Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel: Difference between revisions
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<noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude> | ||
Die nahezu konstante Nukleonendichte <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu | Die nahezu konstante {{FB|Nukleonendichte}} <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu | ||
konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum | konstante B/A-Wert ("{{FB|Kondensationswärme}}") legt die Analogie zum | ||
Flüssigkeitstropfen nahe. Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935) | Flüssigkeitstropfen nahe. | ||
Massenformel<ref>Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)</ref> | |||
Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen: | {{FB|Bindungsenergie}} setzt sich aus 5 Anteilen zusammen: | ||
:<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math> | :<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math> | ||
;1. Volumenenergie: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um | ;1. {{FB|Volumenenergie}}: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um | ||
;2. Oberflächenenergie: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der | ;2. {{FB|Oberflächenenergie}}: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der | ||
Oberfläche, die weniger stark gebunden sind. | Oberfläche, die weniger stark gebunden sind. | ||
;3. Coulombenergie: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel | ;3. {{FB|Coulombenergie}}: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel | ||
Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für Isobare (A = const) zu stark | Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für {{FB|Isobare}} (A = const) zu stark | ||
Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>. | Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>. | ||
Genauer: Nuklidkarte | Genauer: Nuklidkarte | ||
[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png]] | [[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png|miniatur|zentriert|hochkant=3|Nuklidkarte]] | ||
Als Gegengewicht | Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb: | ||
;4. Asymmetrie-Energie: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math> | ;4. {{FB|Asymmetrie-Energie}}: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math> | ||
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet: | Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet: | ||
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\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
;5. Parität: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math> | ;5. {{FB|Parität}}: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math> | ||
mit <math>\begin{align} | mit <math>\begin{align} | ||
& \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta \\ | & \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta \\ | ||
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Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)). | Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> <ref>(Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)</ref>). | ||
Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>. | Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>. | ||
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=== I. Isobarenregeln === | === I. Isobarenregeln === | ||
Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, | Für {{FB|Isobare}} (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, | ||
deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)Kerne | deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne | ||
eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, | eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der | ||
u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand 2 | {{FB|Paarungsenergie}} <math>\delta</math> getrennt sind. | ||
Paarungsenergie | |||
[[Datei:IsobarenRegel13.png]] | [[Datei:IsobarenRegel13.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Isobarenparabeln{{AnMS|Siehe auch {{Quelle|vlkp|32|ab 10:30}}}}]] | ||
Trägt man die Massenwerte in die {{FB|Nuklidkarte}} auf der N-Z-Ebene | |||
Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene | |||
nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der | nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der | ||
Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der | Linie '''A = Z + N = const'''. Die stabilen Kerne liegen in der | ||
"Talsohle des Massetals" . | "Talsohle des Massetals". | ||
durch Beta-: | Umwandlung durch Beta-Zerfall: | ||
n | |||
<math>\begin{align} | |||
e +p | {{\beta }^{+}}:\quad n &\to p+{{e}^{-}}+\tilde{\nu } \\ | ||
{{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu \\ | |||
{{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\ | |||
\end{align}</math> Konkurrenzprozeß: {{FB|Kerneinfang}} | |||
=== II. Kernspaltung und Fusion === | === II. Kernspaltung und Fusion === | ||
Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für | Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch {{FB|Fusion}}, für | ||
schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch | schwerere Kerne durch {{FB|Spaltung}} möglich. Spontane Fusion durch | ||
Coulombabstoßung, | Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch {{FB|Spaltschwelle}} behindert. | ||
[[Datei:SpontaneSpaltung14.png]] | ====Spaltung==== | ||
Coulombenergie | [[Datei:SpontaneSpaltung14.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung]] | ||
;Coulombenergie: <math>B_3 \to B_3(1-\frac{1}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''ab'''. | |||
Oberflächenenergie | ;Oberflächenenergie: <math>B_2 \to B_2(1+\frac{2}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''zu'''. | ||
Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme | Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme | ||
der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie. | der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie. | ||
Spaltschwelle | Rechnung: <math>Z^2/A \lesssim 51</math> | ||
[[Datei: | |||
Für <math>Z^2/A \lesssim 51</math> Spaltschwelle: | |||
[[Datei:SpaltSchwelle15.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Spaltschwelle]] | |||
Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende {{FB|Bindungsenergie}} bei {{FB|Neutroneneinfang}}. Für {{FB|thermische Neutronen}} ist diese Bindungsenergie | |||
bei <math>^{235}U+n\to^{236}U+6,4MeV\quad(g,u)\underset{n}{\to}(g,g)</math> | |||
bei <math>^{238}U+n\to^{239}U+4,8MeV\quad(g,g)\underset{n}{\to}(g,u)</math> | |||
Die fehlende {{FB|Paarungsenergie}} bei <math>^{239}U</math> bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei <math>^{238}U</math> der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht. | |||
Allgemein Spaltprozeß: | |||
<math>^{235}U+n\textrm{(thermisch)}\to^{236}U\to X+Y+kn</math> | |||
Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, <math>\beta^-</math>-Zerfall, | |||
z.B. | |||
[[Datei:BSPSpaltprozess.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|instabile Spaltbruchstücke]] | |||
Grobe Abschätzung für <math>^{235}U</math>-Verbrauch: | |||
:<math>\begin{align} | |||
1kg\quad^{235}U:E=N\Delta E & \backsimeq\frac{1000}{235}6\cdot10^{23} \cdot 2 \cdot 10^{8} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}{ Ws}\\ | |||
& \backsimeq8 \cdot 10^{13}{ Ws}\\ | |||
& \backsimeq10^{3}{ MWd}\end{align}</math> | |||
====Fusion==== | |||
Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des {{FB|Coulombwalls}} oberhalb von <math>1 keV \approx 1,2 10^7 K</math> möglich (z.B. Sonneninnere mit <math>T \approx 1,5 10^7 K</math> und <math>\rho \approx 10^5 kg /m^3</math>). | |||
Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium | Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium | ||
:<math>d+^{3}H\to\underset{3MeV}{^{4}He}+\underset{14MeV}{n}+17,6MeV</math> | |||
+ | |||
:<math>n+^{7}Li\to^{4}He+\underbrace{^{3}H}_{t_{1/2}\approx12a}+n-2,5MeV</math> | |||
==Einzelnachweise== | |||
<references /> | |||
==Weitere Informationen== | |||
(gehört nicht zum Skript) | |||
[http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel Wikipedia-Artikel] | |||
[[Datei:Isotopentabelle_Segre.svg|miniatur]] | |||
[[Datei:Tröpfchenmodell.PNG|miniatur]] | |||
[[Datei:Mattauch1.PNG|miniatur]] | |||
[[Datei:Doppelbeta-massenparabel.png|miniatur]] | |||
===Prüfungsfragen=== | |||
* Äußere Eigenschaften eines Kerns | |||
** Dichte (Größenordnungen) | |||
*Bethe-Weizäcker Formel | |||
**Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel) | |||
**Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso proportional zu V? | |||
***Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner | |||
***Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten) | |||
***Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen | |||
***Paarungsterm:->Isobarenregel | |||
*Spaltung/Fusion wo möglich? | |||
*Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen) | |||
== | |||
http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel |
Latest revision as of 16:59, 28 August 2011
65px|Kein GFDL | Der Artikel Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann. |
|}}
{{#ask: |format=embedded |Kategorie:Kern- und StrahlungsphysikKapitel::4Abschnitt::!0Urheber::Prof. Dr. P. Zimmermann |order=ASC |sort=Abschnitt |offset=0 |limit=20 }} {{#set:Urheber=Prof. Dr. P. Zimmermann|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=0}} Kategorie:Kern- und Strahlungsphysik __SHOWFACTBOX__
Die nahezu konstante Nukleonendichte{{#set:Fachbegriff=Nukleonendichte|Index=Nukleonendichte}} und der nahezu
konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme{{#set:Fachbegriff=Kondensationswärme|Index=Kondensationswärme}}") legt die Analogie zum
Flüssigkeitstropfen nahe.
Massenformel[1]
Bindungsenergie{{#set:Fachbegriff=Bindungsenergie|Index=Bindungsenergie}} setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
- 1. Volumenenergie{{#set
- Fachbegriff=Volumenenergie|Index=Volumenenergie}}: Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
- 2. Oberflächenenergie{{#set
- Fachbegriff=Oberflächenenergie|Index=Oberflächenenergie}}: ~ Anzahl der Nukleonen an der
Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.
- 3. Coulombenergie{{#set
- Fachbegriff=Coulombenergie|Index=Coulombenergie}}: einer homogen geladenen Kugel
Durch die Coulombenergie würden für Isobare{{#set:Fachbegriff=Isobare|Index=Isobare}} (A = const) zu stark Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch .
Genauer: Nuklidkarte miniatur|zentriert|hochkant=3|Nuklidkarte
Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:
- 4. Asymmetrie-Energie{{#set
- Fachbegriff=Asymmetrie-Energie|Index=Asymmetrie-Energie}}:
Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:
- 5. Parität{{#set
- Fachbegriff=Parität|Index=Parität}}: Deshalb
Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter und mit [2]).
Genauigkeit .
Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel[edit | edit source]
I. Isobarenregeln[edit | edit source]
Für Isobare{{#set:Fachbegriff=Isobare|Index=Isobare}} (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand der Paarungsenergie{{#set:Fachbegriff=Paarungsenergie|Index=Paarungsenergie}} getrennt sind.
[[Datei:IsobarenRegel13.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Isobarenparabeln
ANMERKUNG Schubotz: Siehe auch [3] |
]]
Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte{{#set:Fachbegriff=Nuklidkarte|Index=Nuklidkarte}} auf der N-Z-Ebene nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der "Talsohle des Massetals".
Umwandlung durch Beta-Zerfall:
Konkurrenzprozeß: Kerneinfang{{#set:Fachbegriff=Kerneinfang|Index=Kerneinfang}}
II. Kernspaltung und Fusion[edit | edit source]
Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion{{#set:Fachbegriff=Fusion|Index=Fusion}}, für schwerere Kerne durch Spaltung{{#set:Fachbegriff=Spaltung|Index=Spaltung}} möglich. Spontane Fusion durch Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch Spaltschwelle{{#set:Fachbegriff=Spaltschwelle|Index=Spaltschwelle}} behindert.
Spaltung[edit | edit source]
miniatur|hochkant=3|zentriert|Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung
Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.
miniatur|hochkant=3|zentriert|Spaltschwelle
Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie{{#set:Fachbegriff=Bindungsenergie|Index=Bindungsenergie}} bei Neutroneneinfang{{#set:Fachbegriff=Neutroneneinfang|Index=Neutroneneinfang}}. Für thermische Neutronen{{#set:Fachbegriff=thermische Neutronen|Index=thermische Neutronen}} ist diese Bindungsenergie
Die fehlende Paarungsenergie{{#set:Fachbegriff=Paarungsenergie|Index=Paarungsenergie}} bei bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.
Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, -Zerfall,
z.B.
miniatur|hochkant=3|zentriert|instabile Spaltbruchstücke
Grobe Abschätzung für -Verbrauch:
Fusion[edit | edit source]
Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls{{#set:Fachbegriff=Coulombwalls|Index=Coulombwalls}} oberhalb von möglich (z.B. Sonneninnere mit und ).
Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium
Einzelnachweise[edit | edit source]
- ↑ Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)
- ↑ (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)
- ↑ [Prof. Dr. Heinz Clement: Vorlesung Experimentalphysik VII - Kern- und Teilchenphysik], Vorlesung 32 {{#set:vlkp=32}} Zeitcode: (ab 10:30)
Weitere Informationen[edit | edit source]
(gehört nicht zum Skript) Wikipedia-Artikel miniatur miniatur miniatur miniatur
Prüfungsfragen[edit | edit source]
- Äußere Eigenschaften eines Kerns
- Dichte (Größenordnungen)
- Bethe-Weizäcker Formel
- Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel)
- Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso proportional zu V?
- Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner
- Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten)
- Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen
- Paarungsterm:->Isobarenregel
- Spaltung/Fusion wo möglich?
- Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)