Der Hamiltonsche kanonische Formalismus

Motivation

Die Lagrange- Theorie benutzt als dynamische Variablen die verallgemeinerten Koordinaten qk und deren Geschwindigkeiten:

${\begin{aligned}&L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0\\\end{aligned}}$

k=1,..,f

Wir erhalten f DGL 2. Ordnung für qk(t) im Lagrangeformalismus

Bei gewissen Problemstellungen, wenn es beispielsweise zyklische Variablen gibt:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=const$

oder auch bei bestimmten Erweiterungen der Theorie ( Quantenmechanik, statistische Mechanik)

ist es vorteilhaft, statt qk und deren Geschwindigkeiten qk und die zu qk konjugierten Impulse zu benutzen.

Die zu den verallgemeinerten Koordinaten konjugierten Impulse lauten:

${{p}_{k}}:={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}$

Die erforderliche Variablentransformation

$\left({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t\right)\to \left({{q}_{k}},{{p}_{k}},t\right)$

leistet die sogenannte Legendre- Transformation.

Im Hamiltonformalismus ergeben sich nun 2f DGL 1. Ordnung für

qk(t) und pk(t)

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Der Hamiltonsche kanonische Formalismus basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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