Nakajima-Zwanzig-Gleichung: Difference between revisions
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Nakajima | Die {{FB|Nakajima-Zwangzig Gleichung}} ist eine {{FB|Integrodifferentialgleichung}} die die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteopertorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der {{FB|Mastergleichung}} angesehen werden. | ||
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==Herleitung== | |||
Beginnend mit der {{FB|Liouville von Neumann Gleichung }} | |||
:<math>{d}_{t} \chi = L \chi </math> | |||
wobei der {{FB|Dichteoperator}} durch den {{FB|Projektionsoperator}} | |||
<math>\mathcal{P}</math> | |||
in zwei Anteile | |||
<math>\chi =\left( \mathcal{P}+\mathcal{Q} \right)\chi </math> | |||
zerlegt wird. Wobei Q folglich durch | |||
<math>\mathcal{Q}\equiv 1-\mathcal{P}</math> | |||
definiert ist. | |||
Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch | |||
:<math>{{d}_{t}}\left( \begin{matrix} | |||
\mathcal{P} \\ | \mathcal{P} \\ | ||
\mathcal{Q} \\ | \mathcal{Q} \\ | ||
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\mathcal{Q} \\ | \mathcal{Q} \\ | ||
\mathcal{P} \\ | \mathcal{P} \\ | ||
\end{matrix} \right)\chi | \end{matrix} \right)\chi </math> | ||
dargestellt werden. | |||
\ | Die zweite Zeile wird formal durch | ||
:<math>\mathcal{Q}\chi ={{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)+\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}</math> gelöst. | |||
Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die | |||
Nakajima-Zwanzig-Gleichung: | |||
:<math>{\text{d}}_{t} \mathcal{P}\chi =\mathcal{P}L\mathcal{P}\chi +\underbrace{\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}Q\chi (t=0)}_{=0}+\mathcal{P}L\int\limits_{0}^{t}{dt{{e}^{\mathcal{Q}Lt'}}\mathcal{Q}L\mathcal{P}\chi (t-{t}')}</math> | |||
Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung | |||
:<math>\mathcal{K}\left( t \right)=\mathcal{P}L{{e}^{\mathcal{Q}Lt}}\mathcal{Q}L\mathcal{P} </math>, | |||
<math>\mathcal{P}\chi \equiv {{\chi }_{rel}}</math> | |||
sowie der Ausnutzung von | |||
<math>\mathcal{P}^2=\mathcal{P} </math> | |||
erhält man die endgültige Form | |||
{{Gln|<math>{\text{d}}_{t}{\chi }_{rel}=\mathcal{P}L{{\chi }_{rel}}+\int\limits_{0}^{t}{dt'\mathcal{K}({t}'){{\chi }_{rel}}(t-{t}')}</math> | |||
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Latest revision as of 16:15, 9 December 2010
Die Nakajima-Zwangzig Gleichung{{#set:Fachbegriff=Nakajima-Zwangzig Gleichung|Index=Nakajima-Zwangzig Gleichung}} ist eine Integrodifferentialgleichung{{#set:Fachbegriff=Integrodifferentialgleichung|Index=Integrodifferentialgleichung}} die die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteopertorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung{{#set:Fachbegriff=Mastergleichung|Index=Mastergleichung}} angesehen werden.
Herleitung[edit | edit source]
Beginnend mit der Liouville von Neumann Gleichung {{#set:Fachbegriff=Liouville von Neumann Gleichung |Index=Liouville von Neumann Gleichung }}
wobei der Dichteoperator{{#set:Fachbegriff=Dichteoperator|Index=Dichteoperator}} durch den Projektionsoperator{{#set:Fachbegriff=Projektionsoperator|Index=Projektionsoperator}} in zwei Anteile zerlegt wird. Wobei Q folglich durch definiert ist.
Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch
dargestellt werden.
Die zweite Zeile wird formal durch
Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:
Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung
sowie der Ausnutzung von erhält man die endgültige Form
{{#set:Gleichung=Nakajima-Zwanzig-Gleichung|Index=Nakajima-Zwanzig-Gleichung}}
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