Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Zeitunabhängige Schrödinger- Gleichung und stationäre Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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$i\hslash \dot{\mathrm{\Psi }}(\overline{r},t)=\hat{H}\mathrm{\Psi }$ist (Schrödinger- Bild) eine Schrödingergleichung mit dem zeitunabhängigen Hamiltonoperator $\hat{H}$

Es ergibt sich ein Anfangs- bzw. Randwertproblem:

Die Anfangsbedingung $\mathrm{\Psi }(\overline{r},0)$ist gegeben.

Aus der Normierbarkeit folgt:

$\begin{array}{rl}& \underset{R^3}{\overset{}{\int }}{|\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|}^2{d}^{3}r<\mathrm{\infty }\\ & \Rightarrow |\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|\to 0f\ddot{u}r\left|\overline{r}\right|\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}$

Eine spezielle Lösung findet man über den Separationsansatz:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Psi }(\overline{r},t)=\varphi (\overline{r})+T(t)\\ & i\hslash \varphi \dot{T}=T\hat{H}\varphi \\ & i\hslash \varphi \frac{\dot{T}}{T}=\frac{\hat{H}\varphi }{\varphi }\\ \end{array}$

da in der letzten Zeile rechts nur Abhängigkeit vom Ort und links nur Abhängigkeit von der Zeit vorliegt, kann diese Übereinstimmung nur gelten, wenn beide Seiten für sich konstant sind. Also:

$i\hslash \varphi \frac{\dot{T}}{T}=\frac{\hat{H}\varphi }{\varphi }=E=const.$

Also:

$\begin{array}{rl}& \dot{T}=-\frac{i}{\hslash }ET\\ & \hat{H}\varphi (\overline{r})=E\varphi (\overline{r})\\ \end{array}$

Wir finden eine Lösung für den zeitabhängigen Teil:

$T_E(t)=c{e}^{-\frac{i}{\hslash }Et}$und erhalten gleichzeitig eine zeitunabhängige Schrödingergleichung: $\hat{H}\varphi (\overline{r})=E\varphi (\overline{r})$

Somit haben wir als Eigenwertproblem des Hamilton- Operators:

$\hat{H}\varphi (\overline{r})=E\varphi (\overline{r})$die Energie- Eigenfunktionen ${\varphi }_E(\overline{r})$und die Energie- Eigenwerte E. Dies sind die möglichen Meßwert der Observablen "Energie".

Die Energie- Eigenzustände lauten:

${\mathrm{\Psi }}_E(\overline{r},t)=e^{-\frac{i}{\hslash }Et}{\varphi }_E(\overline{r})$

Diese heißen stationäre Zustände, da die zugehörige Wahrscheinlichkeitsdichte

${|{\mathrm{\Psi }}_E(\overline{r},t)|}^2={|{\varphi }_E(\overline{r})|}^2$zeitunabhängig ist.

Also: Die Wahrscheinlichkeit bleibt erhalten!! (wegen Normierbarkeit!) Nebenbemerkung: Die Wellenfunktion ${\mathrm{\Psi }}_E(\overline{r},t)=e^{-\frac{i}{\hslash }Et}{\varphi }_E(\overline{r})$selbst ist natürlich zeitabhängig, da die Materiewelle mit

$\omega =\frac{E}{\hslash }$oszilliert. Dies gilt auch mit Potenzial (mit Potenzial nimmt die Ozsillationsfrequenz sogar zu, da die Energie steigt!)

Weiterhin sind jedoch alle Erwartungswerte von Observablen (nicht die Observablen selbst, sondern ihre Erwartungswerte!) innerhalb von Eigenzuständen (und nur in diesen) zeitunabhängig:

$⟨F(\hat{\overline{p}},\hat{\overline{r}})⟩=\underset{}{\overset{}{\int }}{\mathrm{\Psi }}_E*(\overline{r},t)F(\hat{\overline{p}},\hat{\overline{r}}){\mathrm{\Psi }}_E(\overline{r},t)d^{3}r=\underset{}{\overset{}{\int }}{\varphi }_E(\overline{r})*F(\hat{\overline{p}},\hat{\overline{r}}){\varphi }_E(\overline{r})=\underset{}{\overset{}{\int }}{\varphi }_E(\overline{r})*F(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla },\hat{\overline{r}}){\varphi }_E(\overline{r})$

Insbesondere gilt:

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{p}}⟩=0\\ & \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{r}}⟩=0\\ \end{array}$

Ehrenfest- Theorem

Nach dem Ehrenfestschen Theorem (Siehe III: Statistische Physik) gilt mit

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{p}}⟩=0\\ & \frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{r}}⟩=0\\ \end{array}$

auch

$\begin{array}{rl}& ⟨\hat{\overline{p}}⟩=m\frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{r}}⟩=0\\ & ⟨\mathrm{\nabla }V⟩=-\frac{d}{dt}⟨\hat{\overline{p}}⟩=0\\ \end{array}$

Bemerkungen 1. Die Energie- Eigenwerte E des Hamilton- Operators $\hat{H}=\frac{1}{2m}{(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A}(\hat{\overline{r}},t))}^2+V$ sind reell. Beweis: Nach § 1.4 gilt:

$\{\mathrm{\Psi }*\hat{H}\mathrm{\Psi }-\left(\hat{H}\mathrm{\Psi }\right)*\mathrm{\Psi }\}=-i\hslash \mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}$

$\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\{\mathrm{\Psi }*\hat{H}\mathrm{\Psi }-\left(\hat{H}\mathrm{\Psi }\right)*\mathrm{\Psi }\}{d}^{3}r=-i\hslash \underset{R^3}{\overset{}{\int }}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}{d}^{3}r=-i\hslash \underset{\partial R^3}{\overset{}{\int }}\overline{j}\cdot d\overline{f}$

Der Rand des R³ liegt jedoch im Unendlichen. Aus Gründen der Normierbarkeit muss der Strom dort jedoch verschwinden. Also gilt:

$\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\{\mathrm{\Psi }*\hat{H}\mathrm{\Psi }-\left(\hat{H}\mathrm{\Psi }\right)*\mathrm{\Psi }\}{d}^{3}r=-i\hslash \underset{R^3}{\overset{}{\int }}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}{d}^{3}r=-i\hslash \underset{\partial R^3}{\overset{}{\int }}\overline{j}\cdot d\overline{f}=0$

Andererseits aber gilt:

$\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\mathrm{\Psi }*\hat{H}\mathrm{\Psi }{d}^{3}r=E$

$\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\left(\hat{H}\mathrm{\Psi }\right)*\mathrm{\Psi }{d}^{3}r=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\left(E\mathrm{\Psi }\right)*\mathrm{\Psi }{d}^{3}r=E*$

Also folgt:

$E=E*$

Für ein komplexes E mit

$E=E_1+i{E}_2$ wäre ${\left|{\mathrm{\Psi }}_E\right|}^2\stackrel{´}{}=e^{2\frac{E_2}{\hslash }t}{\left|{\varphi }_E\right|}^2$und würden für E2 <0 zerfallen (und für E2 > 0 explodieren!)

Somit folgt bereits aus der Kontinuitätsgleichung, dass alle Energieeigenwerte reell sind!! 2. Die Energie- Eigenzustände sind scharf in der Energie, jedoch beliebig unscharf in der Zeit:

$⟨\hat{H}⟩=E$Erwartungswert= Eigenwert

Unschärfe: $\mathrm{\Delta }H:=\sqrt{⟨{(\hat{H}-⟨\hat{H}⟩)}^2⟩}=\sqrt{⟨⟨{\left(\hat{H}\right)}^2⟩-{⟨\hat{H}⟩}^2⟩}=\sqrt{E^2-E^2}=0$ E und t sind wie $\hat{\overline{p}},\hat{\overline{q}}$zueinander konjugierte Variablen, jedoch keine Operatoren! Dies ist analog zur Situation, dass der Impuls in Impuls- Eigenzuständen beliebig scharf ist. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist dann ortsunabhängig (also beliebig unscharf im Ort, also: gleichverteilt!, konstant!):

$⟨\hat{\overline{p}}⟩=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\mathrm{\Psi }*\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }{d}^{3}r=\hslash \overline{k}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}\mathrm{\Psi }*\mathrm{\Psi }{d}^{3}r=\hslash \overline{k}$ scharf

${|\varphi (\overline{r})|}^2=1$unabhängig von r

Dies läuft analog zur klassischen Mechanik. Dort bedingt die Zeittranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion eine Erhaltung der Energie (E Erhaltungsgröße) und die Ortstranslationsinvarianz der Hamiltonfunktion bedingt eine Impulserhaltung. Die Bedingung der Normierbarkeit schränkt die zulässigen Werte der Energie deutlich ein. Randbedingungen à Eigenwertproblem!

Allgemeine Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung

Ein jeder Zustand kann nach stationären Zuständen ${\varphi }_n(\overline{r})$entwickelt werden:

$\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)=\sum _n^{}{c}_n{e}^{-\frac{i}{\hslash }{E}_{n}t}{\varphi }_n(\overline{r})$

Für verschiedene En ist dies jedoch kein stationärer Zustand mehr: Also ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung zeitabhängig: zeitabhängig!!

$\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)$ist kein Energie- Eigenzustand!

Die Entwicklungskoeffizienten $c_n$lassen sich durch die Anfangsbedingungen bestimmen:

$\mathrm{\Psi }(\overline{r},0)=\sum _n^{}{c}_n{\varphi }_n(\overline{r})\begin{array}{c}!\\ =\\ \\ \end{array}{\mathrm{\Psi }}_0(\overline{r})$

Falls $\{{\varphi }_n(\overline{r})\}$ein vollständiges Orthonormalsystem darstellt, kann jede stückweise steige Funktion nach den stationären Zuständen${\varphi }_n(\overline{r})$entwickelt werden: Orthonormierung: $\begin{array}{rl}& \underset{R^3}{\overset{}{\int }}{\varphi }_m*(\overline{r}){\varphi }_n(\overline{r})d^{3}r={\delta }_{nm}\Rightarrow \sum _n{c}_n\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{\varphi }_m*(\overline{r}){\varphi }_n(\overline{r})d^{3}r=\sum _n{c}_n{\delta }_{nm}=c_m\\ & \sum _n{c}_n\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{\varphi }_m*(\overline{r}){\varphi }_n(\overline{r})d^{3}r=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{\mathrm{\Psi }}_0(\overline{r}){\varphi }_m*(\overline{r})d^{3}r=c_m\\ \end{array}$ Man sagt: Durch die Anfangsbedingung können die Entwicklungskoeffizienten "herausprojiziert" werden. P.S:: Dies ist im Dirac- Formalismus wesentlich einfacher!!