Beispiel des Großkanonischen Ensenbles: Difference between revisions

Latest revision as of 21:10, 12 September 2010

Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr

Der Artikel Beispiel des Großkanonischen Ensenbles basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. A. Knorr.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. A. Knorr|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=4}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__

Illustration am Anhand von

\begin{aligned} G_{ν} = {H, N} \\ h_{α} = {V} \end{aligned}

definiert das großkanonische Ensemble man kannt durch die Wahl sofort R, $S = S_{g k}$

\begin{aligned} R = \frac{1}{Z} e^{- \sum_{ν} λ_{ν} G_{ν}} \\ R_{g k} = \frac{1}{Z_{g k}} e^{- λ_{1} H - λ_{2} N} \end{aligned}

oftmals $λ_{1} = β, λ_{2} = - β μ$

(λ_{1}, λ_{2}) \to (β, μ)

wir zeigen:

β = \frac{1}{k T}

Temperatur taucht auf muss gezeigt werden

μ

= Chemisches Potential ist die Energie die man braucht um 1 Teilchen hinzu zufügen

R_{g k} = \frac{1}{Z} e^{- β (H - μ N)}

Entropie[edit | edit source]

braucht man um Zustandsgleichung festzulegen

S = S (⟨ G_{ν} ⟩, h_{α})

\Rightarrow S_{g k} = S_{g k} (⟨ H ⟩, ⟨ N ⟩, V)

S_{g k} (E, \overline{N}, V) = k β E - k β μ \overline{N} + k \ln Z_{g k} (β μ V)

Formel für Entropie siehe anfang der VL

Lagrangeparameter /Zustandsgleichung[edit | edit source]

Beziehungen der partiellen Ableitungen aus Gibbsgleichung

k λ_{ν} = \partial_{⟨ G_{ν} ⟩} S; k \sum_{ν} λ_{ν} M_{ν, α} = \partial_{h_{α}} S

für $ν = 1$

k λ_{ν} = \partial_{⟨ G_{ν} ⟩} S \Rightarrow k β = {(\frac{\partial S}{\partial E})}_{V, \bar{N}}; k \sum_{ν} λ_{ν} M_{ν, α} = \partial_{h_{α}} S \Rightarrow {(\frac{\partial S}{\partial N})}_{E, \bar{N}} = - k β Tr (\frac{\partial H}{\partial V} R)

\begin{aligned} k λ_{ν} = \partial_{⟨ G_{ν} ⟩} S \Rightarrow k β = {(\frac{\partial S}{\partial E})}_{V, \bar{N} ((V, N sind nicht anzufassen bei der partiellen Ableitung))} \\ k \sum_{ν} λ_{ν} M_{ν, α} = \partial_{h_{α}} S \Rightarrow {(\frac{\partial S}{\partial N})}_{E, \bar{N}} = - k β Tr (\frac{\partial H}{\partial V} R) (\partial_{V} N \to 0) \end{aligned}

für $ν = 2$

\begin{aligned} - k β μ = {(\frac{\partial S}{\partial E})}_{V, \bar{N}} \\ k \partial_{V} \ln Z_{g k} = k β p \Rightarrow p = \frac{1}{β} \partial_{V} \ln Z_{g k} \end{aligned}

Man hat also Gleichungen für die Lagrangeparameter und die Zustandsgleichung für den Druck gewonnen. Lagrangeparameter noch nicht physikalisch bestimmt!

vorweg genommen

\begin{aligned} T^{- 1} = {(\frac{\partial S}{\partial E})}_{V, \bar{N}} \\ μ = - T {(\frac{\partial S}{\partial \bar{N}})}_{V, E} \\ p = k T \partial_{V} (\ln Z_{g k}) \end{aligned}

Temperatur und chemisches Potential[edit | edit source]

es ist zu zeigen, dass die Temperaturdefinition sinnvoll ist

T^{- 1} = (\frac{\partial S}{\partial E})

sonst darf man es nicht Temeratur nennen

dazu zeigen:

{(\frac{\partial S}{\partial E})}_{V, \bar{N}}

ist als Eigenschaft bei 2 System die in Konakt über eine Grenzfläche stehen gleich

2 insgesamt Abgeschlossene Systeme, die in Konakt über eine Grenzfläche stehen
System 1	System 2
${\bar{N}}_{1}, V_{1}, E_{1}$	${\bar{N}}_{2}, V_{2}, E_{2}$

\begin{aligned} E = E_{1} + E_{2} \\ V = V_{1} + V_{2} \\ \bar{N} = {\bar{N}}_{1} + {\bar{N}}_{2} \end{aligned}

Zu zeugen:

S \overset{!}{=} S_{1} + S_{2}

S \tilde{} Tr (ρ \ln ρ) = Tr (ρ_{1} ρ_{2} \ln (ρ_{1} ρ_{2}))

statistischer Operator faktorisiert für kleine Grenzflächen

Tr (ρ_{1} ρ_{2} \ln (ρ_{1})) + Tr (ρ_{1} ρ_{2} \ln (ρ_{2}))

mit

Tr \overset{\land}{=} ⟨ n_{1} | ⟨ n_{2} | \dots | n_{1} ⟩ | n_{2} ⟩

\begin{aligned} = {Tr}_{1} (ρ_{1} \ln (ρ_{1})) \underset{1}{\underset{⏟}{{Tr}_{2} (ρ)}} + {Tr}_{2} (ρ_{2} \ln (ρ_{2})) \underset{1}{\underset{⏟}{Tr (ρ_{1})}} \\ \Rightarrow S = S_{1} + S_{2} \end{aligned}

Kleine differnentielle Änderungen:

\begin{aligned} d E = d E_{1} + d E_{2} = 0 \to - d E_{1} = d E_{2} \\ d V = d V_{1} + d V_{2} = 0 \to - d V_{1} = d V_{2} \\ d \bar{N} = d {\bar{N}}_{1} + d {\bar{N}}_{2} = 0 \to - d {\bar{N}}_{1} = d {\bar{N}}_{2} \\ \underset{\begin{matrix} G e s a m t s y t e m \\ a b g e s c h l o s s e n \end{matrix}}{\underset{⏟}{d S = d S_{1} + d S_{2} = 0}} \to - d S_{1} = d S_{2} \end{aligned}

"rüberschieben auf andere Seite"

nutze bei dS:

\begin{aligned} d S_{^{1} ╱_{2}} = \frac{\partial S_{^{1} ╱_{2}}}{\partial V_{^{1} ╱_{2}}} d V_{^{1} ╱_{2}} + \frac{\partial S_{^{1} ╱_{2}}}{\partial {\bar{N}}_{^{1} ╱_{2}}} d {\bar{N}}_{^{1} ╱_{2}} + \frac{\partial S_{^{1} ╱_{2}}}{\partial E_{^{1} ╱_{2}}} d E_{^{1} ╱_{2}} \\ d S_{1} = - d S_{2} \end{aligned}

\frac{\partial S_{1}}{\partial V_{1}} d V_{1} + \frac{\partial S_{1}}{\partial {\bar{N}}_{1}} d {\bar{N}}_{1} + \frac{\partial S_{1}}{\partial E_{1}} d E_{1} = - \frac{\partial S_{2}}{\partial V_{2}} d V_{2} - \frac{\partial S_{2}}{\partial {\bar{N}}_{2}} d {\bar{N}}_{2} - \frac{\partial S_{2}}{\partial E_{2}} d E_{2}

mit

d E_{1} = - d E_{2}, - d {\bar{N}}_{1} = d {\bar{N}}_{2}, - d V_{1} = d V_{2}

\begin{aligned} (\frac{\partial S_{1}}{\partial E_{1}} - \frac{\partial S_{2}}{\partial E_{2}}) d E_{2} = 0 \\ (\frac{\partial S_{1}}{\partial {\bar{N}}_{1}} - \frac{\partial S_{2}}{\partial {\bar{N}}_{2}}) d {\bar{N}}_{2} = 0 \\ (\frac{\partial S_{1}}{\partial V_{1}} - \frac{\partial S_{2}}{\partial V_{2}}) d V_{2} = 0 \end{aligned}

weil N,V,E unabhängig variiert werden können gilt für alle

d E_{2}

,

d {\bar{N}}_{2}

,

d V_{2}

→ folgende Eigenschaften des Systems im Kontakt sind gleich:

\begin{aligned} {(\frac{\partial S_{1}}{\partial E_{1}})}_{V_{1}, {\bar{N}}_{1}} = {(\frac{\partial S_{2}}{\partial E_{2}})}_{V_{2}, {\bar{N}}_{2}} \\ {(\frac{\partial S_{1}}{\partial {\bar{N}}_{1}})}_{V_{1}, E_{1}} = {(\frac{\partial S_{2}}{\partial {\bar{N}}_{2}})}_{V_{2}, E_{2}} \\ {(\frac{\partial S_{1}}{\partial V_{1}})}_{E_{1}, {\bar{N}}_{1}} = {(\frac{\partial S_{2}}{\partial V_{2}})}_{E_{2}, {\bar{N}}_{2}} \end{aligned}

Eigenschaft Namen geben:

inverse Temperatur: $T^{- 1} = {(\frac{\partial S}{\partial E})}_{V, \bar{N}} = k β$ (war berechnet)

chemisches Potential/ Temperatur: $- \frac{μ}{T} = {(\frac{\partial S}{\partial \bar{N}})}_{V, E} = - k β μ$ (war berechnet)

β = \frac{1}{k T}

beides muss am Experiment verifiziert werden

Druck durch Temperatr $\frac{p}{T} = {(\frac{\partial S}{\partial V})}_{E, \bar{N}} = k \partial_{V} \ln Z_{g k}$

Druck kann auch gemessen werden

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik[edit | edit source]

Es existiert eine skalare Größe T (Temperatur) zur Charaktersierung eines Systems; bei Kontakt (und langem Warten) sind die Temperaturen zweier Systeme gleich. anlog Potential, Druck

Optische Absorption eines Zweinivieausystems[edit | edit source]

Dichtematrixdynamik und Zustandsgleichung[edit | edit source]

Dichtematrixdynamik für 2Niveausystem: 1 Teilchen =

\bar{N}

Besetzungszahldarstellung

@@ Line 2: / Line 2: @@
 Illustration am Anhand von
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
    & {{G}_{\nu }}=\left\{ H,N \right\} \\
   & {{h}_{\alpha }}=\left\{ V \right\} \\
@@ Line 10: / Line 10: @@
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
    & R=\frac{1}{Z}{{e}^{-\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{G}_{\nu }}}}} \\
   & {{R}_{gk}}=\frac{1}{{{Z}_{gk}}}{{e}^{-{{\lambda }_{1}}H-{{\lambda }_{2}}N}}
@@ Line 18: / Line 18: @@
 oftmals <math>{{\lambda }_{1}}=\beta ,\quad {{\lambda }_{2}}=-\beta \mu </math>
-<math>\left( {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}} \right)\to \left( \beta ,\mu  \right)</math>
+:<math>\left( {{\lambda }_{1}},{{\lambda }_{2}} \right)\to \left( \beta ,\mu  \right)</math>
 wir zeigen:
-<math>\beta =\frac{1}{kT}</math> Temperatur taucht auf muss gezeigt werden
+:<math>\beta =\frac{1}{kT}</math> Temperatur taucht auf muss gezeigt werden
-<math>\mu</math> = Chemisches Potential ist die Energie die man braucht um 1 Teilchen hinzu zufügen
+:<math>\mu</math> = Chemisches Potential ist die Energie die man braucht um 1 Teilchen hinzu zufügen
-<math>{{R}_{gk}}=\frac{1}{Z}{{e}^{-\beta \left( H-\mu N \right)}}</math>
+:<math>{{R}_{gk}}=\frac{1}{Z}{{e}^{-\beta \left( H-\mu N \right)}}</math>
@@ Line 31: / Line 31: @@
 ==Entropie==
+braucht man um Zustandsgleichung festzulegen
+:<math>S=S\left( \left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle ,{{h}_{\alpha }} \right)</math>
+:<math>\Rightarrow {{S}_{gk}}={{S}_{gk}}\left( \left\langle H \right\rangle ,\left\langle N \right\rangle ,V \right)</math>
+:<math>{{S}_{gk}}\left( E,\overline{N},V \right)=k\beta E-k\beta \mu \overline{N}+k\ln {{Z}_{gk}}\left( \beta \mu V \right)</math>
+Formel für Entropie siehe [[Kurzer_historischer_Überblick#Entropie|anfang der VL]]
 ==Lagrangeparameter /Zustandsgleichung==
+Beziehungen der partiellen Ableitungen aus Gibbsgleichung
+:<math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}S;\quad k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}S}</math>
+für <math>\nu=1</math>
+:<math>k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}S\Rightarrow k\beta ={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}};\quad k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}S}\Rightarrow {{\left( \frac{\partial S}{\partial N} \right)}_{E,\bar{N}}}=-k\beta \operatorname{Tr}\left( \frac{\partial H}{\partial V}R \right)</math>
+:<math>\begin{align}
+  & k{{\lambda }_{\nu }}={{\partial }_{\left\langle {{G}_{\nu }} \right\rangle }}S\Rightarrow k\beta ={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}\left( \left( \text{V},\text{N sind nicht anzufassen bei der partiellen Ableitung} \right) \right)}} \\
+ & k\sum\limits_{\nu }{{{\lambda }_{\nu }}{{M}_{\nu ,\alpha }}={{\partial }_{{{h}_{\alpha }}}}S}\Rightarrow {{\left( \frac{\partial S}{\partial N} \right)}_{E,\bar{N}}}=-k\beta \operatorname{Tr}\left( \frac{\partial H}{\partial V}R \right)\quad \left( {{\partial }_{V}}N\to 0 \right) \\
+\end{align}</math>
+für <math>\nu=2</math>
+:<math>\begin{align}
+  & -k\beta \mu ={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}} \\
+ & k{{\partial }_{V}}\ln {{Z}_{gk}}=k\beta p\Rightarrow p=\frac{1}{\beta }{{\partial }_{V}}\ln {{Z}_{gk}} \\
+\end{align}</math>
+Man hat also Gleichungen für die Lagrangeparameter und die Zustandsgleichung für den Druck gewonnen.
+Lagrangeparameter noch nicht physikalisch bestimmt!
+vorweg genommen
+:<math>\begin{align}
+  & {{T}^{-1}}={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}} \\
+ & \mu =-T{{\left( \frac{\partial S}{\partial \bar{N}} \right)}_{V,E}} \\
+ & p=kT{{\partial }_{V}}\left( \ln {{Z}_{gk}} \right)
+\end{align}</math>
 ==Temperatur und chemisches Potential==
+es ist zu zeigen, dass die Temperaturdefinition sinnvoll ist
+:<math>{{T}^{-1}}=\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)</math>
+sonst darf man es nicht Temeratur nennen
+dazu zeigen:
+:<math>{{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}}</math> ist als Eigenschaft bei 2 System die in Konakt über eine Grenzfläche stehen gleich
+{| class="wikitable" border="1"
+|+ 2 insgesamt Abgeschlossene Systeme,  die in Konakt über eine Grenzfläche stehen
+! System 1!! System 2
+|-
+| <math>{{{\bar{N}}}_{1}},{{V}_{1}},{{E}_{1}}</math>
+||
+:<math>{{{\bar{N}}}_{2}},{{V}_{2}},{{E}_{2}}</math>
+|}
+:<math>\begin{align}
+  & E={{E}_{1}}+{{E}_{2}} \\
+ & V={{V}_{1}}+{{V}_{2}} \\
+ & \bar{N}={{{\bar{N}}}_{1}}+{{{\bar{N}}}_{2}} \\
+\end{align}</math>
+Zu zeugen:
+:<math>S\overset{!}{\mathop{=}}\,{{S}_{1}}+{{S}_{2}}</math>
+:<math>S\tilde{\ }\operatorname{Tr}\left( \rho \ln \rho  \right)=\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}} \right) \right)</math>
+statistischer Operator faktorisiert für '''kleine''' Grenzflächen
+:<math>\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{1}} \right) \right)+\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}}{{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{2}} \right) \right)</math>
+mit
+:<math>\operatorname{Tr}\overset{\wedge}{=}\left\langle  {{n}_{1}} \right|\left\langle  {{n}_{2}} \right|\ldots \left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>
+:<math>\begin{align}
+  & ={{\operatorname{Tr}}_{1}}\left( {{\rho }_{1}}\ln \left( {{\rho }_{1}} \right) \right)\underbrace{{{\operatorname{Tr}}_{2}}\left( \rho  \right)}_{1}+{{\operatorname{Tr}}_{2}}\left( {{\rho }_{2}}\ln \left( {{\rho }_{2}} \right) \right)\underbrace{\operatorname{Tr}\left( {{\rho }_{1}} \right)}_{1} \\
+ & \Rightarrow S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}
+\end{align}</math>
+Kleine differnentielle Änderungen:
+:<math>\begin{align}
+  & dE=d{{E}_{1}}+d{{E}_{2}}=0\to -d{{E}_{1}}=d{{E}_{2}} \\
+ & dV=d{{V}_{1}}+d{{V}_{2}}=0\to -d{{V}_{1}}=d{{V}_{2}} \\
+ & d\bar{N}=d{{{\bar{N}}}_{1}}+d{{{\bar{N}}}_{2}}=0\to -d{{{\bar{N}}}_{1}}=d{{{\bar{N}}}_{2}} \\
+ & \underbrace{dS=d{{S}_{1}}+d{{S}_{2}}=0}_{\begin{smallmatrix}
+ Gesamtsytem \\
+ abgeschlossen
+\end{smallmatrix}}\to -d{{S}_{1}}=d{{S}_{2}}
+\end{align}</math>
+"rüberschieben auf andere Seite"
+nutze bei dS:
+:<math>\begin{align}
+  & d{{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}=\frac{\partial {{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}{\partial {{V}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}d{{V}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}+\frac{\partial {{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}d{{{\bar{N}}}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}+\frac{\partial {{S}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}{\partial {{E}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}}}d{{E}_{{}^{1}\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;}} \\
+ & d{{S}_{1}}=-d{{S}_{2}}
+\end{align}</math>
+:<math>\frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{V}_{1}}}d{{V}_{1}}+\frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{1}}}d{{{\bar{N}}}_{1}}+\frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{E}_{1}}}d{{E}_{1}}=-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{V}_{2}}}d{{V}_{2}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{2}}}d{{{\bar{N}}}_{2\;}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{E}_{2}}}d{{E}_{2}}</math>
+mit
+:<math>d{{E}_{1}}=-d{{E}_{2}},-d{{{\bar{N}}}_{1}}=d{{{\bar{N}}}_{2}},-d{{V}_{1}}=d{{V}_{2}}</math>
+:<math>\begin{align}
+  & \left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{E}_{1}}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{E}_{2}}} \right)d{{E}_{2}}=0 \\
+ & \left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{1}}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{2}}} \right)d{{{\bar{N}}}_{2}}=0 \\
+ & \left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{V}_{1}}}-\frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{V}_{2}}} \right)d{{V}_{2}}=0
+\end{align}</math>
+weil N,V,E unabhängig variiert werden können gilt für alle
+:<math>d{{E}_{2}}</math>,<math>d{{{\bar{N}}}_{2}}</math>,
+:<math>d{{V}_{2}}</math>
+→ folgende Eigenschaften des Systems im Kontakt sind gleich:
+:<math>\begin{align}
+  & {{\left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{E}_{1}}} \right)}_{{{V}_{1}},{{{\bar{N}}}_{1}}}}={{\left( \frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{E}_{2}}} \right)}_{{{V}_{2}},{{{\bar{N}}}_{2}}}} \\
+ & {{\left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{1}}} \right)}_{{{V}_{1}},{{E}_{1}}}}={{\left( \frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{{\bar{N}}}_{2}}} \right)}_{{{V}_{2}},{{E}_{2}}}} \\
+ & {{\left( \frac{\partial {{S}_{1}}}{\partial {{V}_{1}}} \right)}_{{{E}_{1}},{{{\bar{N}}}_{1}}}}={{\left( \frac{\partial {{S}_{2}}}{\partial {{V}_{2}}} \right)}_{{{E}_{2}},{{{\bar{N}}}_{2}}}}
+\end{align}</math>
+Eigenschaft Namen geben:
+inverse Temperatur: <math>{{T}^{-1}}={{\left( \frac{\partial S}{\partial E} \right)}_{V,\bar{N}}}=k\beta </math> (war berechnet)
+chemisches Potential/ Temperatur:<math>-\frac{\mu }{T}={{\left( \frac{\partial S}{\partial \bar{N}} \right)}_{V,E}}=-k\beta \mu </math> (war berechnet)
+:<math>\beta =\frac{1}{kT}</math>
+beides muss am Experiment verifiziert werden
+Druck durch Temperatr <math>\frac{p}{T}={{\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)}_{E,\bar{N}}}=k{{\partial }_{V}}\ln {{Z}_{gk}}</math>
+Druck kann auch gemessen werden
 ===Nullter Hauptsatz der Thermodynamik===
@@ Line 40: / Line 192: @@
 ==Optische Absorption eines Zweinivieausystems==
-===Thermische Zustandsgleichung)====
+===Dichtematrixdynamik und Zustandsgleichung===
+Dichtematrixdynamik für 2Niveausystem: 1 Teilchen =
+:<math>{\bar{N}}</math>
+Besetzungszahldarstellung
+===Thermische Zustandsgleichung===

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Contents

Entropie[edit | edit source]

Lagrangeparameter /Zustandsgleichung[edit | edit source]

Temperatur und chemisches Potential[edit | edit source]

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik[edit | edit source]

Optische Absorption eines Zweinivieausystems[edit | edit source]

Dichtematrixdynamik und Zustandsgleichung[edit | edit source]

Thermische Zustandsgleichung[edit | edit source]

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Entropie[edit | edit source]

Lagrangeparameter /Zustandsgleichung[edit | edit source]

Temperatur und chemisches Potential[edit | edit source]

Nullter Hauptsatz der Thermodynamik[edit | edit source]

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