Magnetostatische Feldgleichungen: Difference between revisions
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Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !! | Sie gelten auch in {{FB|quasistaischer Näherung}}: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche!! | ||
Mit dem Vektorpotenzial | Mit dem {{FB|Vektorpotenzial}} | ||
<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | :<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | ||
Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß | Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß | ||
<math>\bar{A}(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi </math> | :<math>\bar{A}(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi </math> | ||
umgeeicht werden kann. | umgeeicht werden kann.(<math>\Psi (\bar{r})</math> beliebig möglich, da <math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math>) | ||
( | |||
<math>\Psi (\bar{r})</math> | |||
beliebig möglich, da | |||
<math>\nabla \times \nabla \Psi =0</math> | |||
Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben: | Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben: | ||
<math>\bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | :<math>\bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | ||
Beweis: | Beweis: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\ | & rot\bar{A}(\bar{r})=\nabla \times \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}\times \bar{j}(\bar{r}\acute{\ }) \\ | ||
& {{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\ | & {{\nabla }_{r}}\frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=-\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{{{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}^{3}}} \\ | ||
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Es existiert ein Vektorpotenzial mit | Es existiert ein Vektorpotenzial mit | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r}) \\ | & \bar{B}=rot\bar{A}(\bar{r}) \\ | ||
& \Leftrightarrow \\ | & \Leftrightarrow \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>div\bar{B}=0</math> | :<math>div\bar{B}=0</math> | ||
Beweis: | Beweis: | ||
<math>div(rot\bar{A}(\bar{r}))=0</math> | :<math>div(rot\bar{A}(\bar{r}))=0</math> | ||
es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen". | es gibt '''keine Quellen der magnetischen Induktion''' (es existieren keine "magnetischen Ladungen". | ||
Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. ( aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !) | Aber: {{FB|Magnetische Monopole}} wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. (aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses!) | ||
Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen ! | Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen! | ||
Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten | Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten <math>{{10}^{-35}}s</math> erzeugt worden sein sollen. | ||
<math>{{10}^{-35}}s</math> | |||
erzeugt worden sein sollen. | |||
Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.) | Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 (Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.) | ||
'''Der Zusammenhang zwischen''' | '''Der Zusammenhang zwischen''' <math>\bar{B}(\bar{r})</math> und <math>\bar{j}(\bar{r})</math>: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r}) \\ | & \nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \times \left( \nabla \times \bar{A}(\bar{r}) \right)=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r}) \\ | ||
& \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=\nabla \cdot \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | & \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=\nabla \cdot \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\nabla }_{r}}\cdot \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | ||
Line 67: | Line 57: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt ! | Wobei die verwendete {{FB|Kontinuitätsgleichung}} natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt! | ||
Im Allgemeinen Fall gilt dagegen: | Im Allgemeinen Fall gilt dagegen: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-\frac{\partial }{\partial t}\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | & \Rightarrow \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\nabla }_{r\acute{\ }}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)-\frac{\partial }{\partial t}\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \\ | ||
& \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\Phi (\bar{r},t) \\ | & \frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ },t)}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\Phi (\bar{r},t) \\ | ||
Line 77: | Line 67: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Mit dem Gaußschen Satz. | Mit dem {{FB|Gaußschen Satz}}. | ||
Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt: | Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt: | ||
<math>\oint\limits_{S\infty }{{}}{{d}^{3}}\bar{f}\acute{\ }\left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=0</math> | :<math>\oint\limits_{S\infty }{{}}{{d}^{3}}\bar{f}\acute{\ }\left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=0</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi (\bar{r},t)</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=-{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\Phi (\bar{r},t)</math> | ||
Also: | Also: | ||
<math>\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math> | :<math>\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)={{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math> | ||
Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach | Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \Delta \bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\ | & \Delta \bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ }){{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right) \\ | ||
& =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | & =\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> wegen <math>{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=4\pi \delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math> | ||
wegen | |||
<math>{{\Delta }_{r}}\cdot \left( \frac{1}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|} \right)=4\pi \delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math> | |||
Also: | Also: | ||
<math>\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})+{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math> | :<math>\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\nabla \left( \nabla \cdot \bar{A}(\bar{r}) \right)-\Delta \bar{A}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})+{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)</math> | ||
Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt: | Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | & \nabla \times \bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | ||
& {{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)=0 \\ | & {{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}\frac{\partial }{\partial t}\bar{E}(\bar{r},t)=0 \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes | Dies ist die differenzielle Form des {{FB|Ampereschen Gesetzes}}. | ||
Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !! | |||
Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion!! | |||
Integration über eine Fläche F mit Rand | Integration über eine Fläche F mit Rand <math>\partial F</math> liefert die Intgralform: | ||
<math>\partial F</math> | |||
liefert die Intgralform: | |||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\ | & \int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }\nabla \times \bar{B}(\bar{r})=\oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{d\bar{f}\cdot }{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\ | ||
& \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\ | & \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\bar{B}(\bar{r})={{\mu }_{0}}I \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Mit dem Satz von Stokes | Mit dem {{FB|Satz von Stokes}} | ||
Das sogenannte Durchflutungsgesetz ! | Das sogenannte {{FB|Durchflutungsgesetz}}! | ||
==Zusammenfassung== | |||
===Magnetostatik=== | |||
<math>div\bar{B}=0\Leftrightarrow \bar{B}=rot\bar{A}</math> | :<math>div\bar{B}=0\Leftrightarrow \bar{B}=rot\bar{A}</math> (quellenfreiheit) | ||
( quellenfreiheit) | |||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& rot\bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})\Leftrightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{B}={{\mu }_{0}}I \\ | & rot\bar{B}={{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r})\Leftrightarrow \oint\limits_{\partial F}{{}}d\bar{s}\cdot \bar{B}={{\mu }_{0}}I \\ | ||
& \Rightarrow \Delta \bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | & \Rightarrow \Delta \bar{A}=-{{\mu }_{0}}\bar{j}(\bar{r}) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung: | Gilt jedoch nur im Falle der {{FB|Coulomb-Eichung}}: | ||
<math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math> | :<math>\nabla \cdot \bar{A}=0</math> | ||
Dies geschieht durch die Umeichung | Dies geschieht durch die Umeichung | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi \\ | & \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \bar{A}+\nabla \Psi \\ | ||
& \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A}+\nabla \times \nabla \Psi \\ | & \nabla \times \bar{A}\acute{\ }(\bar{r})\to \nabla \times \bar{A}+\nabla \times \nabla \Psi \\ | ||
Line 153: | Line 137: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
===Elektrostatik=== | |||
<math>rot\bar{E}=0\Leftrightarrow \bar{E}=-\nabla \Phi </math> | :<math>rot\bar{E}=0\Leftrightarrow \bar{E}=-\nabla \Phi </math> (Wirbelfreiheit) | ||
( Wirbelfreiheit) | |||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\ | & {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}=\rho \\ | ||
& \Leftrightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}=Q \\ | & \Leftrightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}=Q \\ | ||
Line 164: | Line 147: | ||
differenzielle Form / integrale Form | differenzielle Form / integrale Form | ||
<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math> | :<math>\Rightarrow \Delta \Phi =-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left( {\bar{r}} \right)</math> ({{FB|Poissongleichung}}) | ||
( Poissongleichung) |
Latest revision as of 12:06, 16 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Magnetostatische Feldgleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=3}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__
Sie gelten auch in quasistaischer Näherung{{#set:Fachbegriff=quasistaischer Näherung|Index=quasistaischer Näherung}}: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche!!
Mit dem Vektorpotenzial{{#set:Fachbegriff=Vektorpotenzial|Index=Vektorpotenzial}}
Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß
umgeeicht werden kann.( beliebig möglich, da )
Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben:
Beweis:
Folgende Aussagen sind äquivalent: Es existiert ein Vektorpotenzial mit
Beweis:
es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion (es existieren keine "magnetischen Ladungen".
Aber: Magnetische Monopole{{#set:Fachbegriff=Magnetische Monopole|Index=Magnetische Monopole}} wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. (aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses!) Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen! Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten erzeugt worden sein sollen.
Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 (Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.) Der Zusammenhang zwischen und :
Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung{{#set:Fachbegriff=Kontinuitätsgleichung|Index=Kontinuitätsgleichung}} natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt!
Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:
Mit dem Gaußschen Satz{{#set:Fachbegriff=Gaußschen Satz|Index=Gaußschen Satz}}. Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt:
Also:
Also:
Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach
Also:
Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt:
Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes{{#set:Fachbegriff=Ampereschen Gesetzes|Index=Ampereschen Gesetzes}}.
Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion!!
Integration über eine Fläche F mit Rand liefert die Intgralform:
Mit dem Satz von Stokes{{#set:Fachbegriff=Satz von Stokes|Index=Satz von Stokes}} Das sogenannte Durchflutungsgesetz{{#set:Fachbegriff=Durchflutungsgesetz|Index=Durchflutungsgesetz}}!
Zusammenfassung[edit | edit source]
Magnetostatik[edit | edit source]
Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb-Eichung{{#set:Fachbegriff=Coulomb-Eichung|Index=Coulomb-Eichung}}:
Dies geschieht durch die Umeichung
Elektrostatik[edit | edit source]
differenzielle Form / integrale Form
- (Poissongleichung{{#set:Fachbegriff=Poissongleichung|Index=Poissongleichung}})