Schallausbreitung im Festkörper: Difference between revisions

Latest revision as of 13:27, 30 November 2010

Bei der Ausbreitung von Schall in einem Festkörper hängt die Schwingfrequenz $ω$ der Atome vom Betrag des Wellenvektor{{#set:Fachbegriff=Wellenvektor|Index=Wellenvektor}}s k ab. Der Zusammenhang wird durch die Gruppengeschwindigkeit{{#set:Fachbegriff=Gruppengeschwindigkeit|Index=Gruppengeschwindigkeit}} der Dispersionsbeziehung{{#set:Fachbegriff=Dispersionsbeziehung|Index=Dispersionsbeziehung}}

ω (k) = 2 \sqrt{\frac{K}{M}} | \sin (\frac{1}{2} k a) |

beschrieben, wobei K die effektive Federkonstante der Bindung zwischen den Atomen, M ihre Masse und a ihr Abstand sind. a) Welchen Wert hat die Schallgeschwindigkeit in einem Festkörper mit $K = 7 k g / s^{2}, M = 4 * 1 0^{- 26} k g, a = 5 * 1 0^{- 10} m$ , wenn die Wellenlänge sehr viel größer als der Atomabstand a ist?

Lösung

Nach Verwendete Formeln: ^[1] ist die Gruppengeschwindigkeit die Ableitung von $ω (k)$ an der Stelle k=Mittelwert(k). Da k<<a ist k*a klein und so wird $\cos (k a) \approx 1$ . Damit folgt dann Mathematica Rechnung:

N@K = 7; N@M = 4*10^-26; N@a = 5*10^-10;
\[Omega][k_] = 2 Sqrt[K/M]*Sin[1/2 k a]
vGR[k_] = D[\[Omega][k], k]
vGR[0]
N@%

Zahlenwert:Zahlenwert::6614 in Einheit::m/s

b) Nähert sich die Wellenlänge des Schalls dem Wert 2a, kann dieser sich nicht mehr ausbreiten. Berechnen Sie die Frequenz, mit der die Atome in dem Festkörper in diesem Fall schwingen.

Lösung

Mathematica Rechnung:

\[Omega][2 Pi/(2 a)]
N@%

Zahlenwert:Zahlenwert::2.64575*10^13 in Einheit::Hz

Fakten zur Klausuraufgabe Schallausbreitung im Festkörper[edit source]

Quellen

↑ Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung Seite73 {{#set:PhIng=Seite73}}

Datum: {{#arraymap:SS07|,|x|KADatum::x}}
Aufgabe: {{#arraymap:4|,|x|KAAufgabe::x}}
Abschnitt: {{#arraymap:MSW|,|x|KAAbschnitt::x}}
Punkte: KAPunkte::6
Tutorium: KATut::

Semantische Daten

{{#ask:Spezial:Browse/Schallausbreitung im Festkörper|format=embedded}} coming soon klick the link above

Kategorie:Klausuraufgabe

[1] Thomsen,C Gumlich, H.E.: Ein Jahr für die Physik. 3. Auflage Berlin: Wissenschaft und Technik Verliag, 2008, Gleichung Seite73 {{#set:PhIng=Seite73}}

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-Bei der Ausbreitung von Schall in einem Festkörper hängt die Schwingfrequenz \omega der Atome vom Betrag des {{FB|Wellenvektor}}s k ab. Der Zusammenhang wird durch die {{FB|Gruppengeschwindigkeit}} der {{FB|Dispersionsbeziehung}}
+Bei der Ausbreitung von Schall in einem Festkörper hängt die Schwingfrequenz <math>\omega</math> der Atome vom Betrag des {{FB|Wellenvektor}}s k ab. Der Zusammenhang wird durch die {{FB|Gruppengeschwindigkeit}} der {{FB|Dispersionsbeziehung}}
-:<math>\omeaga (k) =\sqrt{\frac{K}{M}} \left| \sin(1/2 k a) \right| </math>
+:<math>\omega (k) =2\sqrt{\frac{K}{M}} \left| \sin\left(\frac{1}{2} k a\right) \right| </math>
 beschrieben, wobei K die effektive Federkonstante der Bindung zwischen den Atomen, M ihre Masse und a ihr Abstand sind.
-a)	Welchen Wert hat die Schallgeschwindigkeit in einem Festkörper mit K = 7 kg/s², M = 4 10^-26 kg und a = 5 10^-10 m, wenn die Wellenlänge sehr viel größer als der Atomabstand a ist?
+a)	Welchen Wert hat die Schallgeschwindigkeit in einem Festkörper mit <math>K = 7 kg/s^2, M = 4*10^{-26}kg, a = 5*10^{-10} m</math>, wenn die Wellenlänge sehr viel größer als der Atomabstand a ist?
-{{Lösung|Zahlenwert=6614}}
+{{Lösung|1=Nach {{PhIngGl|Seite73}} ist die Gruppengeschwindigkeit die Ableitung von <math>\omega(k)</math> an der Stelle k=Mittelwert(k). Da k<<a ist k*a klein und so wird <math>\cos(k a)\approx 1</math>. Damit folgt dann |Code=N@K = 7; N@M = 4*10^-26; N@a = 5*10^-10;
+\[Omega][k_] = 2 Sqrt[K/M]*Sin[1/2 k a]
+vGR[k_] = D[\[Omega][k], k]
+vGR[0]
+N@%|Zahl=6614|Einheit=m/s}}
 b)	Nähert sich die Wellenlänge des Schalls dem Wert 2a, kann dieser sich nicht mehr ausbreiten.
 Berechnen Sie die Frequenz, mit der die Atome in dem Festkörper in diesem Fall schwingen.
-{{Lösung|Zahlenwert=2.65 10^13}}
+{{Lösung|Code=\[Omega][2 Pi/(2 a)]
+N@%|Zahl=2.64575*10^13|Einheit=Hz}}
 {{Klausuraufgabe

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