Stabilität und Langzeitverhalten

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Stabilität und Langzeitverhalten basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 2) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Hier soll eine allgemeinere Definition von Stabilität gegeben werden.

Fixpunkte

${\bar {x}}*$

des autonomen dynamischen Systems

Definition:

${\bar {x}}*$

heißt stabil (auch : Ljapunov- stabil), wenn zu jeder Umgebung U von

${\bar {x}}*$

eine Umgebung V von

${\bar {x}}*$

existiert, so dass:

${\bar {x}}\in V\Rightarrow \varphi ({\bar {x}},t)\in U\quad \forall t\geq 0$

Definition:

${\bar {x}}*$

heißt asymptotisch stabil (auch : Ljapunov- stabil), wenn zu

${\bar {x}}*$

eine Umgebung U und eine Umgebung U´ von

${\bar {x}}*$

existiert, so dass:

$\varphi (U,{{t}_{2}})\in U{\acute {\ }}\subset \varphi (U,{{t}_{1}})\in U\quad f{\ddot {u}}r\ {{t}_{2}}>{{t}_{1}}\geq 0$ und ${\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\varphi ({\bar {x}},t)={\bar {x}}*\quad \forall {\bar {x}}\in U$

Das heißt anschaulich: Die Umgebung U schrumpft mit wachsendem t auf

${\bar {x}}*$

zusammen. Das heißt: Phasenraumvolumina schrumpfen.

asymptotisch stabile Fixpunkte treten somit nur in nicht hamiltonschen Systemen (also bei nicht alleine konservativen Kräften) auf. (Vergl. Kapitel 4.5: Satz von Liouville)

Def.: Ein dynamisches System heißt dissipativ, wenn Phasenraumvolumina schrumpfen.

Lokales Kriterium für Stabilität

Wenn

${\bar {x}}*$

stabil ist, dann hat keiner der Eigenwerte der Jacobimatrix

${{(DF)}_{{\bar {x}}*}}$

einen positiven Realteil

Beispiel: Fixpunkt a) des Pendels mit / ohne Reibung, also der Fixpunkt mit Winkel und Ort =0, x1=x2=0

Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität:

Alle Eigenwerte haben negative Realteile

Somit wird die Lösung für die Störung für unendliche Zeit beliebig klein und divergiert nicht. Imaginärteile sind oszillierend und damit irrelevant für die Stabilität. Sie geben an, in welcher Zeit die Annäherung an den Fixpunkt (falls vorhanden) erfolgt.

Beispiel für Instabilität: Fixpunkte b)

Allgemeines System mit n=2:

Linearisierung

${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}\delta {{\dot {x}}_{1}}\\\delta {{\dot {x}}_{2}}\\\end{matrix}}\right)=A\left({\begin{matrix}\delta {{x}_{1}}\\\delta {{x}_{2}}\\\end{matrix}}\right)\\&\left({\begin{matrix}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}\\\end{matrix}}\right):=A\\\end{aligned}}$

Eigenwertgleichung:

$\det(A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left|\left({\begin{matrix}{{a}_{11}}-\lambda &{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}-\lambda \\\end{matrix}}\right)\right|=\left({{a}_{11}}-\lambda \right)\left({{a}_{22}}-\lambda \right)-{{a}_{12}}{{a}_{21}}={{\lambda }^{2}}-\lambda \mathbf {t} rA+\det A=0$

Somit:

${{\lambda }_{1/2}}={\frac {1}{2}}\left(trA\pm {\sqrt {{{\left(trA\right)}^{2}}-4\det A}}\right)$ mit $trA=\sum \limits _{i}{{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{i}}}}=div{\bar {F}}}$

Fallunterscheidung

Stabiler Fokus (Strudelpunkt)

detA>0

trA<0

${{\left(trA\right)}^{2}}<4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}=-{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\&{{\lambda }_{0}},\omega >0\\\end{aligned}}$

Dies ist eine gedämpfte Schwingung im Phasenraum. Die Phasenraumkruve ist eine elliptische Spirale:

Instabiler Fokus

detA>0

trA>0

${{\left(trA\right)}^{2}}<4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}=+{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\&{{\lambda }_{0}},\omega >0\\\end{aligned}}$

Dies ist eine entdämpfte Schwingung. Die Phasenraumkurve ist ebenfalls eine elliptische Spirale, die jedoch in positiver Zeitrichtung nach Außen durchlaufen wird. Damit tr A >0 muss dem System von Außen zugeführt werden (Beispiel: "negative Reibung"):

Stabiler Knoten

detA>0

trA<0

${{\left(trA\right)}^{2}}>4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}<0\\&{{\lambda }_{1/2}}\in R\\\end{aligned}}$

Dies ist ein exponenzieller Zerfall. Fast alle Trajektorien nähern sich dabei entlang des Eigenvektors, der zum betragsmäßig kleineren Eigenwert gehört. Weil hier das "Kriechen" zum Fixpunkt, also der Zerfall langsamer stattfindet:

Instabiler Knoten

detA>0

trA>0

${{\left(trA\right)}^{2}}>4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}>0\\&{{\lambda }_{1/2}}\in R\\\end{aligned}}$

Das System ist exponenziell entdämpft.

Sattelpunkt

detA>0

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1}}>0\\&{{\lambda }_{2}}<0\\&{{\lambda }_{1/2}}\in R\\\end{aligned}}$

Summary:

Grenze zwischen den 5 Bereichen: entartete Fälle:

• in diesem Fall versagt die lineare Stabilitätsanalyse völlig. Es ist nötig, höhere Terme der Taylorentwicklung um den Fixpunkt zu betrachten.

Beispiel:

trA=0

detA>0

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}=\pm i\omega \\&{{\lambda }_{1/2}}\in I\\\end{aligned}}$

Dies kann ZENTRUM sein, also der Mittelpunkt der Phasenraumtrajektorien, die ungedämpfte Schwingungen beschreiben (energieabhängige, aber unveränderliche Ellipsen).

Dieses Zentrum ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil!

Vergleiche: ungedämpfter Oszillator.

Es kann sich aber auch um einen schwach stabilen oder instabilen Fokus handeln (der dann auch asymptotisch stabil ist)

• es sind in diesem Fall auch qualitative Änderungen im Verhalten des Flusses möglich (Bifurkationen = Verzweigungen der Lösungsmannigfaltigkeit)

Speziell: Hamiltonsche Vektorfelder:

${\begin{aligned}&{\dot {\bar {x}}}:=J{{\bar {H}}_{,x}}\\&\Leftrightarrow {{\dot {q}}_{k}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}},{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

Linearisierung zum Fixpunkt

${\bar {x}}*$

${\begin{aligned}&\delta {\bar {x}}:={\bar {x}}-{\bar {x}}*\\&\delta {\dot {\bar {x}}}=A\delta {\bar {x}}\\&mit:\ \delta {{\dot {x}}_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{2f}{{{\left({\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}\right)}_{x*}}\delta {{x}_{k}}=}\sum \limits _{k,j=1}^{2f}{\left({{J}_{ij}}{\frac {{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}}}\right)\delta {{x}_{k}}}\\&\sum \limits _{j=1}^{2f}{}\left({{J}_{ij}}{\frac {{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}}}\right)={{A}_{ik}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&trA=div{\bar {F}}=\sum \limits _{k=1}^{f}{\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}-{\frac {\partial }{\partial {{p}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\right)=}0\\&trA=0=\sum \limits _{i=1}^{2f}{{\lambda }_{i}}\\\end{aligned}}$

Möglichkeit zur asymptotischen Stabilität

Wegen trA=0 folgt Keine asymptotische Stabilität möglich.

Beweis: Asymptotische Stabilität nur, wenn alle

${\begin{aligned}&\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}<0\\&\Rightarrow trA=\sum \limits _{i}{\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}}+\sum \limits _{i}{\operatorname {Im} {{\lambda }_{i}}}\\\end{aligned}}$

aber:

$\sum \limits _{i}{\operatorname {Im} {{\lambda }_{i}}}$

besteht aus komplex konjugierten Paaren, da die Eigenwertgleichung reell ist!

Somit gilt jedoch

$trA=\sum \limits _{i}{\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}}<0$,

was ein Widerspruch zur Voraussetzung für asymptotische Stabilität, mit trA=0

Nicht asymptotisch Stabilität

Nicht asymptotische Stabilität nur wenn

$\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}\leq 0$,

also kein

$\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}>0$

Aus genannten Gründen kann dann aber nur

$\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}=0\quad \forall i$

Also:

${{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}$

Also: Zentrum, reine Oszillationen, keine Dämpfung oder Unterdämpfung

Fall f=1 → n=2

In diesem Fall können die Fixpunkte nur Zentren (falls det A > 0 →

${{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}$)

oder Sattelpunkte

(falls detA <0 →

${{\lambda }_{1}}>0,{{\lambda }_{2}}<0,{{\lambda }_{i}}\in R$)

sein!

Beispiel zur Stabilität

Der kräftefreie unsymmetrische Kreisel

oBdA:

$0<{{J}_{1}}<{{J}_{2}}<{{J}_{3}}$

Folgende sind die Eulerschen Gleichungen für

${{\omega }_{i}}$

${\begin{aligned}&{{J}_{1}}{{\dot {\omega }}_{1}}=\left({{J}_{2}}-{{J}_{3}}\right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}\\&{{J}_{2}}{{\dot {\omega }}_{2}}=\left({{J}_{3}}-{{J}_{1}}\right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}}\\&{{J}_{3}}{{\dot {\omega }}_{3}}=\left({{J}_{1}}-{{J}_{2}}\right){{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}\\\end{aligned}}$

Somit:

${\begin{aligned}&{{\dot {\omega }}_{1}}=-{\frac {\left({{J}_{3}}-{{J}_{2}}\right)}{{J}_{1}}}{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{k}_{1}}{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}\\&{{\dot {\omega }}_{2}}={\frac {\left({{J}_{3}}-{{J}_{1}}\right)}{{J}_{2}}}{{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}}={{k}_{2}}{{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}}\\&{{\dot {\omega }}_{3}}=-{\frac {\left({{J}_{2}}-{{J}_{1}}\right)}{{J}_{3}}}{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=-{{k}_{3}}{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}\\\end{aligned}}$

Die Fixpunkte seien:

${\begin{aligned}&{\bar {\varpi }}{{*}^{(1)}}=\left({\begin{matrix}\omega &0&0\\\end{matrix}}\right)\\&{\bar {\varpi }}{{*}^{(2)}}=\left({\begin{matrix}0&\omega &0\\\end{matrix}}\right)\\&{\bar {\varpi }}{{*}^{(3)}}=\left({\begin{matrix}0&0&\omega \\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Also: Rotation um x1, x2, bzw x3- Achse.

Diese drei Fixpunkte erfüllen die Gleichung:

${{\dot {\omega }}_{1}}={{\dot {\omega }}_{2}}={{\dot {\omega }}_{3}}=0$

Linearisierung zum Fixpunkt:

$\left({\begin{matrix}\delta {{\dot {\omega }}_{1}}\\\delta {{\dot {\omega }}_{2}}\\\delta {{\dot {\omega }}_{3}}\\\end{matrix}}\right)=A\left({\begin{matrix}\delta {{\omega }_{1}}\\\delta {{\omega }_{2}}\\\delta {{\omega }_{3}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0&-{{k}_{1}}{{\omega }_{3}}&-{{k}_{1}}{{\omega }_{2}}\\{{k}_{2}}{{\omega }_{3}}&0&{{k}_{2}}{{\omega }_{1}}\\-{{k}_{3}}{{\omega }_{2}}&-{{k}_{3}}{{\omega }_{1}}&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\delta {{\omega }_{1}}\\\delta {{\omega }_{2}}\\\delta {{\omega }_{3}}\\\end{matrix}}\right)$

${\begin{aligned}&{\bar {\varpi }}{{*}^{(1)}}:{{\varpi }_{1}}=\varpi ,{{\varpi }_{2}}=0,{{\varpi }_{3}}=0\\&0=\det(A-\lambda 1)=\left|{\begin{matrix}-\lambda &0&0\\0&-\lambda &{{k}_{2}}{{\omega }_{}}\\0&-{{k}_{3}}\omega &-\lambda \\\end{matrix}}\right|=-\lambda \left({{\lambda }^{2}}+{{k}_{2}}{{k}_{3}}{{\omega }^{2}}\right)\\&\Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(1)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(1)}=\pm i\omega {\sqrt {{{k}_{2}}{{k}_{3}}}}\\\end{aligned}}$

Der Fixpunkt ist also stabil (Zentrum)

${\begin{aligned}&{\bar {\varpi }}{{*}^{(2)}}=\left({\begin{matrix}0&\omega &0\\\end{matrix}}\right):\\&0=\det(A-\lambda 1)=\left|{\begin{matrix}-\lambda &0&-{{k}_{1}}\omega \\0&-\lambda &{{0}_{}}\\-{{k}_{3}}\omega &0&-\lambda \\\end{matrix}}\right|=-\lambda \left({{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{3}}{{\omega }^{2}}\right)\\&\Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(2)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm \omega {\sqrt {{{k}_{1}}{{k}_{3}}}}\\\end{aligned}}$

Der Fixpunkt ist instabil (Sattelpunkt)

${\begin{aligned}&{\bar {\varpi }}{{*}^{(3)}}=\left({\begin{matrix}0&0&\omega \\\end{matrix}}\right):\\&0=\det(A-\lambda 1)=\left|{\begin{matrix}-\lambda &-{{k}_{1}}\omega &0\\{{k}_{2}}\omega &-\lambda &{{0}_{}}\\0&0&-\lambda \\\end{matrix}}\right|=-\lambda \left({{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{\omega }^{2}}\right)\\&\Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(3)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm i\omega {\sqrt {{{k}_{1}}{{k}_{2}}}}\\\end{aligned}}$

• Fixpunkt stabil (Zentrum)

Fazit: Bei asymmetrischen Kreiseln ist nur die Rotation um die Achse zum größten und zum kleinsten Trägheitsmoment stabil!

Hamiltonsche Systeme

Hier folgt aus

$trA=div{\bar {F}}=0$

der Satz von Liouville (§ 4.5)

${\begin{aligned}&{{V}_{t}}=\int _{{U}_{t}}^{}{{{d}^{2f}}x}=\int _{{{U}_{t}}_{0}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det D{{\Phi }_{t}}({{\bar {x}}_{0}})=\int _{{{U}_{t}}_{0}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left[1+(t-{{t}_{0}})\sum \limits _{i=1}^{2f}{{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{i}}}+...}\right]\\&\sum \limits _{i=1}^{2f}{{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{i}}}={{\left(div{\bar {F}}\right)}_{{\bar {x}}_{0}}}}\\&{{V}_{t}}={{V}_{{t}_{0}}}+(t-{{t}_{0}})\int _{{{U}_{t}}_{0}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}{{\left(div{\bar {F}}\right)}_{{\bar {x}}_{0}}}+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}}\\&{\frac {d{{V}_{t}}}{dt}}={\begin{matrix}\lim \\t->{{t}_{0}}\\\end{matrix}}{\frac {{{V}_{t}}-{{V}_{{t}_{0}}}}{(t-{{t}_{0}})}}=\int _{{{U}_{t}}_{0}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}{{\left(div{\bar {F}}\right)}_{{\bar {x}}_{0}}}=0\\&{{\left(div{\bar {F}}\right)}_{{\bar {x}}_{0}}}=0\\\end{aligned}}$

Das heißt: Die Phasenraumvolumina sind erhalten, der Fluß ist inkompressibel!

Für dissipative Systeme gilt für kleine Volumiona, die einen asymptotisch stabilen Fixpunkt

${\bar {x}}*$

umschließen:

${\begin{aligned}&{\frac {d{{V}_{t}}}{dt}}\approx \int _{{U}_{t}}^{}{{{d}^{2f}}x}{{\left(div{\bar {F}}\right)}_{{\bar {x}}*}}=\Lambda {{V}_{t}}\\&\Rightarrow V(t)={{e}^{\Lambda t}}{{V}_{0}}\\\end{aligned}}$

Mit der Phasenraumkontraktionsrate

$\Lambda :=div{\bar {F}}<0$ wegen $div{\bar {F}}=\sum \limits _{i}^{}{\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}}<0$,

da sonst der Fixpunkt nicht stabil wäre (Voraussetzung).

Allgemien gilt:

Def.: Dissipative Systeme sind solche, die Phasenraumvolumina kontrahieren. Asymptotisch stabile Fixpunkte (Knoten und Fokus, jeweils stabil), heißen SENKEN oder ATTRAKTOREN im Phasenraum.

Beispiel für ein dissipatives System: LORENZMODELL (1963)

${\begin{aligned}&{\dot {x}}=-\sigma x+\sigma y\\&{\dot {y}}=-zx-xz+rz-y\\&{\dot {z}}=yx+xy-bz\\\end{aligned}}$

Dies leitet sich ab aus der Temperatur- und Strömungsverteilung einer inkompressiblen Flüssigkeit: Das Rayleigh - Bénard- System

Linearisierung:

${\begin{aligned}&A=\left({\begin{matrix}-\sigma &\sigma &0\\-z&-1&r-x\\y&x&-b\\\end{matrix}}\right)\\&\Rightarrow \Lambda =trA=-\left(\sigma +1+b\right)\\&\Rightarrow V(t)={{e}^{-\left(\sigma +1+b\right)t}}{{V}_{0}}-t->\infty \to 0\\\end{aligned}}$

Phasenraumvolumina schrumpfen also monoton!

Das Lorenzmodell produziert weiterhin chaotisch Lösungen:

Der Stereoplot eines numerisch bestimmten Attraktors im Phasenraum liefert folgendes Bild:

Dies ist so zu verstehen, dass sich die Phasenraumkurven, die sich übrigens nie schneiden! im Raum dieses Attraktors konzentrieren:

Insbesondere enden gleich Anfangszustände immer wieder am selben Attraktor.

Das Langzeitverhalten dissipativer Systeme wird durch Attraktoren bestimmt:

Def.:

Sei

${\bar {F}}$

ein vektorfeld auf

$M={{R}^{n}}$.

Eine abgeschlossene, unter dem Fluß

${{\Phi }_{t}}$ invariante ${{\Phi }_{t}}(A)\subseteq A$,

unzerlegbare Teilmenge

$A\subset M$

heißt Attraktor, falls:

$A\subset {{U}_{0}}$

(offene Umgebung von A) mit

${{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subseteq {{U}_{0}}$

(t>0)

$\forall V$ mit $A\subset V\subset {{U}_{0}}$

$\exists T>0$,

so dass

${{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subset V$

(t>T) Das heißt, es existiert ein Attraktorbecken Uo, aus dem der Fluß asymptotisch in den Attraktor A läuft :

Nebenbemerkung: Es kann grundsätzlich mehrere koexistierende Attraktoren auf M geben!

Ein Attraktor von heißt fraktal , wenn er weder eine endliche Anzahl von Punkten, eine stückweise differenzierbare Kurve oder Fläche noch eine Menge, die von einer geschlossenen stückweise differenzierbaren Fläche umgeben wird, darstellt. Ein Attraktor heißt seltsam , wenn er chaotisch, fraktal oder beides ist. Die Begriffe chaotisch, fraktal und seltsam werden für kompakte invariante Mengen, die keine Attraktoren sind, analog benutzt. Ein dynamisches System heißt chaotisch , wenn es eine kompakte invariante chaotische Menge besitzt.

Beispiele für Attraktoren:

Stabiler Fixpunkt:

Mindestdimension des Phasenraumes: 1

Dimension des Attraktors: 0

Stabiler Grenzzyklus:

Mindestdimension des Phasenraumes: 2

Dimension des Attraktors: 1

periodische Bewegung im Phasenraum

Stabiler Torus T²

Mindestdimension des Phasenraumes: 3

Dimension des Attraktors: 2

quasiperiodische Bewegung im Phasenraum

Seltsamer Attraktor

Mindestdimension des Phasenraumes: 3

Dimension des Attraktors: 2<D<3 (fraktaldimensional)

chaotische Bewegung im Phasenraum