Multipolstrahlung: Difference between revisions
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<u>'''Ziel:'''</u> | <u>'''Ziel:'''</u> | ||
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<u>'''Voraussetzung: Lorentz- Eichung'''</u> | <u>'''Voraussetzung: Lorentz- Eichung'''</u> | ||
<math>\dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | :<math>\dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | ||
Somit kann aus | Somit kann aus | ||
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> dann <math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | ||
dann | |||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | |||
und somit auch | und somit auch | ||
<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{E}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
berechnet werden. | berechnet werden. | ||
# <u>'''Näherung:'''</u> | # <u>'''Näherung:'''</u> | ||
<u>'''r>>a ( '''</u>Ausdehnung der Quelle) | <u>'''r>>a ('''</u>Ausdehnung der Quelle) | ||
Mit | Mit | ||
<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math> | :<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math> | ||
folgt: | folgt: | ||
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math> | :<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math> | ||
Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt ! | Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt! | ||
# <u>'''Näherung'''</u> | # <u>'''Näherung'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}\approx t-\frac{r}{c}+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}+.... \\ | & t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c}\approx t-\frac{r}{c}+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}+.... \\ | ||
& t-\frac{r}{c}:=\tau \\ | & t-\frac{r}{c}:=\tau \\ | ||
Line 41: | Line 37: | ||
Diese Näherung sollte gut sein, falls | Diese Näherung sollte gut sein, falls | ||
<math>\tau >>\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\approx \frac{a}{c}</math> | :<math>\tau >>\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\approx \frac{a}{c}</math> | ||
Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander ! | Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander! | ||
a~ Ausdehnung der Quelle | a~ Ausdehnung der Quelle | ||
<math>\tau </math> | :<math>\tau </math> | ||
ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von | ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von | ||
<math>\bar{j}</math> | :<math>\bar{j}</math> | ||
: | : | ||
Beispielsweise: harmonische Erregung: | Beispielsweise: harmonische Erregung: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{j}\tilde{\ }{{e}^{i\omega t}} \\ | & \bar{j}\tilde{\ }{{e}^{i\omega t}} \\ | ||
& \omega \tau =!=2\pi \Rightarrow \tau =\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{ck}=\frac{\lambda }{c} \\ | & \omega \tau =!=2\pi \Rightarrow \tau =\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{ck}=\frac{\lambda }{c} \\ | ||
Line 60: | Line 56: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes ! | Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes! | ||
Dann gilt: | Dann gilt: | ||
<math>\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\approx \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)}{\partial \left( t-\frac{r}{c} \right)}=\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}{\partial \tau }</math> | :<math>\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\approx \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{r}{c} \right)}{\partial \left( t-\frac{r}{c} \right)}=\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)+\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\frac{\partial \ \bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}{\partial \tau }</math> | ||
Also folgt für das Vektorpotenzial: | Also folgt für das Vektorpotenzial: | ||
Line 72: | Line 68: | ||
Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet: | Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet: | ||
<math>\nabla \cdot \bar{j}\ne 0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{j}\ne 0</math> | ||
: | : | ||
Mit: | Mit: | ||
<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)+{{j}_{k}}</math> | :<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)+{{j}_{k}}</math> | ||
mit der Kontinuitäätsgleichung: | mit der Kontinuitäätsgleichung: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=-\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\ | & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=-\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\ | ||
& \Rightarrow {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)={{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\ | & \Rightarrow {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)={{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \\ | ||
Line 88: | Line 84: | ||
und wegen | und wegen | ||
<math>\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)=0</math> | :<math>\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)=0</math> | ||
(Gauß) | (Gauß) | ||
folgt dann: | folgt dann: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)=0=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( {{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right) \\ | & \int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\left( {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right)=0=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( {{j}_{k}}-{{x}_{k}}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right) \right) \\ | ||
& \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=:\dot{\bar{p}}\left( \tau \right)} \\ | & \Rightarrow \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=:\dot{\bar{p}}\left( \tau \right)} \\ | ||
Line 100: | Line 96: | ||
mit dem elektrischen Dipolmoment: | mit dem elektrischen Dipolmoment: | ||
<math>\bar{p}\left( \tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)</math> | :<math>\bar{p}\left( \tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)</math> | ||
Somit für die erste Ordnung: | Somit für die erste Ordnung: | ||
<math>{{\bar{A}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math> | :<math>{{\bar{A}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math> | ||
<u>'''Elektrische Dipolstrahlung'''</u> | <u>'''Elektrische Dipolstrahlung'''</u> | ||
<u>'''Interpretation: Hertzscher Dipol ( H hertz, 1857-1894)'''</u> | <u>'''Interpretation: Hertzscher Dipol (H hertz, 1857-1894)'''</u> | ||
<math>\bar{p}\left( t \right)=\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega t}}</math> | :<math>\bar{p}\left( t \right)=\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega t}}</math> | ||
<math>\bar{p}</math> | :<math>\bar{p}</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{{\bar{A}}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega \left( t-\frac{r}{c} \right)}}}{r}=\frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{i\left( kr-\omega t \right)}}}{r} \\ | & {{{\bar{A}}}^{(1)}}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega \left( t-\frac{r}{c} \right)}}}{r}=\frac{-i\omega {{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\frac{\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{i\left( kr-\omega t \right)}}}{r} \\ | ||
& k:=\frac{\omega }{c} \\ | & k:=\frac{\omega }{c} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die Kugelwelle ! | Die Kugelwelle! | ||
<u>'''Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:'''</u> | <u>'''Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\ | & \dot{\Phi }\left( \bar{r},t \right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\ | ||
& \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right] \\ | & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\nabla \left[ \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right) \right] \\ | ||
Line 138: | Line 134: | ||
<u>'''1) Fernzone / Wellenzone:'''</u> | <u>'''1) Fernzone / Wellenzone:'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& r>>\lambda >>\left( a \right)\Leftrightarrow kr>>1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r>>1 \\ | & r>>\lambda >>\left( a \right)\Leftrightarrow kr>>1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r>>1 \\ | ||
& \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\bar{p}}\tilde{\ }\frac{\omega }{c}\bar{p}>>\frac{{\bar{p}}}{r} \\ | & \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\bar{p}}\tilde{\ }\frac{\omega }{c}\bar{p}>>\frac{{\bar{p}}}{r} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig !! | In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig!! | ||
Es gilt die Näherung | Es gilt die Näherung | ||
<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math> | :<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math> | ||
<u>'''2) Nahzone: ( quasistatischer Bereich):'''</u> | <u>'''2) Nahzone: (quasistatischer Bereich):'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \lambda >>r>>>\left( a \right) \\ | & \lambda >>r>>>\left( a \right) \\ | ||
& \Leftrightarrow kr<<1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r<<11 \\ | & \Leftrightarrow kr<<1\Leftrightarrow \frac{\omega }{c}r<<11 \\ | ||
Line 159: | Line 155: | ||
Also: | Also: | ||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math> | :<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math> | ||
Dies kann man noch entwickeln nach | Dies kann man noch entwickeln nach | ||
<math>\bar{p}\left( t \right)</math> | :<math>\bar{p}\left( t \right)</math>. | ||
dadurch entstehen Terme: | |||
<math>\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)-\frac{1}{{{r}^{3}}}\frac{r}{c}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math> | :<math>\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)-\frac{1}{{{r}^{3}}}\frac{r}{c}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math> | ||
Diese kompensieren sich gegenseitig. | Diese kompensieren sich gegenseitig. | ||
Also: | Also: | ||
Die Retardierung kompensiert den | Die Retardierung kompensiert den | ||
<math>\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math> | :<math>\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math> | ||
- Term. | - Term. | ||
Wir schreiben: | Wir schreiben: | ||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t \right)</math> | :<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t \right)</math> | ||
in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial ( in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen). | in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial (in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen). | ||
<u>'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung'''</u> | <u>'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung'''</u> | ||
Line 184: | Line 180: | ||
<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math> | :<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\ | & \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\ | ||
& \bar{E}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\dot{\bar{A}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{c}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\ | & \bar{E}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\dot{\bar{A}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{c}^{2}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right) \\ | ||
Line 193: | Line 189: | ||
Es gilt: | Es gilt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{B}\left( \bar{r},t \right)\times \frac{{\bar{r}}}{r}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}=\frac{1}{c}\bar{E}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{B}\left( \bar{r},t \right)\times \frac{{\bar{r}}}{r}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{3}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]\times \bar{r}=\frac{1}{c}\bar{E}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}=\frac{{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}}{4\pi c{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{1}{4\pi {{c}^{3}}{{\varepsilon }_{0}}} \\ | & \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi c}=\frac{{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}}{4\pi c{{\varepsilon }_{0}}}=\frac{1}{4\pi {{c}^{3}}{{\varepsilon }_{0}}} \\ | ||
Line 201: | Line 197: | ||
Fazit: | Fazit: | ||
<math>\bar{r},\bar{E}\left( \bar{r},t \right),\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{r},\bar{E}\left( \bar{r},t \right),\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander ! | bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander! | ||
Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone !! | Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone!! | ||
<u>'''Nebenbemerkung:'''</u> | <u>'''Nebenbemerkung:'''</u> | ||
In der Nahzone gilt immer noch wegen | In der Nahzone gilt immer noch wegen | ||
<math>\nabla \cdot \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=0</math>, | ||
dass r und B senkrecht stehen. | |||
Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente , die zu r senkrecht steht ( transversale Komponente) noch longitudinale Anteile ( E- parallel, die zu r parallel sind). | Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente, die zu r senkrecht steht (transversale Komponente) noch longitudinale Anteile (E- parallel, die zu r parallel sind). | ||
<u>'''Poynting- Vektor ( Energiestromdichte)'''</u> | <u>'''Poynting- Vektor (Energiestromdichte)'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{S}=\bar{E}\times \bar{H}=\frac{-1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \bar{E}=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\bar{B}\times \left( \bar{B}\times \bar{r} \right)=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\left[ \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)\bar{B}-{{B}^{2}}\bar{r} \right] \\ | & \bar{S}=\bar{E}\times \bar{H}=\frac{-1}{{{\mu }_{0}}}\bar{B}\times \bar{E}=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\bar{B}\times \left( \bar{B}\times \bar{r} \right)=\frac{-c}{{{\mu }_{0}}r}\left[ \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)\bar{B}-{{B}^{2}}\bar{r} \right] \\ | ||
& \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)=0 \\ | & \left( \bar{B}\cdot \bar{r} \right)=0 \\ | ||
Line 221: | Line 217: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right)</math> | :<math>\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi }\nabla \times \frac{1}{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi c}\frac{1}{{{r}^{2}}}\left[ \ddot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r} \right]+O\left( \frac{1}{{{r}^{2}}} \right)</math> | ||
Line 228: | Line 224: | ||
entspricht | entspricht | ||
<math>l=1,m=0</math> | :<math>l=1,m=0</math> | ||
Line 234: | Line 230: | ||
Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols: | Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{p}(t)={{{\bar{p}}}_{0}}{{e}^{-i\omega t}} \\ | & \bar{p}(t)={{{\bar{p}}}_{0}}{{e}^{-i\omega t}} \\ | ||
& {{\left| {\ddot{\bar{p}}} \right|}^{2}}={{{\bar{p}}}_{0}}^{2}{{\omega }^{4}} \\ | & {{\left| {\ddot{\bar{p}}} \right|}^{2}}={{{\bar{p}}}_{0}}^{2}{{\omega }^{4}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig !! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt ! | Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig!! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt! | ||
Nebenbemerkung: | Nebenbemerkung: | ||
Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne | Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne | ||
Line 246: | Line 242: | ||
Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von | Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von | ||
<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | :<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | ||
(mit der Coulomb- Eichung | (mit der Coulomb- Eichung | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>) | ||
mit den Randbedingungen | mit den Randbedingungen | ||
<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math> | :<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math> | ||
für | für r→ unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte: | ||
Taylorentwicklung nach | Taylorentwicklung nach | ||
<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | :<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | ||
von analog zum elektrischen Fall: | von analog zum elektrischen Fall: | ||
Die Stromverteilung | Die Stromverteilung | ||
<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math> | :<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })</math> | ||
sei stationär für | sei stationär für | ||
<math>r>>r\acute{\ }</math> | :<math>r>>r\acute{\ }</math> | ||
<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math> | :<math>\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{{{r}^{3}}}\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math> | ||
<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math> | :<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi r}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })+\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)+...</math> | ||
'''Monopol- Term''' | '''Monopol- Term''' | ||
Line 271: | Line 267: | ||
'''Mit''' | '''Mit''' | ||
<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math> | :<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{x}_{k}}\acute{\ }\left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right)+\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)</math> | ||
Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung: | Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung: | ||
<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math> | :<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ })=0</math> | ||
<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math> | :<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\cdot \left( {{\nabla }_{r\acute{\ }}}{{x}_{k}}\acute{\ } \right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}</math> | ||
Mit | Mit | ||
<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math> | :<math>{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]={{j}_{k}}</math> | ||
folgt dann: | folgt dann: | ||
<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math> | :<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{j}_{k}}(\bar{r}\acute{\ })=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=\oint\limits_{S\infty }{d\bar{f}}\left[ {{x}_{k}}\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \right]=0</math> | ||
Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie. | Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie. | ||
Line 289: | Line 285: | ||
Also: Falls | Also: Falls | ||
<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )</math> | :<math>\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )</math> | ||
quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A: | quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A: | ||
Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung: | Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho (\bar{r}\acute{\ },\tau )=0 \\ | & {{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho (\bar{r}\acute{\ },\tau )=0 \\ | ||
& \Rightarrow \dot{\bar{p}}(\tau )=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }=0 \\ | & \Rightarrow \dot{\bar{p}}(\tau )=\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{r}\acute{\ }\dot{\rho }=0 \\ | ||
Line 299: | Line 295: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung ( In der Hertzschen Dipol- Näherung) | Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung (In der Hertzschen Dipol- Näherung) | ||
<u>'''Beispiel: '''</u>geschlossene Leiterschleife ( sogenannte Rahmenantenne): | <u>'''Beispiel: '''</u>geschlossene Leiterschleife (sogenannte Rahmenantenne): | ||
Mit | Mit | ||
<math>I(t)={{I}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}</math> | :<math>I(t)={{I}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}</math> | ||
<u>'''2. Ordnung:'''</u> | <u>'''2. Ordnung:'''</u> | ||
<math>{{\bar{A}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )}</math> | :<math>{{\bar{A}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\bar{j}(\bar{r}\acute{\ },\tau )}</math> | ||
Mit | Mit | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{2}\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right] \\ | & \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)=\frac{1}{2}\left( \bar{r}\acute{\ }\times \bar{j} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{2}\left[ \left( \bar{r}\bar{r}\acute{\ } \right)\bar{j}+\left( \bar{r}\bar{j} \right)\bar{r}\acute{\ } \right] \\ | ||
& und \\ | & und \\ | ||
Line 323: | Line 319: | ||
Dann folgt integriert: | Dann folgt integriert: | ||
Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden ( vergl. S. 15, Elektrostatik): | Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden (vergl. S. 15, Elektrostatik): | ||
<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}\left( 3\bar{r}\acute{\ }\otimes \bar{r}\acute{\ }-r{{\acute{\ }}^{2}}\bar{\bar{1}} \right)=:\tilde{\bar{\bar{Q}}}-\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math> | :<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}\left( 3\bar{r}\acute{\ }\otimes \bar{r}\acute{\ }-r{{\acute{\ }}^{2}}\bar{\bar{1}} \right)=:\tilde{\bar{\bar{Q}}}-\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math> | ||
Falls | Falls | ||
<math>\tilde{Q}\left( \tau \right)</math> | :<math>\tilde{Q}\left( \tau \right)</math> | ||
oszilliert ( sogenannter "breathing mode"), gibt | oszilliert (sogenannter "breathing mode"), gibt | ||
<math>\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math> | :<math>\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math> | ||
keinen Beitrag zu | keinen Beitrag zu | ||
<math>\bar{E},\bar{B}</math> | :<math>\bar{E},\bar{B}</math> | ||
* verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen | * verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen | ||
<u>''' | <u>'''→'''</u> | ||
<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}=3\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}\bar{r}\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r} \right)</math> | :<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}=3\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}\bar{r}\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r} \right)</math> | ||
'''Also:''' | '''Also:''' | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{{\bar{A}}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\left[ \bar{m}\left( \tau \right)\times \bar{r}+\frac{1}{6}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r} \right] \\ | & {{{\bar{A}}}^{(2)}}\left( \bar{r},t \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\left( 1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau } \right)\left[ \bar{m}\left( \tau \right)\times \bar{r}+\frac{1}{6}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r} \right] \\ | ||
& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\left( \frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}+\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r} \right) \\ | & =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\left( \frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}+\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r} \right) \\ | ||
Line 352: | Line 348: | ||
Mit der magnetischen Dipolstrahlung | Mit der magnetischen Dipolstrahlung | ||
<math>\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}</math> | :<math>\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\times \bar{r}</math> | ||
und elektrischer Quadrupolstrahlung | und elektrischer Quadrupolstrahlung | ||
<math>\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}</math> | :<math>\frac{1}{6{{r}^{3}}}\dot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}+\frac{1}{6c{{r}^{2}}}\ddot{\bar{\bar{Q}}}\left( \tau \right)\cdot \bar{r}</math> | ||
Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe | Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe | ||
<math>\nabla \times \frac{1}{r}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}</math> | :<math>\nabla \times \frac{1}{r}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)=\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{m}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}+\frac{1}{c{{r}^{2}}}\dot{\bar{m}}\left( t-\frac{r}{c} \right)\times \bar{r}</math> | ||
schreiben als: | schreiben als: | ||
Line 369: | Line 365: | ||
'''Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung''' | '''Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung''' | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{4\pi }\nabla \cdot \left( \nabla \times \frac{1}{r}\bar{m} \right)\equiv 0 \\ | & \frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-{{c}^{2}}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{4\pi }\nabla \cdot \left( \nabla \times \frac{1}{r}\bar{m} \right)\equiv 0 \\ | ||
& \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( {\bar{r}} \right)=!=0 \\ | & \Rightarrow \Phi \left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( {\bar{r}} \right)=!=0 \\ | ||
Line 383: | Line 379: | ||
Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung | Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung | ||
<math>\frac{q}{m}</math> | :<math>\frac{q}{m}</math> ist <math>\bar{p}\tilde{\ }\bar{R}</math> | ||
ist | |||
<math>\bar{p}\tilde{\ }\bar{R}</math> | |||
(Schwerpunkt) | (Schwerpunkt) | ||
und | und | ||
<math>\bar{m}\tilde{\ }\bar{L}</math> | :<math>\bar{m}\tilde{\ }\bar{L}</math> | ||
( Gesamtdrehimpuls) | (Gesamtdrehimpuls) | ||
<math>\Rightarrow \dot{\bar{p}}=\dot{\bar{m}}=0</math> | :<math>\Rightarrow \dot{\bar{p}}=\dot{\bar{m}}=0</math> | ||
In diesem Fall ( vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich | In diesem Fall (vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich | ||
vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung | vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung |
Latest revision as of 00:22, 13 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Multipolstrahlung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=3}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
Ziel:
Die retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.
Voraussetzung: Lorentz- Eichung
Somit kann aus
und somit auch
berechnet werden.
- Näherung:
r>>a (Ausdehnung der Quelle)
Mit
folgt:
Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt!
- Näherung
Diese Näherung sollte gut sein, falls
Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander!
a~ Ausdehnung der Quelle
ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von
Beispielsweise: harmonische Erregung:
Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes!
Dann gilt:
Also folgt für das Vektorpotenzial:
Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:
Mit:
mit der Kontinuitäätsgleichung:
und wegen
(Gauß)
folgt dann:
mit dem elektrischen Dipolmoment:
Somit für die erste Ordnung:
Elektrische Dipolstrahlung
Interpretation: Hertzscher Dipol (H hertz, 1857-1894)
Die Kugelwelle!
Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:
Grenzfälle:
1) Fernzone / Wellenzone:
In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig!!
Es gilt die Näherung
2) Nahzone: (quasistatischer Bereich):
Also:
Dies kann man noch entwickeln nach
dadurch entstehen Terme:
Diese kompensieren sich gegenseitig. Also: Die Retardierung kompensiert den
- Term.
Wir schreiben:
in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial (in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).
Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung
Es gilt:
F Fazit:
bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander! Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone!!
Nebenbemerkung: In der Nahzone gilt immer noch wegen
dass r und B senkrecht stehen.
Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente, die zu r senkrecht steht (transversale Komponente) noch longitudinale Anteile (E- parallel, die zu r parallel sind).
Poynting- Vektor (Energiestromdichte)
Also:
entspricht
Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:
Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig!! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt! Nebenbemerkung: Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne
Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung
Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von
(mit der Coulomb- Eichung
mit den Randbedingungen
für r→ unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:
Taylorentwicklung nach
von analog zum elektrischen Fall: Die Stromverteilung
sei stationär für
Monopol- Term
Mit
Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
Mit
folgt dann:
Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.
Also: Falls
quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A: Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:
Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung (In der Hertzschen Dipol- Näherung)
Beispiel: geschlossene Leiterschleife (sogenannte Rahmenantenne):
Mit
2. Ordnung:
Mit
Kontinuitätsgleichung Dann folgt integriert:
Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden (vergl. S. 15, Elektrostatik):
Falls
oszilliert (sogenannter "breathing mode"), gibt
keinen Beitrag zu
- verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen
→
Also:
Mit der magnetischen Dipolstrahlung
und elektrischer Quadrupolstrahlung
Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe
schreiben als:
Die magnetische Dipolstrahlung
Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung
O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt
Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:
das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung
Nebenbemerkung
Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung
(Schwerpunkt) und
(Gesamtdrehimpuls)
In diesem Fall (vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich
vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung