Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung: Difference between revisions
*>SchuBot Einrückungen Mathematik |
*>SchuBot m Interpunktion, replaced: ! → ! (3), ( → ( (3) |
||
(One intermediate revision by the same user not shown) | |||
Line 1: | Line 1: | ||
<noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|3}}</noinclude> | <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|5|3}}</noinclude> | ||
( Schrödinger) | (Schrödinger) | ||
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: | Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung: | ||
Line 18: | Line 18: | ||
:<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math> | :<math>{{\hat{H}}_{1}}=\varepsilon \hat{V}</math> | ||
( dabei soll die Störung zeitunabhängig sein !) | (dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!) | ||
Das ungestörte Problem schreibt sich: | Das ungestörte Problem schreibt sich: | ||
Line 38: | Line 38: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen ! | Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen! | ||
Also: | Also: | ||
Line 64: | Line 64: | ||
:<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | :<math>\left( {{{\hat{H}}}_{0}}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(2)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right)\left| {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +{{E}_{k}}^{(2)}\left| {{\Psi }_{k}}^{(0)} \right\rangle </math> | ||
'''... | '''... → Rekursionsformeln''' | ||
'''Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....''' | '''Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....''' | ||
Line 88: | Line 88: | ||
Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right|\to \left\langle l | n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math> | Skalarprodukt mit <math>\left\langle l \right|\to \left\langle l | n \right\rangle ={{\delta }_{\ln }}</math> | ||
"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand ( seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes ) heraus: | "projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand (seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes) heraus: | ||
:<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> | :<math>\left( {{E}_{l}}^{(0)}-{{E}_{k}}^{(0)} \right)\left\langle l | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle =\left( {{E}_{k}}^{(1)}-\hat{V} \right){{\delta }_{lk}}-\left\langle l \right|\hat{V}\left| k \right\rangle </math> | ||
Line 157: | Line 157: | ||
in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math> | in der Entwicklung <math>\left| {{\Psi }_{k}} \right\rangle =\left| k \right\rangle \left( 1+i\varepsilon \gamma \right)+\varepsilon \sum\limits_{n\ne k}{{}}\left| n \right\rangle \left\langle n | {{\Psi }_{k}}^{(1)} \right\rangle +O({{\varepsilon }^{2}})</math> | ||
. | |||
Die Festlegung erfolgt durch die Forderung : | Die Festlegung erfolgt durch die Forderung : |
Latest revision as of 00:46, 13 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=3}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__
(Schrödinger)
Betrachte zeitunabhängige Schrödingergleichung:
muss berechnet werden, wobei
durch den ungestörten Hamilton- Operator mit einer kleinen Störung repräsentiert wird.
Die Störung lasse sich als Potenzialstörung darstellen, die mittels des von Null verschiedenen jedoch kleinen Parameters
linear entwickelt werden kann:
(dabei soll die Störung zeitunabhängig sein!)
Das ungestörte Problem schreibt sich:
sollten sich Eigenwerte und Eigenzustände von
entwickeln lassen:
Merke: Die Eigenzustände und die Energieeigenwerte sollten sich entwickeln lassen!
Also:
Die Koeffizienten lassen sich dann in der Ordnung
vergleichen:
f=0
ungestörtes Problem
f=1
1. Näherung
f=2
... → Rekursionsformeln
Die Bestimmung der Energieeigenwerte und Eigenzustände kann erfolgen....
Aus f=1: Störungsrechnung erster Ordnung möglich:
Wir entwickeln nach der ungestörten Basis
ein:
"projiziert" wieder die Korrektur des l- ten Zustand (seines Eigenwertes und seines zugehörigen Zustandes) heraus:
Somit haben wir für l=k
die erste Korrektur zum Energieeigenwert gefunden:
ergibt sich die 1. Korrektur zum Eigenvektor:
wird durch Normierung festgelegt:
Da die Summe rechts aber für beliebige Epsilon Null werden muss folgt:
usw.. für jede Klammer nach einer bestimmten, festen Ordnung von
Also für die erste Ordnung:
Fazit:
Wegen
Die Festlegung erfolgt durch die Forderung :
Im entartungsfreien Fall (keine Entartung) folgt dann:
(keine Entartung)