Variationsprinzipien: Difference between revisions
No edit summary |
No edit summary |
||
(9 intermediate revisions by 5 users not shown) | |||
Line 3: | Line 3: | ||
[[File:Variation.png|miniatur]] | [[File:Variation.png|miniatur]] | ||
Die bisher betrachteten Variationen waren '''differenziell'''. Derart wurden sie beim '''d´Alembertschen Prinzip''' angewendet. (Differenzielle Variation: | Die bisher betrachteten Variationen waren '''differenziell'''. Derart wurden sie beim '''d´Alembertschen Prinzip''' angewendet. (Differenzielle Variation: | ||
<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}</math> | :<math>\delta {{\vec{r}}_{i}}</math> | ||
Beim '''Hamiltonschen Prinzip''' dagegen wird die '''gesamte Bahn variiert''': | Beim '''Hamiltonschen Prinzip''' dagegen wird die '''gesamte Bahn variiert''': | ||
<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | :<math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math> | ||
Hat man also eine Bahn gefunden, so variiert man diese, indem eine beliebige , gänzlich von der ersten Bahn verschiedene Bahn betrachtet wird. | Hat man also eine Bahn gefunden, so variiert man diese, indem eine beliebige, gänzlich von der ersten Bahn verschiedene Bahn betrachtet wird. | ||
Lediglich Anfangs- und Endpunkt zu den Messzeiten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> werden festgehalten. | Lediglich Anfangs- und Endpunkt zu den Messzeiten <math>t_1</math> und <math>t_2</math> werden festgehalten. | ||
Line 18: | Line 18: | ||
{{Beispiel|Fermatsches Prinzip | {{Beispiel|Fermatsches Prinzip | ||
[[File: | [[File:Snells law.svg|miniatur]] | ||
Dieses Phänomen ist bei der Lichtausbreitung als Fermatsches Prinzip bekannt. | Dieses Phänomen ist bei der Lichtausbreitung als Fermatsches Prinzip bekannt. | ||
In der geometrischen Optik gibt es die Moeglichkeit, einen Lichtweg zu finden, indem das Fermatsche Prinzip berücksichtigt wird. Demnach sucht sich Licht immer den kürzesten W4eg in einer Anordnung von Spiegeln und brechenden Gläsern mit Brechungsindex n(r ) | In der geometrischen Optik gibt es die Moeglichkeit, einen Lichtweg zu finden, indem das Fermatsche Prinzip berücksichtigt wird. Demnach sucht sich Licht immer den kürzesten W4eg in einer Anordnung von Spiegeln und brechenden Gläsern mit Brechungsindex n(r) | ||
Vorsicht ! Das Licht sucht sich demnach den kürzesten Optischen Weg, also den Weg, der in der kürzesten Dauer zurückgelegt werden kann ( Das Licht bewegt sich entlang der lichtartigen Geodäten). | Vorsicht! Das Licht sucht sich demnach den kürzesten Optischen Weg, also den Weg, der in der kürzesten Dauer zurückgelegt werden kann (Das Licht bewegt sich entlang der lichtartigen Geodäten). | ||
Sei der Brechungsindex | Sei der Brechungsindex | ||
<math>n(\vec{r})=\frac{c}{{{c}_{0}}}</math> | :<math>n(\vec{r})=\frac{c}{{{c}_{0}}}</math> | ||
Line 32: | Line 32: | ||
<math>\delta \int\limits_{1}^{2}{ds}n(\vec{r})=0</math> | :<math>\delta \int\limits_{1}^{2}{ds}n(\vec{r})=0</math> | ||
Line 38: | Line 38: | ||
{{Beispiel| | {{Beispiel| | ||
[[File: | [[File:Spherical triangle.svg|miniatur]] | ||
Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die Großkreise. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig ( die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.}} | Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die Großkreise. Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig (die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.}} | ||
==Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung== | ==Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung== | ||
Line 46: | Line 46: | ||
Beispiel: | Beispiel: | ||
<math>q(t)\to I[q]:=\int\limits_{t1}^{t2}{dt}F(q(t),\dot{q}(t),t)</math> | :<math>q(t)\to I[q]:=\int\limits_{t1}^{t2}{dt}F(q(t),\dot{q}(t),t)</math> | ||
Die Funktion q(t) sollte zweimal stetig differenzierbar und reell sein. ( Bahnkurve mit existierender Geschwindigkeit und Beschleunigung). | Die Funktion q(t) sollte zweimal stetig differenzierbar und reell sein. (Bahnkurve mit existierender Geschwindigkeit und Beschleunigung). | ||
Die Aufgabe lautet nun: | Die Aufgabe lautet nun: | ||
Suche ein q(t) derart, dass | Suche ein q(t) derart, dass | ||
<math>\delta I[q]=0</math> | :<math>\delta I[q]=0</math> | ||
Line 61: | Line 61: | ||
====Die Variierten Bahnen==== | ====Die Variierten Bahnen==== | ||
Eine Variierte Bahn ist dann eine Bahn, die zu jeder Zeit t mit t1<t<t2 ( eigentlich kleiner gleich) dem Punkt q(t) auf der reellen Bahn einen variierten Bezugspunkt q´(t) auf der variierten Bahn zuordnet. | Eine Variierte Bahn ist dann eine Bahn, die zu jeder Zeit t mit t1<t<t2 (eigentlich kleiner gleich) dem Punkt q(t) auf der reellen Bahn einen variierten Bezugspunkt q´(t) auf der variierten Bahn zuordnet. | ||
Dabei gilt: | Dabei gilt: | ||
1. | 1. | ||
<math>q\acute{\ }(t)\in {{C}^{2}}</math> | :<math>q\acute{\ }(t)\in {{C}^{2}}</math> Die variierten Punkte stammen auch aus '''quadratintegrabelen komplexen Funktionen''' | ||
Die variierten Punkte stammen auch aus | |||
2. | 2. | ||
<math>\delta q(t):=q\acute{\ }(t)-q(t)</math> | :<math>\delta q(t):=q\acute{\ }(t)-q(t)</math> differenzielle Variation. Die Zeit wird nicht variiert. | ||
differenzielle Variation. Die Zeit wird nicht variiert. | |||
3. | 3. | ||
<math>\delta t=0</math> | :<math>\delta t=0</math> | ||
4. | 4. | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& q\acute{\ }({{t}_{1}})=q({{t}_{1}}) \\ | & q\acute{\ }({{t}_{1}})=q({{t}_{1}}) \\ | ||
& q\acute{\ }({{t}_{2}})=q({{t}_{2}}) \\ | & q\acute{\ }({{t}_{2}})=q({{t}_{2}}) \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> Anfangs- und Endpunkt sind fest | ||
Anfangs- und Endpunkt sind fest | |||
5. | 5. | ||
<math>\delta q({{t}_{1}})=\delta q({{t}_{2}})=0</math> | :<math>\delta q({{t}_{1}})=\delta q({{t}_{2}})=0</math> | ||
Line 91: | Line 88: | ||
<math>0=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(q,\dot{q},t)}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(q,\dot{q},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}}</math> | :<math>0=\delta \int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(q,\dot{q},t)}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(q,\dot{q},t)=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}}</math> | ||
Die letzte Identität gilt, da die Variation nicht auf die Zeit bezogen werden muss ( Zeit wird nicht variiert). | Die letzte Identität gilt, da die Variation nicht auf die Zeit bezogen werden muss (Zeit wird nicht variiert). | ||
Für die variierte Geschwindigkeit gilt: | Für die variierte Geschwindigkeit gilt: | ||
<math>\delta \dot{q}(t):=\dot{q}\acute{\ }(t)-\dot{q}(t)=\frac{d}{dt}(q\acute{\ }(t)-q(t))=\frac{d}{dt}\delta q</math> | :<math>\delta \dot{q}(t):=\dot{q}\acute{\ }(t)-\dot{q}(t)=\frac{d}{dt}(q\acute{\ }(t)-q(t))=\frac{d}{dt}\delta q</math> | ||
Line 105: | Line 102: | ||
<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\frac{d}{dt}\delta q \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q \right]}+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q{{\left. {} \right|}_{{{t}_{1}}}}^{{{t}_{2}}}</math> | :<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta \dot{q} \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\frac{d}{dt}\delta q \right]}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}\delta q-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q \right]}+\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}\delta q{{\left. {} \right|}_{{{t}_{1}}}}^{{{t}_{2}}}</math> | ||
Line 111: | Line 108: | ||
<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}} \right]\delta q}=0</math> | :<math>\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left[ \frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}} \right]\delta q}=0</math> | ||
Line 117: | Line 114: | ||
<math>\frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}=0</math> | {{Def|<math>\frac{\partial F}{\partial q}-\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{q}}=0</math> | ||
Dies ist die verallgemeinerte Euler-Lagrange- Gleichung der Variationsrechnung | Dies ist die verallgemeinerte Euler-Lagrange- Gleichung der Variationsrechnung|Euler-Lagrange-Gleichung]] | ||
Diese Differenzialgleichung ist äquivalent zum Integralprinzip | Diese Differenzialgleichung ist äquivalent zum Integralprinzip | ||
<math>\delta I[q]=0</math> | :<math>\delta I[q]=0</math> | ||
Neben der Einführung einer bijektiven Abbildung zwischen Bahnpunkten bund variierten Punkten ergibt sich auch die leichte Möglichkeit der Ableitung durch Einführung eines Variationsparameters: | Neben der Einführung einer bijektiven Abbildung zwischen Bahnpunkten bund variierten Punkten ergibt sich auch die leichte Möglichkeit der Ableitung durch Einführung eines Variationsparameters: | ||
<math>\alpha </math> | :<math>\alpha </math> | ||
: | : | ||
<math>q(t,\alpha )=q(t)+\alpha \eta (t)</math> | :<math>q(t,\alpha )=q(t)+\alpha \eta (t)</math> | ||
Die konkurrierende Funktion wird durch den Parameter | Die konkurrierende Funktion wird durch den Parameter | ||
<math>\alpha </math> | :<math>\alpha </math> | ||
bei festem | bei festem | ||
<math>\eta (t)</math> | :<math>\eta (t)</math> | ||
parametrisiert. | parametrisiert. | ||
Weitere Möglichkeiten sind zu finden unter „direkte Methoden der Variationsrechnung | Weitere Möglichkeiten sind zu finden unter „direkte Methoden der Variationsrechnung" | ||
==Exkurs zur Variationsrechnung== | ==Exkurs zur Variationsrechnung== | ||
Line 148: | Line 145: | ||
# Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen | # Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen | ||
<math>\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)=\frac{d}{dx}f(x)\delta x=0</math> | :<math>\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)=\frac{d}{dx}f(x)\delta x=0</math> | ||
für beliebige Variationen | für beliebige Variationen | ||
<math>\delta x\ne 0</math> | :<math>\delta x\ne 0</math> | ||
<math>\frac{d}{dx}f(x)=0</math> | :<math>\frac{d}{dx}f(x)=0</math> | ||
an x=x0 ( Nullstelle) | an x=x0 (Nullstelle) | ||
# Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen | # Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen | ||
<math>\delta f=f(x1+\delta x1,...)-f(x1,...)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}f(x)\delta {{x}_{i}}=0</math> | :<math>\delta f=f(x1+\delta x1,...)-f(x1,...)=\sum\limits_{i=1}^{N}{{}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}f(x)\delta {{x}_{i}}=0</math> | ||
für beliebige | für beliebige | ||
<math>\delta {{x}_{i}}\ne 0</math> | :<math>\delta {{x}_{i}}\ne 0</math> | ||
<math>\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}=0</math> | :<math>\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}=0</math> | ||
i=1...,N bei xi =xi0 ( Nullstellen der Funktion) | i=1...,N bei xi =xi0 (Nullstellen der Funktion) | ||
entsprechend: | entsprechend: | ||
Line 178: | Line 175: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{x}_{1}},...,{{x}_{N}}->x(t) \\ | & {{x}_{1}},...,{{x}_{N}}->x(t) \\ | ||
& \delta {{x}_{1}},...,\delta {{x}_{N}}->\delta x(t) \\ | & \delta {{x}_{1}},...,\delta {{x}_{N}}->\delta x(t) \\ | ||
& \delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)} \\ | & \delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> Mit <math>\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math> | ||
Mit | |||
<math>\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math> | |||
als Funktionalableitung | als Funktionalableitung | ||
Line 192: | Line 185: | ||
Sei | Sei | ||
<math>f[x]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t))}</math> | :<math>f[x]:=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t))}</math> | ||
<math>\delta f=f[x(t)+\delta x(t)]-f[x(t)]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ F(x(t)+\delta x(t))-F(x(t)) \right\}}</math> | :<math>\delta f=f[x(t)+\delta x(t)]-f[x(t)]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ F(x(t)+\delta x(t))-F(x(t)) \right\}}</math> | ||
<math>=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad \to \frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math> | :<math>=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad \to \frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}</math> wegen <math>\delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)}</math> | ||
<math>\delta f=\sum\limits_{i=1}^{N}{\frac{\partial f}{\partial {{x}_{i}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{\delta f}{\delta x(t)}\delta x(t)}</math> | |||
<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad =0\ f\ddot{u}r\ beliebige\ \delta x(t)\ (Extremum)</math> | :<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\frac{dF(x)}{dx}\delta x(t)}\quad =0\ f\ddot{u}r\ beliebige\ \delta x(t)\ (Extremum)</math> | ||
Line 212: | Line 203: | ||
<math>\frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}=0</math> | :<math>\frac{dF(x)}{dx}=\frac{\delta f}{\delta x(t)}=0</math> | ||
als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t) | als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t) | ||
Bei Abhängigkeit von | Bei Abhängigkeit von | ||
<math>x,\dot{x}</math> | :<math>x,\dot{x}</math> | ||
: | : | ||
<math>f[x,\dot{x}]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t),\dot{x}(t))}</math> | :<math>f[x,\dot{x}]=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dtF(x(t),\dot{x}(t))}</math> | ||
<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(x,\dot{x})}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}\delta x+\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\delta \dot{x} \right\}=}\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}} \right\}\delta x(t)}</math> | :<math>\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(x,\dot{x})}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}\delta x+\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\delta \dot{x} \right\}=}\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}} \right\}\delta x(t)}</math> | ||
Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen | Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen | ||
<math>\delta x(t)</math> | :<math>\delta x(t)</math>. | ||
Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t): | Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t): | ||
<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math> | :<math>\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}=0</math> | ||
==Siehe auch== | ==Siehe auch== | ||
[[Euler-Lagrange-Gleichungen]] | |||
__SHOWFACTBOX__ | __SHOWFACTBOX__ |
Latest revision as of 14:19, 9 August 2011
65px|Kein GFDL | Der Artikel Variationsprinzipien basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=1}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
Idee[edit | edit source]
Die bisher betrachteten Variationen waren differenziell. Derart wurden sie beim d´Alembertschen Prinzip angewendet. (Differenzielle Variation:
Beim Hamiltonschen Prinzip dagegen wird die gesamte Bahn variiert:
Hat man also eine Bahn gefunden, so variiert man diese, indem eine beliebige, gänzlich von der ersten Bahn verschiedene Bahn betrachtet wird.
Lediglich Anfangs- und Endpunkt zu den Messzeiten und werden festgehalten.
Grundidee des Hamiltonschen Prinzips ist, dass die wirklich angenommene Bahn eine bestimmte Größe, nämlich die sogenannte Wirkung der Bahn, extremal macht.
Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung[edit | edit source]
Sei I : C² - > R ein Funktional
Beispiel:
Die Funktion q(t) sollte zweimal stetig differenzierbar und reell sein. (Bahnkurve mit existierender Geschwindigkeit und Beschleunigung).
Die Aufgabe lautet nun:
Suche ein q(t) derart, dass
Das Funktional sollte also in q(t) extremal werden. Sprich, Maximum, Minimum oder Sattelpunkt aufweisen.
Die Variierten Bahnen[edit | edit source]
Eine Variierte Bahn ist dann eine Bahn, die zu jeder Zeit t mit t1<t<t2 (eigentlich kleiner gleich) dem Punkt q(t) auf der reellen Bahn einen variierten Bezugspunkt q´(t) auf der variierten Bahn zuordnet.
Dabei gilt:
1.
2.
3.
4.
5.
Da die Variation der Integrationsgrenzen verschwindet kann Integration und Variation vertauscht werden:
Die letzte Identität gilt, da die Variation nicht auf die Zeit bezogen werden muss (Zeit wird nicht variiert).
Für die variierte Geschwindigkeit gilt:
Also folgt mit Hilfe partieller Integration
Da jedoch die Variation an den Grenzen t1 und t2 verschwindet gilt:
Da q jedoch völlig frei variierbar ist:
Dies ist die verallgemeinerte Euler-Lagrange- Gleichung der Variationsrechnung|Euler-Lagrange-Gleichung]]
Diese Differenzialgleichung ist äquivalent zum Integralprinzip
Neben der Einführung einer bijektiven Abbildung zwischen Bahnpunkten bund variierten Punkten ergibt sich auch die leichte Möglichkeit der Ableitung durch Einführung eines Variationsparameters:
Die konkurrierende Funktion wird durch den Parameter
bei festem
parametrisiert.
Weitere Möglichkeiten sind zu finden unter „direkte Methoden der Variationsrechnung"
Exkurs zur Variationsrechnung[edit | edit source]
- Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen
für beliebige Variationen
an x=x0 (Nullstelle)
- Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen
für beliebige
i=1...,N bei xi =xi0 (Nullstellen der Funktion)
entsprechend:
3. Extremum eines Funktionals
f[x]=f[x(t)]
als Funktionalableitung
Beispiel : Integral als Funktional
Sei
Somit folgt jedoch wegen der Beliebigkeit der variierten x:
als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t)
Bei Abhängigkeit von
Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen
Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t):
Siehe auch[edit | edit source]
__SHOWFACTBOX__