Theorem von Noether: Difference between revisions
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Die Lagrangefunktion | Die Lagrangefunktion | ||
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invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und | invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und | ||
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<math>I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}}}</math> | :<math>I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}}}</math> | ||
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Sei | Sei | ||
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<math>\bar{q}(s,t):={{h}^{s}}(\bar{q},t)</math> | :<math>\bar{q}(s,t):={{h}^{s}}(\bar{q},t)</math> | ||
Lösung, das heißt: | Lösung, das heißt: | ||
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{q}_{i}}}</math> | :<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))}{\partial {{q}_{i}}}</math> | ||
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& \frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0 \\ | & \frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0 \\ | ||
& \Rightarrow \frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}} \right)=}\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\frac{d}{dt}{{\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)} \\ | & \Rightarrow \frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\sum\limits_{i=1}^{f}{\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d}{ds}{{h}^{s}}({{q}_{i}}) \right)}_{s=0}} \right)=}\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}\frac{d}{dt}{{\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> Mit <math>\begin{align} | ||
Mit | |||
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& \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}} \\ | & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}} \\ | ||
& \frac{d}{dt}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)=\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right) \\ | & \frac{d}{dt}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)=\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right) \\ | ||
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<math>\frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0</math> | :<math>\frac{d}{ds}L(\bar{q}(s,t),\dot{\bar{q}}(s,t))=\sum\limits_{i=1}^{f}{\left( \frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}\left( \frac{d{{q}_{i}}}{ds} \right)+\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}{{\left( \frac{d{{{\dot{q}}}_{i}}}{ds} \right)}_{{}}} \right)=}0</math> | ||
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<math>\frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\frac{d}{ds}L=0</math> | :<math>\frac{d}{dt}I(\bar{q},\dot{\bar{q}})=\frac{d}{ds}L=0</math> |
Latest revision as of 00:32, 13 September 2010
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
65px|Kein GFDL | Der Artikel Theorem von Noether basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=3|Abschnitt=1}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
Voraussetzung: Autonomes, das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und einer Lagrangefunktion
Theorem (E.Noether, 1882-1935)
Die Lagrangefunktion
eines autonomen Systems sei unter der Transformation
invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und
die Identität.
Dann gibt es ein Integral der Bewegung
Beweis:
Sei
eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch
Lösung, das heißt:
Invarianz der Lagrangefunktion für beliebige s:
und mit Hilfe von
folgt dann: