Paramagnetismus: Difference between revisions
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Paramagnetismus: vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet ! Keine WW der Elementarmagnete untereinander | '''Paramagnetismus''': vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet! Keine WW der Elementarmagnete untereinander | ||
Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander ! | Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander! → spontane Magnetisierung! | ||
'''Diamagnetismus: '''die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert | '''Diamagnetismus: '''die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert → Abstoßung (Lenzsche Regel)! | ||
====Modell eines Paramagneten==== | ====Modell eines Paramagneten==== | ||
N ortsfeste ( und somit unterscheidbare Teilchen !) mit Drehimpuls <math>\bar{L}</math> | N ortsfeste (und somit unterscheidbare Teilchen!) mit Drehimpuls <math>\bar{L}</math> | ||
im Magnetfeld der Induktion <math>\bar{B}</math> | im Magnetfeld der Induktion <math>\bar{B}</math> | ||
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= Bohrsches Magneton ! | = Bohrsches Magneton! | ||
z.B. Spin: <math>l=\frac{1}{2},g=2,{{m}_{l}}=\pm 1</math> | z.B. Spin: <math>l=\frac{1}{2},g=2,{{m}_{l}}=\pm 1</math> | ||
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Als '''Einteilchenzustandssumme''' | Als '''Einteilchenzustandssumme''' | ||
<u>'''Magnetisierung M '''</u> ( = mittleres magnetisches Moment pro Volumen ) | <u>'''Magnetisierung M '''</u> (= mittleres magnetisches Moment pro Volumen) | ||
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Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung | Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung | ||
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Beispiel: B= 1 Tesla | Beispiel: B= 1 Tesla → T >> 1K | ||
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speziell: l= 1/2: | speziell: l= 1/2: | ||
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:<math>\Rightarrow M\left( T,V,B \right)=\frac{N}{V}\frac{{{\mu }^{2}}B}{4kT}</math> | :<math>\Rightarrow M\left( T,V,B \right)=\frac{N}{V}\frac{{{\mu }^{2}}B}{4kT}</math> | ||
Curie- Gesetz !! | Curie- Gesetz!! | ||
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:<math>{{\chi }_{m}}={{\mu }_{0}}\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\frac{{{\mu }^{2}}}{kT}=\frac{C}{T}</math> | :<math>{{\chi }_{m}}={{\mu }_{0}}\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\frac{{{\mu }^{2}}}{kT}=\frac{C}{T}</math> | ||
Mit der Curie- Konstanten C ! | Mit der Curie- Konstanten C! | ||
( Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört ! ) | (Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört!) | ||
'''Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:''' | '''Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:''' | ||
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mit <math>\left| {\bar{m}} \right|</math> | mit <math>\left| {\bar{m}} \right|</math> | ||
fest ( magnetisches Moment !) und <math>\alpha </math> | fest (magnetisches Moment!) und <math>\alpha </math> | ||
Phasenraumvariable !, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten ! | Phasenraumvariable!, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten! | ||
'''Klassische Zustandssumme:''' | '''Klassische Zustandssumme:''' | ||
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<u>'''Vergleich für l=1/2, g=2 ( Spin)'''</u> | <u>'''Vergleich für l=1/2, g=2 (Spin)'''</u> | ||
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im Gegensatz zu quantentheoretisch: <math>\frac{MV}{Nm}=\tanh x</math> | im Gegensatz zu quantentheoretisch: <math>\frac{MV}{Nm}=\tanh x</math> | ||
Also für | Also für x→ 0 (hohe Temperaturen): | ||
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Somit folgt ( die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte): | Somit folgt (die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte): | ||
Abszisse: x = mB/(kT) | Abszisse: x = mB/(kT) | ||
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Ordinate: MV/Nm | Ordinate: MV/Nm | ||
Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab ! | Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab! | ||
<u>'''Vergleich für l>>1'''</u> | <u>'''Vergleich für l>>1'''</u> | ||
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:<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)</math> | :<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)</math> | ||
( klassische Brillouin- Funktion ) | (klassische Brillouin- Funktion) | ||
<u>'''Für l=2 folgt:'''</u> | <u>'''Für l=2 folgt:'''</u> | ||
<u>'''Dabei ist die klassische '''</u>Kurve nun steiler ! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist ! | <u>'''Dabei ist die klassische '''</u>Kurve nun steiler! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist! | ||
Für l=5: | Für l=5: | ||
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( kalorische Zustandsgleichung <math>U\left( T,B \right)</math> | (kalorische Zustandsgleichung <math>U\left( T,B \right)</math> | ||
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'''Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur ( arbitrary units) geplottet:''' | '''Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur (arbitrary units) geplottet:''' | ||
Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld ( a.u.) verdoppelt ! | Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld (a.u.) verdoppelt! | ||
====Adiabatische Entmagnetisierung==== | ====Adiabatische Entmagnetisierung==== | ||
Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung ( insbesondere mit Kernspin) | Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung (insbesondere mit Kernspin) |
Latest revision as of 00:53, 13 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Paramagnetismus basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 7) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=7}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__
Paramagnetismus: vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet! Keine WW der Elementarmagnete untereinander
Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander! → spontane Magnetisierung!
Diamagnetismus: die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert → Abstoßung (Lenzsche Regel)!
Modell eines Paramagneten[edit | edit source]
N ortsfeste (und somit unterscheidbare Teilchen!) mit Drehimpuls
Drehimpulsquantisierung:
Energie:
= Bohrsches Magneton!
Einteilchen- Zustandssumme
Beispiel: l = 1/2:
Als Einteilchenzustandssumme
Magnetisierung M (= mittleres magnetisches Moment pro Volumen)
Brillouin- Funktion
z.B. l= 1/2:
(Lorgevin- Funktion)
Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung
Hohe Temperaturen[edit | edit source]
Beispiel: B= 1 Tesla → T >> 1K
Entwicklung
linear in B!
speziell: l= 1/2:
Curie- Gesetz!!
definiert durch
als absolute Permeabilität
Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:
Mit der Curie- Konstanten C!
(Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört!)
Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:
Also:
Vollständige Ausrichtung aller Momente
Vergleich mit der klassischen rechnung[edit | edit source]
fest (magnetisches Moment!) und
Phasenraumvariable!, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten!
Klassische Zustandssumme:
Vergleich für l=1/2, g=2 (Spin)
klassisch
im Gegensatz zu quantentheoretisch:
Also für x→ 0 (hohe Temperaturen):
(klassisch)
(quantentheoretisch!)
(tiefe Temperaturen):
(klassisch)
(quantentheoretisch)
Somit folgt (die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte):
Abszisse: x = mB/(kT)
Ordinate: MV/Nm
Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab!
Vergleich für l>>1
Klassisch dann mit der Näherung
für
klassisch:
(klassische Brillouin- Funktion)
Für l=2 folgt:
Dabei ist die klassische Kurve nun steiler! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist!
Für l=5:
und schließlich l=10:
Dabei wurde wieder
Abszisse: x = mB/(kT)
Ordinate: MV/Nm
Energie und Entropie[edit | edit source]
Statistischer Operator für kanonische Verteilung:
(kalorische Zustandsgleichung )
Limes
Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur (arbitrary units) geplottet:
Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld (a.u.) verdoppelt!
Adiabatische Entmagnetisierung[edit | edit source]
Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung (insbesondere mit Kernspin)