Eichinvarianz: Difference between revisions
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Die Felder | Die Felder | ||
<math>\bar{E},\bar{B}</math> | :<math>\bar{E},\bar{B}</math> | ||
werden durch die Potenziale | werden durch die Potenziale | ||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
dargestellt.: | dargestellt.: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 14: | Line 14: | ||
Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation | Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Phi \left( \bar{r},t \right)\to \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | & \Phi \left( \bar{r},t \right)\to \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\to \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
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Also: | Also: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\nabla \Phi \acute{\ }\left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\nabla \times \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 34: | Line 34: | ||
Mit | Mit | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& F\left( \bar{r},t \right):=G\left( \bar{r},t \right)-\int_{to}^{t}{dt\acute{\ }g(t\acute{\ })} \\ | & F\left( \bar{r},t \right):=G\left( \bar{r},t \right)-\int_{to}^{t}{dt\acute{\ }g(t\acute{\ })} \\ | ||
& \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla F\left( \bar{r},t \right) \\ | & \Rightarrow \bar{A}\acute{\ }\left( \bar{r},t \right)=\bar{A}\left( \bar{r},t \right)+\nabla F\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 41: | Line 41: | ||
mit eine völlig beliebigen Eichfunktion | mit eine völlig beliebigen Eichfunktion | ||
<math>F\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>F\left( \bar{r},t \right)</math>. | ||
Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein ! Aber nicht nur | Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein! Aber nicht nur | ||
<math>\bar{E},\bar{B}</math> | :<math>\bar{E},\bar{B}</math> | ||
sondern auch | sondern auch | ||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\Phi \left( \bar{r},t \right),\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
sind physikalisch relevant. | sind physikalisch relevant. | ||
So muss auch | So muss auch | ||
<math>\oint\limits_{\partial F}{d\bar{s}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)}</math> | :<math>\oint\limits_{\partial F}{d\bar{s}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\int_{F}^{{}}{d\bar{f}\bar{B}\left( \bar{r},t \right)=\Phi \left( \bar{r},t \right)}</math> | ||
erfüllt sein. | erfüllt sein. | ||
Line 55: | Line 55: | ||
Durch | Durch | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
& \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | & \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \\ | ||
Line 62: | Line 62: | ||
sind die '''homogenen '''Maxwellgleichungen bereits erfüllt: | sind die '''homogenen '''Maxwellgleichungen bereits erfüllt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \nabla \times \bar{E}=-\nabla \times \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ | & \nabla \times \bar{E}=-\nabla \times \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{B} \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{B}=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\ | & \nabla \cdot \bar{B}=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=0 \\ | ||
Line 69: | Line 69: | ||
Auch die Umkehrung gilt: | Auch die Umkehrung gilt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | & \nabla \cdot \bar{B}=0 \\ | ||
& \Rightarrow \exists \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B} \\ | & \Rightarrow \exists \bar{A}\left( \bar{r},t \right)\Rightarrow \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=\bar{B} \\ | ||
Line 79: | Line 79: | ||
Ziel: Entkopplung der DGLs für | Ziel: Entkopplung der DGLs für | ||
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right),\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right),\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | ||
: | : | ||
# <u>'''Lorentz- Eichung:'''</u> | # <u>'''Lorentz- Eichung:'''</u> | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math> | ||
Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: | Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: | ||
1) | 1) | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& -\nabla \cdot \bar{E}=\nabla \cdot \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | & -\nabla \cdot \bar{E}=\nabla \cdot \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | ||
& \Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | & \Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | ||
Line 95: | Line 95: | ||
Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu | Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu | ||
<math>\Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | :<math>\Delta \Phi \left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | ||
'''Für A:''' | '''Für A:''' | ||
2) | 2) | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\bar{j} \\ | & \frac{1}{{{\mu }_{0}}}\nabla \times \bar{B}-{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}=\bar{j} \\ | ||
& \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)={{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | & \Rightarrow \nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)+\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right) \right)={{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | ||
Line 108: | Line 108: | ||
Was mit der Lorentz- Eichung | Was mit der Lorentz- Eichung | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right)=0</math> | ||
wird zu | wird zu | ||
<math>\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}</math> | :<math>\Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}</math> | ||
Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit | Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit | ||
<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}</math> | :<math>\#:=\Delta -\frac{1}{{{c}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}</math> | ||
zusammengefasst werden: | zusammengefasst werden: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | & \#\Phi \left( \bar{r},t \right)=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | ||
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale ( entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) | Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale (entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) | ||
Es ergibt sich im SI- System: | Es ergibt sich im SI- System: | ||
<math>\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}\frac{m}{s}</math> | :<math>\frac{1}{\sqrt{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}:=c=2,994\cdot {{10}^{8}}\frac{m}{s}</math> | ||
als Lichtgeschwindigkeit | als Lichtgeschwindigkeit | ||
Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum ! | Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum! | ||
<u>'''Coulomb- Eichung'''</u> | <u>'''Coulomb- Eichung'''</u> | ||
( sogenannte Strahlungseichung): | (sogenannte Strahlungseichung): | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | ||
Vergleiche Kapitel 2.3 ( Magnetostatik): | Vergleiche Kapitel 2.3 (Magnetostatik): | ||
Für | Für | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \dot{\bar{D}}=0 \\ | & \dot{\bar{D}}=0 \\ | ||
& \Rightarrow \nabla \times \bar{B}=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)-\Delta \bar{A}={{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | & \Rightarrow \nabla \times \bar{B}=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A} \right)-\Delta \bar{A}={{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | ||
Line 153: | Line 153: | ||
Allgemein kann man | Allgemein kann man | ||
<math>\bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{E}=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
in ein wirbelfreies Longitudinalfeld: | in ein wirbelfreies Longitudinalfeld: | ||
<math>{{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>{{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | ||
und ein quellenfreies Transversalfeld | und ein quellenfreies Transversalfeld | ||
<math>{{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>{{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
zerlegen. | zerlegen. | ||
Line 167: | Line 167: | ||
Tatsächlich gilt: | Tatsächlich gilt: | ||
<math>\nabla \times {{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \times \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=0</math> | :<math>\nabla \times {{\bar{E}}_{l}}:=-\nabla \times \left( \nabla \Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=0</math> | ||
<math>\nabla \cdot {{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | :<math>\nabla \cdot {{\bar{E}}_{t}}=-\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | ||
Da | Da | ||
<math>\bar{B}</math> | :<math>\bar{B}</math> | ||
quellenfrei ist, ist B auch immer transversal: | quellenfrei ist, ist B auch immer transversal: | ||
<math>\nabla \cdot \bar{B}:=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A} \right)=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{B}:=\nabla \cdot \left( \nabla \times \bar{A} \right)=0</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)</math> | ||
ergibt die longitudinalen Felder und | ergibt die longitudinalen Felder und | ||
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | ||
die transversalen Felder. | die transversalen Felder. | ||
Merke: Felder , die Rotation eines Vektorfeldes sind ( Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder ( als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal ! ( Rotation verschwindet). | Merke: Felder, die Rotation eines Vektorfeldes sind (Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder (als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal! (Rotation verschwindet). | ||
<u>'''Zerlegung der Stromdichte:'''</u> | <u>'''Zerlegung der Stromdichte:'''</u> | ||
<math>\bar{j}={{\bar{j}}_{l}}+{{\bar{j}}_{t}}</math> | :<math>\bar{j}={{\bar{j}}_{l}}+{{\bar{j}}_{t}}</math> mit <math>\nabla \times {{\bar{j}}_{l}}=0</math> | ||
mit | |||
<math>\nabla \times {{\bar{j}}_{l}}=0</math> | |||
<math>\nabla \cdot {{\bar{j}}_{t}}=0</math> | :<math>\nabla \cdot {{\bar{j}}_{t}}=0</math> | ||
Mit | Mit | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{\partial }{\partial t}\rho +\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{l}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\ | & \frac{\partial }{\partial t}\rho +\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{l}}+\nabla \cdot {{{\bar{j}}}_{t}}=0 \\ | ||
& \rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{{\bar{E}}}_{l}} \\ | & \rho ={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {{{\bar{E}}}_{l}} \\ | ||
Line 208: | Line 204: | ||
Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal: | Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal: | ||
<math>\nabla \times \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math> | :<math>\nabla \times \left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=const</math> | :<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=const</math> | ||
Da beide Felder aber für | Da beide Felder aber für r→ 0 verschwinden folgt: | ||
<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math> | :<math>\left( {{{\bar{j}}}_{l}}+{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{E}}}_{l}} \right)=0</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>{{\bar{j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \frac{\partial \Phi }{\partial t}</math> | :<math>{{\bar{j}}_{l}}={{\varepsilon }_{0}}\nabla \frac{\partial \Phi }{\partial t}</math> | ||
Also: | Also: | ||
Die Feldgleichungen | Die Feldgleichungen | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Delta \Phi +\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | & \Delta \Phi +\frac{\partial }{\partial t}\nabla \cdot \bar{A}=-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{A}=0 \\ | & \nabla \cdot \bar{A}=0 \\ | ||
& \Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | & \Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> und <math>\begin{align} | ||
und | |||
<math>\begin{align} | |||
& \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | & \Delta \bar{A}\left( \bar{r},t \right)-{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{t}^{2}}}\bar{A}\left( \bar{r},t \right)-\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi \left( \bar{r},t \right) \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j} \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\ | & \nabla \cdot \bar{A}\left( \bar{r},t \right)=0 \\ | ||
Line 241: | Line 233: | ||
erhalten dann die Form: | erhalten dann die Form: | ||
<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | :<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> und <math>\begin{align} | ||
und | |||
<math>\begin{align} | |||
& \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{{\bar{j}}}_{t}} \\ | & \#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{{\bar{j}}}_{t}} \\ | ||
& \\ | & \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
In der Coulomb- Eichung ! | In der Coulomb- Eichung! | ||
Also. | Also. | ||
<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | :<math>\Delta \Phi =-\frac{\rho }{{{\varepsilon }_{0}}}</math> | ||
: longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik | : longitudinale Felder entsprechend der Elektrostatik | ||
<math>\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{t}}</math> | :<math>\#\bar{A}\left( \bar{r},t \right)=-{{\mu }_{0}}{{\bar{j}}_{t}}</math> | ||
als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen. | als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen. | ||
Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen ! | Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen! | ||
Sie liefert eine Poissongleichung für | Sie liefert eine Poissongleichung für | ||
<math>\Phi </math> | :<math>\Phi </math> | ||
und eine Wellengleichung für | und eine Wellengleichung für | ||
<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math> | :<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)</math>. | ||
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Latest revision as of 00:15, 13 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Eichinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 6) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=6}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
Die Felder
werden durch die Potenziale
dargestellt.:
Dabei drängt sich die Frage auf, welche die allgemeinste Transformation
ist, welche die Felder E und B unverändert läßt.
Also:
Mit
mit eine völlig beliebigen Eichfunktion
Alle physikalischen Aussagen müssen invariant sein! Aber nicht nur
sondern auch
sind physikalisch relevant. So muss auch
erfüllt sein.
Dies ist gewährleistet, wenn die Maxwellgleichungen erfüllt sind. Durch
sind die homogenen Maxwellgleichungen bereits erfüllt:
Auch die Umkehrung gilt:
Wähle nun eine Eichung derart, dass die inhomogenen Maxwellgleichungen besonders einfach werden
Ziel: Entkopplung der DGLs für
- Lorentz- Eichung:
Genau dadurch werden die Feldgleichungen entkoppelt: 1)
Was mit Hilfe der Lorentzeichung wird zu
Für A: 2)
Was mit der Lorentz- Eichung
wird zu
Dies kann in Viererschreibweise mit dem dÁlembertschen Operator # mit
zusammengefasst werden:
Dies sind die inhomogenen Wellengleichungen für die Potenziale (entkoppelt mittels Lorentz- Eichung) Es ergibt sich im SI- System:
als Lichtgeschwindigkeit
Dies ist einfach die ermittelte Ausbreitungsgeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen im Vakuum!
Coulomb- Eichung
(sogenannte Strahlungseichung):
Vergleiche Kapitel 2.3 (Magnetostatik): Für
(Poissongleichung der Magnetostatik)
Zerlegung in longitudinale und transversale Anteile :
Allgemein kann man
in ein wirbelfreies Longitudinalfeld:
und ein quellenfreies Transversalfeld
zerlegen.
Tatsächlich gilt:
Da
quellenfrei ist, ist B auch immer transversal:
Also:
ergibt die longitudinalen Felder und
die transversalen Felder.
Merke: Felder, die Rotation eines Vektorfeldes sind (Vektorpotenzials) sind grundsätzlich transversaler Natur. (Divergenz verschwindet). Divergenzfelder (als Gradienten eines Skalars) sind immer longitudinal! (Rotation verschwindet).
Zerlegung der Stromdichte:
Mit
Außerdem gilt nach der Definition von longitudinal:
Also:
Da beide Felder aber für r→ 0 verschwinden folgt:
Also:
Also: Die Feldgleichungen
erhalten dann die Form:
In der Coulomb- Eichung! Also.
als transversale Felder entsprechend elektromagnetischen Wellen.
Das bedeutet : Die Coulombeichung ist zweckmäßig bei Strahlungsproblemen!
Sie liefert eine Poissongleichung für
und eine Wellengleichung für