Der harmonische Oszillator: Difference between revisions

Latest revision as of 13:25, 9 August 2011

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Der harmonische Oszillator basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=6}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Anwendungsbeispiel der abstrakten Darstellung im Hilbertraum: der eindimensionale harmonische Oszillator

\hat{H} = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + \frac{m ω^{2}}{2} {\hat{x}}^{2}

Als Hamiltonoperator

Es gilt die Vertauschungsrelation

[\hat{p}, \hat{x}] = \frac{ℏ}{i}

Besser:

[{\hat{p}}_{l}, {\hat{x}}_{k}] = \frac{ℏ}{i} δ_{k l}

Definition eines Operators, des Leiteroperators (nicht hermitesch!!)

Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}+\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}+\frac{1}{2} \\ \end{align}}

Merke:

Ausgangspunkt unserer ganzen Überlegungen ist eine Definition, nämlich die Definitiond er Leiteroperatoren:

Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} & a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ & {{a}^{+}}:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}+i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \\ \end{align}}

Ebenso:

Failed to parse (unknown function "\begin{align}"): {\displaystyle \begin{align} & {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right] \\ & \left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]=\frac{\hbar }{i} \\ & \Rightarrow {{a}^{+}}a=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{{\hat{x}}}^{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{\hbar \omega }\hat{H}-\frac{1}{2} \\ & \\ & \Rightarrow \left[ a,{{a}^{+}} \right]=1 \\ & a{{a}^{+}}+{{a}^{+}}a=\frac{2}{\hbar \omega }\hat{H} \\ \end{align}}

Somit:

\hat{H} = \frac{1}{2} ℏ ω (a a^{+} + a^{+} a) = \frac{1}{2} ℏ ω (a^{+} a + 1 + a^{+} a) = ℏ ω (a^{+} a + \frac{1}{2})

Merke dazu:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle a{{a}^{+}}=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left( \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}\hat{x}-\hat{x}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p} \right)=\frac{1}{2m\hbar \omega }{{\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}}^{2}}+\frac{m\omega }{2\hbar }{{\hat{x}}^{2}}+\frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

Somit:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \frac{i}{2\hbar }\left[ \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p},\hat{x} \right]}

als verantwortlicher Term für die Grundzustandsenergie:

E_{0} = \frac{1}{2} ℏ ω

Also: Die Grundzustandsenergie folgt direkt aus der Unschärfe!

Weitere Vertauschungsrelationen:

\begin{aligned} (a a^{+}) a = \frac{1}{ℏ ω} \hat{H} a + \frac{1}{2} a \\ = a (a^{+} a) = \frac{1}{ℏ ω} a \hat{H} - \frac{1}{2} a \\ \Rightarrow [a, \hat{H}] = a \hat{H} - \hat{H} a = ℏ ω a \end{aligned}

Ebenso die adjungierteVersion:

- [a^{+}, \hat{H}] = (a \hat{H}) \overset{´}{} * - (\hat{H} a) * = ℏ ω a^{+}

Verallgemeinerung[edit | edit source]

Beweis: Vollständige Induktion:

n=1 $[a, {(a^{+})}^{1}] = 1$

Sei $[a, {(a^{+})}^{n}] = n {(a^{+})}^{n - 1} = \frac{\partial}{\partial a^{+}} {(a^{+})}^{n}$

für $n \geq 1$

\begin{aligned} [a, {(a^{+})}^{n + 1}] = a {(a^{+})}^{n + 1} - {(a^{+})}^{n + 1} a = a {(a^{+})}^{n + 1} - {(a^{+})}^{n} a a^{+} + {(a^{+})}^{n} a a^{+} - {(a^{+})}^{n + 1} a \\ \Rightarrow [a, {(a^{+})}^{n + 1}] = [a, {(a^{+})}^{n}] a^{+} + {(a^{+})}^{n} [a, a^{+}] \\ [a, {(a^{+})}^{n}] = n {(a^{+})}^{n - 1} \\ \Rightarrow [a, {(a^{+})}^{n + 1}] = n {(a^{+})}^{n - 1} a^{+} + {(a^{+})}^{n} = (n + 1) {(a^{+})}^{n} \end{aligned}

Adjungierte Version:

[a^{+}, a^{n}] = - n {(a)}^{n - 1} = - \frac{\partial}{\partial a} {(a)}^{n}

Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:

\begin{aligned} [a, f (a^{+})] = \frac{\partial}{\partial a^{+}} f (a^{+}) \\ [a^{+}, f (a)] = - \frac{\partial}{\partial a} f (a) \end{aligned}

Eigenwerte von H[edit | edit source]

Sei $| E ⟩$

ein normierter Eigenvektor von $\hat{H}$

mit $\hat{H} | E ⟩ = E | E ⟩$

So gilt:

\begin{aligned} ℏ ω ⟨ E | a^{+} a | E ⟩ = ⟨ E | \hat{H} - \frac{ℏ ω}{2} | E ⟩ = ⟨ E | E - \frac{ℏ ω}{2} | E ⟩ = E - \frac{ℏ ω}{2} \\ ⟨ E | a^{+} a | E ⟩ = ⟨ Ψ | Ψ ⟩ \geq 0 \end{aligned}

Das bedeutet:

\begin{aligned} E \geq \frac{ℏ ω}{2} \\ E \geq \frac{ℏ ω}{2} \Leftrightarrow a | E ⟩ = 0 \end{aligned}

Das Energiespektrum ist also nach unten beschränkt und gleichzeitig vernichtet der Absteigeoperator den Zustand mit der niedrigsten Energie

Behauptung

a | E ⟩

ist Eigenzustand zu $\hat{H}$

mit dem Eigenwert $E - ℏ ω$

Also: $\hat{H} a | E ⟩ = (E - ℏ ω) a | E ⟩$

Beweis:

\hat{H} a | E ⟩ = (a \hat{H} - ℏ ω) a | E ⟩ = a (\hat{H} - ℏ ω) | E ⟩ = a (E - ℏ ω) | E ⟩ = (E - ℏ ω) a | E ⟩

Dabei gilt

\hat{H} a | E ⟩ = (a \hat{H} - ℏ ω) a | E ⟩

wegen

[a, \hat{H}] = ℏ ω a

Durch wiederholte Anwendung könnte man Eigenzustände $| E ⟩ \neq 0$

mit beliebig tiefer Energie erzeugen, wenn nicht $E \geq \frac{ℏ ω}{2}$

gelten würde.

Daher existiert ein $m \in N$

so dass $a^{m} | E ⟩ = 0$

aber $a^{m - 1} | E ⟩ \neq 0$

Also definiere man einen Grundzustand:

| 0 ⟩ : = a^{m - 1} | E ⟩

Vorsicht! Dieser ist gerade nicht ein NULL- KET,

sondern: Der Zustand zur Quantenzahl n=0

\hat{H} | 0 ⟩ = ℏ ω (a^{+} a + \frac{1}{2}) | 0 ⟩ = \frac{1}{2} ℏ ω | 0 ⟩

wegen

a | 0 ⟩ = a^{m} | E ⟩ = 0

Also:

\begin{aligned} E_{0} = \frac{ℏ ω}{2} \\ a | 0 ⟩ = a^{m} | E ⟩ = 0 \end{aligned}

Weiter:

\hat{H} a^{+} | 0 ⟩ = (a^{+} H + ℏ ω a^{+}) | 0 ⟩ = a^{+} (\hat{H} + ℏ ω) | 0 ⟩ = a^{+} (\frac{ℏ ω}{2} + ℏ ω) | 0 ⟩ = \frac{3 ℏ ω}{2} a^{+} | 0 ⟩

Der erste Schritt gilt wieder wegen der Vertauschungsrelation

[a^{+}, \hat{H}] = - ℏ ω a^{+}

Das heißt nun aber, dass $a^{+} | 0 ⟩$

der Eigenzustand von $\hat{H}$

zum Eigenwert $\frac{3 ℏ ω}{2}$

ist.

Vollständige Induktion

\hat{H} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩

Dann:

\begin{aligned} \hat{H} {(a^{+})}^{n + 1} | 0 ⟩ = (a^{+} \hat{H} + ℏ ω a^{+}) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = a^{+} (\hat{H} + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ \\ (\hat{H} + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = (ℏ ω (n + \frac{1}{2}) + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ \\ \Rightarrow \hat{H} {(a^{+})}^{n + 1} | 0 ⟩ = a^{+} (\hat{H} + ℏ ω) {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = ℏ ω (n + 1 + \frac{1}{2}) {(a^{+})}^{n + 1} | 0 ⟩ \end{aligned}

Normierung der Eigenzustände[edit | edit source]

{(a^{+})}^{n} | 0 ⟩

Der Grundzustand sei normiert:

⟨ 0 | 0 ⟩ = 1

Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:

| n ⟩ = α_{n} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩

mit Normierungsfaktor $α_{n}$

\begin{aligned} 1 =! = ⟨ n | n ⟩ = {| α_{n} |}^{2} ⟨ 0 | a^{n} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ \\ ⟨ 0 | a^{n} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a^{n - 1} ({(a^{+})}^{n} a + [a, {(a^{+})}^{n}]) | 0 ⟩ \end{aligned}

wegen

[a, {(a^{+})}^{n}] = n {(a^{+})}^{n - 1}

Somit:

\begin{aligned} ⟨ 0 | a^{n} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a^{n - 1} ({(a^{+})}^{n} a + [a, {(a^{+})}^{n}]) | 0 ⟩ = ⟨ 0 | a^{n - 1} {(a^{+})}^{n} a | 0 ⟩ + n ⟨ 0 | a^{n - 1} {(a^{+})}^{n - 1} | 0 ⟩ \\ ⟨ 0 | a^{n - 1} {(a^{+})}^{n} a | 0 ⟩ = 0 \\ \Rightarrow n ⟨ 0 | a^{n - 1} {(a^{+})}^{n - 1} a | 0 ⟩ = n (n - 1) ⟨ 0 | a^{n - 2} {(a^{+})}^{n - 2} a | 0 ⟩ \Rightarrow . . . \Rightarrow \end{aligned}

Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:

\Rightarrow ⟨ 0 | a^{n} {(a^{+})}^{n} a | 0 ⟩ = n! ⟨ 0 | 0 ⟩ = n!

Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:

| n ⟩ = \frac{1}{\sqrt{n!}} {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩

für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators und diese gehören zu den Energiewerten

\begin{aligned} E_{n} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) \\ \hat{H} | n ⟩ = E_{n} | n ⟩ \end{aligned}

Quantensprechweise:

E_{n} - E_{n - 1} = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) - ℏ ω (n - 1 + \frac{1}{2}) = ℏ ω

ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant!

| n ⟩

ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz $ω$

a

ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten

a^{+}

der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten

\begin{aligned} a | n ⟩ = \frac{1}{\sqrt{n!}} a {(a^{+})}^{n} | 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{n!}} {{(a^{+})}^{n} a + [a, {(a^{+})}^{n}]} | 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{n!}} n {(a^{+})}^{n - 1} | 0 ⟩ = \sqrt{n} | n - 1 ⟩ \\ a^{+} | n ⟩ = \frac{1}{\sqrt{n!}} {(a^{+})}^{n + 1} | 0 ⟩ = \sqrt{n + 1} | n + 1 ⟩ \end{aligned}

Teilchenzahloperator[edit | edit source]

\begin{aligned} N : = a^{+} a \\ N | n ⟩ = a^{+} a | n ⟩ = a^{+} \sqrt{n} | n - 1 ⟩ = \sqrt{n} \sqrt{n} | n ⟩ = n | n ⟩ \end{aligned}

In Übereinstimmung mit

\hat{H} | n ⟩ = ℏ ω (a^{+} a + \frac{1}{2}) | n ⟩ = ℏ ω (n + \frac{1}{2}) | n ⟩

Veranschaulichung[edit | edit source]

Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die stationären Zustände ${| ϕ (x) |}^{2}$ dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit

Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für $σ = \frac{0, 5 σ_{0}}{\sqrt{2}}$ ,

also mit einem  $σ < \frac{σ_{0}}{\sqrt{2}}$ ,
wobei  $\frac{σ_{0}}{\sqrt{2}}$

das $σ$ des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus: Es ist das $σ = \frac{σ_{0}}{\sqrt{2}}$ für die kohärenten / Glauber - Zustände Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung[edit | edit source]

Bisher haben wir vollständig darstellungsfrei gerechnet! Nun soll die darstellungsfreie Rechnung durch Operatoren in expliziten Darstellungen ersetzt werden! Mit $ϕ_{n} (x) = ⟨ x | n ⟩$ und Failed to parse (syntax error): {\displaystyle a:=\frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x}} gilt:

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle a\left( x,\frac{\hbar }{i}\frac{d}{dx} \right){{\phi }_{n}}(x)=\left( \frac{1}{\sqrt{2m\hbar \omega }}\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\frown}$}}{p}-i\sqrt{\frac{m\omega }{2\hbar }}\hat{x} \right){{\phi }_{n}}(x)}

\begin{aligned} \hat{ξ} : = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} \hat{x} \\ ξ : = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} x \end{aligned}

\Rightarrow a (x, \frac{ℏ}{i} \frac{d}{d x}) ϕ_{n} (x) = \frac{1}{i \sqrt{2}} (\hat{ξ} + \frac{d}{d ξ}) ϕ_{n} (ξ)

Dabei gilt: $\begin{aligned} \hat{ξ} : = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} \hat{x} \\ ξ : = \sqrt{\frac{m ω}{2 ℏ}} x \end{aligned}$ sind dimensionslose Größen, die sogenannten Normalkoordinaten! In $\Rightarrow a (x, \frac{ℏ}{i} \frac{d}{d x}) ϕ_{n} (x) = \frac{1}{i \sqrt{2}} (\hat{ξ} + \frac{d}{d ξ}) ϕ_{n} (ξ)$ wird über $(\hat{ξ} + \frac{d}{d ξ})$ der Impulsanteil durch die Ortsdarstellung des Impulsoperators ersetzt. Den Grundzustand gewinnt man leicht aus dem Ansatz $a | ϕ_{0} ⟩ = 0$ mit $| ϕ_{0} ⟩ : = | 0 ⟩$

Wegen $a | 0 ⟩ = 0$ folgt für n=0:

\begin{aligned} 0 = (\hat{ξ} + \frac{d}{d ξ}) ϕ_{0} (ξ) \\ \Rightarrow \frac{d ϕ_{0}}{ϕ_{0}} = - ξ d ξ \end{aligned}

Somit ergibt sich:

\begin{aligned} ϕ_{0} (ξ) = A_{0} e^{(- \frac{ξ^{2}}{2})} \\ A_{0} = {(\frac{m ω}{ℏ π})}^{\frac{1}{4}} \end{aligned}

Wobei sich A0 aus der Normierung ergibt. Der Grundzustand im Oszillator ist also ein Gaußzustand, eine normierte Gaußglocke mit einer Halbwertsbreite, die in $ξ$ enthalten ist. Für die angeregten Zustände gilt:

\begin{aligned} ϕ_{1} (ξ) = a^{+} ϕ_{0} (ξ) = \frac{1}{i \sqrt{2}} (ξ - \frac{d}{d ξ}) ϕ_{0} (ξ) = - \frac{1}{i \sqrt{2}} e^{(\frac{ξ^{2}}{2})} \frac{d}{d ξ} (e^{(- \frac{ξ^{2}}{2})} ϕ_{0} (ξ)) \\ \Rightarrow ϕ_{1} (ξ) = - \frac{1}{i \sqrt{2}} e^{(\frac{ξ^{2}}{2})} \frac{d}{d ξ} (A_{0} e^{(- ξ^{2})}) \\ A_{0} = {(\frac{m ω}{ℏ π})}^{\frac{1}{4}} \end{aligned}

Die angeregten Zustände werden also einfach durch Anwendung des Aufsteigeoperators aus dem Grundzustand erzeugt! Für den n-ten angeregten Zustand (Induktion!) damit:

\begin{aligned} ϕ_{n} (ξ) = \frac{{(a^{+})}^{n}}{\sqrt{n!}} ϕ_{0} (ξ) = \frac{1}{i^{n} \sqrt{2^{n} n!}} {(ξ - \frac{d}{d ξ})}^{n} ϕ_{0} (ξ) = \frac{1}{i^{n}} \frac{A_{0}}{\sqrt{2^{n} n!}} {(- 1)}^{n} e^{(\frac{ξ^{2}}{2})} \frac{d^{n}}{{(d ξ)}^{n}} e^{- ξ^{2}} \\ \frac{A_{0}}{\sqrt{2^{n} n!}} : = A_{n} \\ A_{0} = {(\frac{m ω}{ℏ π})}^{\frac{1}{4}} \\ {(- 1)}^{n} e^{(\frac{ξ^{2}}{2})} \frac{d^{n}}{{(d ξ)}^{n}} e^{- ξ^{2}} : = H_{n} (ξ) e^{- \frac{ξ^{2}}{2}} \end{aligned}

Dabei kann $\frac{1}{i^{n}}$ als Phasenfaktor (für die Wahrscheinlichkeit irrelevant) weggelassen werden und $H_{n}$ bezeichnet die sogenannten Hermiteschen Polynome vom Grad n. Die Eigenzustände des harmonischen Oszillators beinhalten also die Hermité- Polynome

\begin{aligned} ϕ_{n} (ξ) = \frac{1}{i^{n}} \frac{A_{0}}{\sqrt{2^{n} n!}} {(- 1)}^{n} e^{(\frac{ξ^{2}}{2})} \frac{d^{n}}{{(d ξ)}^{n}} e^{- ξ^{2}} \\ \Rightarrow ϕ_{n} (ξ) = \frac{{(\frac{m ω}{ℏ π})}^{\frac{1}{4}}}{\sqrt{{(- 2)}^{n} n!}} H_{n} (ξ) e^{- \frac{ξ^{2}}{2}} \end{aligned}

Explizit lauten diese Hermiteschen Polynome (wie aus obiger Relation berechnet werden kann):

\begin{aligned} H_{0} (ξ) = 1 \\ H_{1} (ξ) = 2 ξ \\ H_{2} (ξ) = 4 ξ^{2} - 2 \\ H_{3} (ξ) = 2 ξ^{3} - 12 ξ \end{aligned}

Letztendlich bezeichnet

{(- 1)}^{n}

die Parität von $ϕ_{n}$

Die Wellenfunktionen im Oszillatorpotenzial (die Wurzeln der Wahrscheinlichkeiten) werden folgendermaßen schematisch dargestellt:

Für das Wasserstoffatom ergeben sich als Wellenfunktion die Kugelflächenfunktionen ${Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ)$ .

Bei Polardiagrammen gibt dabei der Betrag des Radiusvektors, der das Diagramm zeichnet $r = {| {Y_{l}}^{m} (ϑ, ϕ) |}^{2}$ das Betragsquadrat der Kugelflächenfunktion an. Also die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons im Kraftfeld des Protons. Dabei gibt es für verschiedene Drehimpulsquantenzahlen L verschiedene Wellenfunktionen zum gleichen Energieeigenwert. Die Niveaus sind (ohne den Spin) L+1 - fach entartet! die Charakterisierung erfolgt durch die magnetische Quantenzahl m

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 :<math>-\left[ {{a}^{+}},\hat{H} \right]=\left( a\hat{H} \right)\acute{\ }*-\left( \hat{H}a \right)*=\hbar \omega {{a}^{+}}</math>
-Well mcaadmaia nuts, how about that.
+=====Verallgemeinerung=====
+'''Beweis: Vollständige Induktion:'''
+'''n=1 '''<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{1}} \right]=1</math>
+Sei<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}=\frac{\partial }{\partial {{a}^{+}}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}</math>
+für<math>n\ge 1</math>
+:<math>\begin{align}
+& \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a=a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a{{a}^{+}}-{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}a \\
+& \Rightarrow \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left[ a,{{a}^{+}} \right] \\
+& \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}} \\
+& \Rightarrow \left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}{{a}^{+}}+{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}=\left( n+1 \right){{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \\
+\end{align}</math>
+'''Adjungierte Version:'''
+:<math>\left[ {{a}^{+}},{{a}^{n}} \right]=-n{{\left( a \right)}^{n-1}}=-\frac{\partial }{\partial a}{{\left( a \right)}^{n}}</math>
+Somit gilt für beliebige, in Potenzreihen von Auf- oder Absteiger entwickelbare Funktionen f:
+:<math>\begin{align}
+& \left[ a,f\left( {{a}^{+}} \right) \right]=\frac{\partial }{\partial {{a}^{+}}}f\left( {{a}^{+}} \right) \\
+& \left[ {{a}^{+}},f\left( a \right) \right]=-\frac{\partial }{\partial a}f\left( a \right) \\
+\end{align}</math>
 =====Eigenwerte von H=====
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 \end{align}</math>
-Do you have more great atrilces like this one?
+=====Normierung der Eigenzustände=====
+:<math>{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
+:
+Der Grundzustand sei normiert:
+:<math>\left\langle  0 | 0 \right\rangle =1</math>
+Dann folgt für den n-ten angeregten Zustand:
+:<math>\left| n \right\rangle ={{\alpha }_{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
+mit Normierungsfaktor <math>{{\alpha }_{n}}</math>
+:
+:<math>\begin{align}
+& 1=!=\left\langle  n | n \right\rangle ={{\left| {{\alpha }_{n}} \right|}^{2}}\left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle  \\
+& \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle  \\
+\end{align}</math>
+wegen
+:<math>\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right]=n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}</math>
+Somit:
+:<math>\begin{align}
+& \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}\left( {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right)\left| 0 \right\rangle =\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle +n\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle  \\
+& \left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =0 \\
+& \Rightarrow n\left\langle  0 \right|{{a}^{n-1}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}a\left| 0 \right\rangle =n\left( n-1 \right)\left\langle  0 \right|{{a}^{n-2}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-2}}a\left| 0 \right\rangle \Rightarrow ...\Rightarrow  \\
+\end{align}</math>
+Dieser Algorithmus wird n- mal angewendet:
+:<math>\Rightarrow \left\langle  0 \right|{{a}^{n}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a\left| 0 \right\rangle =n!\left\langle  0  |  0 \right\rangle =n!</math>
+Somit folgt bis auf einen willkürlichen Phasenfaktor:
+:<math>\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle </math>
+für NORMIERTE EIGENZUSTÄNDE des harmonischen Oszillators
+und diese gehören zu den Energiewerten
+:<math>\begin{align}
+& {{E}_{n}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right) \\
+& \hat{H}\left| n \right\rangle ={{E}_{n}}\left| n \right\rangle  \\
+\end{align}</math>
+<u>'''Quantensprechweise:'''</u>
+:<math>{{E}_{n}}-{{E}_{n-1}}=\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)-\hbar \omega \left( n-1+\frac{1}{2} \right)=\hbar \omega </math>
+ist die Energie eines "Schwingungsquants". Man sagt auch, es IST ein Schwingungsquant!
+:<math>\left| n \right\rangle </math>
+ist ein Zustand mit n Schwingungsquanten (Phononen) der Frequenz <math>\omega </math>
+:<math>a</math>
+ist der Vernichtungsoperator für Schwingungsquanten
+:<math>{{a}^{+}}</math>
+der Erzeugungsoperator für Schwingungsquanten
+:<math>\begin{align}
+& a\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}a{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}\left\{ {{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}}a+\left[ a,{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n}} \right] \right\}\left| 0 \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}n{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n-1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n}\left| n-1 \right\rangle  \\
+& {{a}^{+}}\left| n \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{n!}}{{\left( {{a}^{+}} \right)}^{n+1}}\left| 0 \right\rangle =\sqrt{n+1}\left| n+1 \right\rangle  \\
+\end{align}</math>
 =====Teilchenzahloperator=====
@@ Line 229: / Line 322: @@
 :<math>\hat{H}\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( {{a}^{+}}a+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle =\hbar \omega \left( n+\frac{1}{2} \right)\left| n \right\rangle </math>
-Hey, youre the goto expert. Thanks for hagnnig out here.
+=====Veranschaulichung=====
+Die folgende Grafik demonstriert die äquidistanten Energieniveaus im Oszillatorpotenzial. Dabei werden die stationären Zustände <math>{{\left| \phi (x) \right|}^{2}}</math>
+dargestellt, also als Aufenthaltswahrscheinlichkeit
+Die Bewegung eines Wellenpaketes im Harmonischen Oszillator, also im x²- Potenzial für <math>\sigma =\frac{0,5{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,
+ also mit einem <math>\sigma <\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>,
+ wobei <math>\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
+das <math>\sigma </math>
+des Grundzustands darstellt, sieht folgendermaßen aus:
+Es ist das <math>\sigma =\frac{{{\sigma }_{0}}}{\sqrt{2}}</math>
+für die kohärenten / Glauber - Zustände
+Das heißt: Die Standardabweichung des quantenmechanischen Oszillators ist kleiner als bei Berechnung über Glauberzustände (kohärente Zustände)
 =====Zusammenhang mit der Ortsdarstellung=====

Der harmonische Oszillator: Difference between revisions

Latest revision as of 13:25, 9 August 2011

Contents

Verallgemeinerung[edit | edit source]

Eigenwerte von H[edit | edit source]

Normierung der Eigenzustände[edit | edit source]

Teilchenzahloperator[edit | edit source]

Veranschaulichung[edit | edit source]

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung[edit | edit source]

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Der harmonische Oszillator: Difference between revisions

Latest revision as of 13:25, 9 August 2011

Verallgemeinerung[edit | edit source]

Eigenwerte von H[edit | edit source]

Normierung der Eigenzustände[edit | edit source]

Teilchenzahloperator[edit | edit source]

Veranschaulichung[edit | edit source]

Zusammenhang mit der Ortsdarstellung[edit | edit source]

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