Nakajima-Zwanzig-Gleichung

Die Nakajima-Zwangzig Gleichung{{#set:Fachbegriff=Nakajima-Zwangzig Gleichung|Index=Nakajima-Zwangzig Gleichung}} ist eine Integrodifferentialgleichung{{#set:Fachbegriff=Integrodifferentialgleichung|Index=Integrodifferentialgleichung}} die die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteopertorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung{{#set:Fachbegriff=Mastergleichung|Index=Mastergleichung}} angesehen werden.

Herleitung

Beginnend mit der Liouville von Neumann Gleichung {{#set:Fachbegriff=Liouville von Neumann Gleichung |Index=Liouville von Neumann Gleichung }}

${d}_{t}\chi =L\chi$

wobei der Dichteoperator{{#set:Fachbegriff=Dichteoperator|Index=Dichteoperator}} durch den Projektionsoperator{{#set:Fachbegriff=Projektionsoperator|Index=Projektionsoperator}} ${\mathcal {P}}$ in zwei Anteile $\chi =\left({\mathcal {P}}+{\mathcal {Q}}\right)\chi$ zerlegt wird. Wobei Q folglich durch ${\mathcal {Q}}\equiv 1-{\mathcal {P}}$ definiert ist.

Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch

${{d}_{t}}\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)\chi =\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)L\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)\chi +\left({\begin{matrix}{\mathcal {P}}\\{\mathcal {Q}}\\\end{matrix}}\right)L\left({\begin{matrix}{\mathcal {Q}}\\{\mathcal {P}}\\\end{matrix}}\right)\chi$

dargestellt werden.

Die zweite Zeile wird formal durch

${\mathcal {Q}}\chi ={{e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}Q\chi (t=0)+\int \limits _{0}^{t}{dt{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt'}}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}\chi (t-{t}')}$ gelöst.

Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:

${\text{d}}_{t}{\mathcal {P}}\chi ={\mathcal {P}}L{\mathcal {P}}\chi +\underbrace {{\mathcal {P}}L{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}Q\chi (t=0)} _{=0}+{\mathcal {P}}L\int \limits _{0}^{t}{dt{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt'}}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}\chi (t-{t}')}$

Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung

${\mathcal {K}}\left(t\right)={\mathcal {P}}L{{e}^{{\mathcal {Q}}Lt}}{\mathcal {Q}}L{\mathcal {P}}$,

${\mathcal {P}}\chi \equiv {{\chi }_{rel}}$ sowie der Ausnutzung von ${\mathcal {P}}^{2}={\mathcal {P}}$ erhält man die endgültige Form

${\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}={\mathcal {P}}L{{\chi }_{rel}}+\int \limits _{0}^{t}{dt'{\mathcal {K}}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')}$

{{#set:Gleichung=Nakajima-Zwanzig-Gleichung|Index=Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}

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