{\theta }_{k}}={{\nu }_{k}}t+{{\beta }_{k}} \\ | & \Rightarrow {{\theta }_{k}}={{\nu }_{k}}t+{{\beta }_{k}} \\ | ||
& {{\nu }_{k}}=\frac{1}{{{\tau }_{k}}} \\ | & {{\nu }_{k}}=\frac{1}{{{\tau }_{k}}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
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<u>'''Fazit:'''</u> | <u>'''Fazit:'''</u> | ||
Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen | Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen | ||
<math>{{\nu }_{k}}</math> | <math>{{\nu }_{k}}</math> | ||
periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen. | periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen. | ||
Line 700: | Line 699: | ||
<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math> | <math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math> | ||
und der Winkelvariablen | und der Winkelvariablen | ||
<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math> | <math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math> | ||
, Hamiltonfunktion | , Hamiltonfunktion | ||
<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math> | <math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math> | ||
Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke | Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke | ||
<math>\varepsilon </math> | <math>\varepsilon </math> | ||
: | : | ||
Line 714: | Line 713: | ||
In diesem Fall ist | In diesem Fall ist | ||
<math>\theta </math> | <math>\theta </math> | ||
nicht mehr zyklisch. | nicht mehr zyklisch. | ||
<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math> | <math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math> | ||
ist also keine Bewegungskonstante mehr ! | ist also keine Bewegungskonstante mehr ! | ||
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<u>'''Voraussetzung:'''</u> | <u>'''Voraussetzung:'''</u> | ||
Die Frequenzen des integrablen Systems | Die Frequenzen des integrablen Systems | ||
<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math> | <math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math> | ||
sind rational unabhängig, also: | sind rational unabhängig, also: | ||
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Dann überdeckt jede Bahn für festes | Dann überdeckt jede Bahn für festes | ||
<math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math> | <math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math> | ||
den Torus | den Torus | ||
<math>{{T}^{f}}</math> | <math>{{T}^{f}}</math> | ||
dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch. | dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch. | ||
Line 766: | Line 765: | ||
So hat das gestörte System | So hat das gestörte System | ||
<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math> | <math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math> | ||
für kleine | für kleine | ||
<math>\varepsilon </math> | <math>\varepsilon </math> | ||
überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von | überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von | ||
<math>{{H}_{0}}</math> | <math>{{H}_{0}}</math> | ||
werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört. | werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört. | ||
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Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen: | Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen: | ||
* störungstheoretische Entwicklung in | * störungstheoretische Entwicklung in | ||
<math>\varepsilon </math> | <math>\varepsilon </math> | ||
Revision as of 22:50, 17 August 2010
Strategie: Suche eine kanonische Trafo, die alle Koordinaten zu zyklischen macht.
Hamilton-Jacobische Differenzialgleichung
Der einfachste Fall, bei dem alle Koordinaten zyklisch sind:
Allgemeiner wähle man speziell als Erzeugende der kanonischen Trafo:
dann suchen wir die folgende Trafo:
mit
So dass:
Dies ist eine Differenzialgleichung zur Bestimmung von S und der Koordinaten P und Q, die so genannte
Hamilton- Jacobi- Differenzialgleichung.
Eine nichtlineare partielle Differenzialgleichung erster Ordnung für
Also haben wir nur Abhängigkeit von f+1 Variablen:
Die kanonischen Gleichungen lauten:
Lösungsschema für die Hamilton- Jacobi DGL:
- Lösung der Ham- Jacobi-DGL:
- Aus der Erzeugenden
mit der implizierten Umkehrung:
möglich wegen
Somit ergeben sich f Gleichungen für q1,...qf
5. Bestimmung von
aus den Anfangsbedingungen:
Nach Gleichungen 3) und 4) ist damit
und
bestimmt
Physikalische Bedeutung von S:
S kann somit als Wirkungsfunktional interpretiert werden.
Beispiel: 1 dim Oszi
H als Hamiltonfunktion und S als Erzeugende der kanonischen Trafo mit
Hamilton- Jacobi DGL:
2. Lösungsansatz:
Dies ist als Separationsansatz nach q und t zu interpretieren. P ist ein Parameter
Dabei ist die linke Seite unabhängig von t und die rechte unabhängig von q. Die Lösung kann also nur dann für alle t und q übereinstimmen, wenn:
Es folgt:
Also:
Da Potenziale um skalare Faktoren verschoben werden können:
Mit der Nebenbedingung, dass Q=to ( Dimension: Zeit) !
5. Anfangsbedingungen: t=0: p(0)=0, q(0)=q0 ungleich 0 !
Alpha beschreibt also die Gesamtenergie. Physikalisch sinnvoll, da zu dieser Zeit nur potenzielle Energie vorhanden ist.
Also: P=E ( Energie) , Q= to ( Zeit) -> Energie und Zeit als neue verallgemeinerte Koordinaten bei der Transformation, die durch erzeugt wird.
Spezialfall:
Nicht explizit zeitabhängige Hamiltonfunktion H
H ist dann Integral der Bewegung
Hamilton- Jacobi DGL:
Lösungsansatz:
Somit folgt:
Energie bei skleronomen Zwangsbedingungen
heißt verkürztes Wirkungsfunktional
Dieses kann auch als Erzeugende einer kanonischen Trafo ( im engeren Sinn) aufgefasst werden:
Bezug zur Quantenmechanik
- Betrachten wir 1 Teilchen im Potenzial
Dabei sind Wirkunsgwellen mit einer Phasengeschwindigkeit
Der Teilchenimpuls eines fliegenden Teilchens dagegen berechnet such ebenfalls als Gradient der Erzeugenden:
Damit haben wir jedoch eine Betrachtung der " Wirkungswellen" entgegen einer Darstellung als Teilchen mit Impuls p ( Welle- Teilchen- Dualismus).
In jedem Fall erhält man als Hamilton- Jacobi- DiffGl:
Der Übergang zur Quantenmehcanik ist analog dem Übergang von der geometrischen Optik zur Wellenoptik ( Wellenoptik als geometrische Optik für große Wellenlängen) und geometrische optik als Wellenoptik für kleine Weglängen ( gut Übergangsresultate). Die typische optisch- mechanische Analogie
Wir erhalten in der quantenmechanischen Analogie als Wellenformalismus dagegen die Schödingergleichung:
links mit H = hamiltonoperator in Ortsdarstellung.
als Wellenfunktion
Unsere Koordinatentrafo lautet:
Auch hier sieht man die Analogie bei kleinen Wellenlängen, wenn folgende Näherung erlaubt ist:
Veranschaulichung der Zusammenhänge:
Aus der klassischen Mechanik gelangen wir durch Übergang von Poissonklammernauf Kommutatoren zur Heisenbergschen Matrizenmechanik, die sich zur Quantenmechanik transformieren läßt.
führt man in der klassischen Mechanik dagegen die Hamilton- Jacobi- Theorie ein ( optisch- mechanisches Analogon), so gelangt man leicht zur Wellenmechanik ( Schrödinger) und kann sich auf diesem Weg ebenso der Quantenmechanik nähern.
Wirkungs- und Winkelvariable
Nun betrachten wir eine Modifikation des Hamilton- Jacobi- Verfahrens. Dabei geht es speziell um periodische Systeme. Das Ganze soll an einem Beispiel skizziert werden und erst dann Verallgemeinerung finden.
Klassifikation von periodischem Verhalten:
- geschlossene Phasenraumkurvn welcher Art auch immer sind Librationen. Diese sind beispielsweise Schwingungen.
- dabei gilt:
- periodische ( hinsichtlich des Ortes), aber nicht geschlossene Phasenraumkurven, also Phasenraumkurven, die selbst entlang des Ortes im Impuls schwingen ( dies sind nicht Schwingungen im ortsraum !) sind Rotationen. Die Phasenbahnen sind offen und es gilt:
- Beispiel für eine Rotation ist die Drehung einer Achse:
Beispiel: Das mathematische Pendel ( mit beliebig großen Auslenkungen)
f= 1, verallgemeinerte Koordinate: Winkel ., s= l
verallgemeinerter kanonischer Impuls:
Es folgen die Hamiltonschen Gleichungen:
- Integral ( Enrgieerhaltung): Phasenbahn
Für kleine Winkel gilt die bekannte Kleinwinkelnäherung:
-> Ellipsen, wie vom harmon. Oszi bekannt.
Gleichgewichtslagen: Fixpunkte:
Rotation: überschlagendes Pendel: unbeschränkt
Für E=2mgl haben wir den Spezialfall einer Kriechbahn ( Separatrix zwischen a) und b):
Übergang zu neuen kanonischen Variablen ( f=1)
I(E) ist als Wirkungsvariable zu verstehen, als die Fläche, die von einer notwendigerweise geschlossenen Bahn
zur Energie E im Phasenraum eingeschlossen ist. ( = Phasenintegral).
ist die Winkelvariable, auf Periode 1 normiert.
Gelegentlich findet sich:
In diesem Fall ist
auf
normiert.
gesucht ist die zugehörige kanonische Transformation:
Mit der neuen Hamiltonfunktion:
Dies ist die Umkehrfunktion von I(E), existiert genau dann, wenn
.
Da zyklisch ist muss I konstant sein.
Die Hamiltonsche Bewegungsgleichung für lautet:
ist bei Normierung auf
zu verstehen.
Mit der Lösung jedoch ist für jedes E(I) die frequenz berechnet.
Das Phasenraumportrait ist der folgenden gestalt:
Beispiel: eindimensionaler Oszillator
Phasenbahn:
Umkehrpunkte:
Wirkungsvariable:
Transformierte Hamiltonfunktion:
Die zeitliche Änderung des Winkels, also die Frequenz des harmonischen Oszillators ist völlig unabhängig von E(I)
Nebenbemerkungen:
1. hat die Dimension Zeit* Energie, also Wirkung
ist die Winkelvariable, die zur periodischen Bewegung im Phasenraum ! gehört und hat überhaupt nichts mit dem Winkel im ortsraum ( des Pendels Phi) zu tun
Allgemein: Perdiodische Bewegungen werden immer durch eine Winkelvariable parametrisiert.
- die periodische Bewegung wird damit auf die 1-Sphäre S1 ( Kreis mit Radius 1) abgebildet.
Verallgemeinerung auf beliebiges f:
Eine Bewegung heißt periodisch bzw. quasiperiodisch, falls die Projektion der Phasenbahn (Trajektorie) auf jede (pj,qj)- Ebene periodisch mit Frequenz
ist. Jede Projektion also für gleiche Koordinaten in Ort und Impuls !
Falls: rational ist, so ist die Bahn geschlossen, also einfach periodisch.
Falls: irrational -> offene Bahn ( quasiperiodisch).
Parametrisierung erfolgt durch die Winkelvariable zu
Abbildung auf (f mal S1- Sphären- Räume), Abbildung auf den sogenannte f-Torus
Beispiel: 2Torus:
Ist das Frequenzverhältnis irrational, so wirkt der Torus nur als Phasenraumattraktor. Die Bahn füllt den gesamten Torus dicht aus !
Satz über integrable Systeme
Einautonomes System ( Hamiltonsch) habe f unabhängige Integrale der Bewegung
Dann gilt:
- die durch
gegebene Hyperfläche des Phasenraums ( falls kompakt und beschränkt und abgeschlossen) läßt sich diffeomorph auf einen f-dimensionalen Torus abbilden.
- die Allgemeine Bewegung auf
ist quasiperiodisch: , ist zugehörige Winkelvariable, i=1,...,f
- das System ist INTEGRABEL, das heißt, die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich vollständig und global integrieren.
Beispiele: 2- Körper- Problem mit Zentralkraft, gekoppelte harmonische Oszillatoren
Gegenbeispiel: 3- Körperproblem mit Zentralkraft (f=9, nur 6 unabhängige Integrale der Bewegung:
Nebenbemerkung:
Wegen und zyklisch erfüllen die 3 Drehimpulskomponenten nicht alle die Bedingung obgleich gilt: .
Wirkunsgvariable:
Für ein separables System gilt:
Die Umkehrung liefert die Energie:
Die Hamiltongleichungen lauten:
Fazit:
Mit der Wirkungs- und Winkelvariablen können die Frequenzen periodischer Bewegungen bestimmt werden, ohne die vollständige Lösung angeben zu müssen.
Störungen integrabler Systeme
Betrachte ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen
und der Winkelvariablen
, Hamiltonfunktion
Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke
In diesem Fall ist
nicht mehr zyklisch.
ist also keine Bewegungskonstante mehr !
Beispiel:
Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem
System: Sonne, Erde, Mond
- integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
- Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?
Also:
Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.
Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?
- Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto !
Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)
- Stabilitätsaussagen
Voraussetzung:
Die Frequenzen des integrablen Systems
sind rational unabhängig, also:
Dann überdeckt jede Bahn für festes
den Torus
dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.
ERGODISCHE Bewegung ( nichtresonanter Torus)
KAM- Theorem
Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt
So hat das gestörte System
für kleine
überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von
werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.
Anwendung:
Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems !
Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:
- störungstheoretische Entwicklung in
- Mittelung über die Störungen