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Line 1: |
| {{Scripthinweis|Elektrodynamik|1}}
| | <noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|1|0}}</noinclude> |
| ===Kontinuitätsgleichung===
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| =Coulomb- Wechselwirkung=
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| <u>'''Experimentelle Grundtatsachen'''</u>
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| * Materie trägt als skalare Eigenschaften Masse und elektrische Ladung
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| '''Masse:'''
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| * Gravitations- Wechselwirkung ( Newton: 1643 - 1727 )
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| Kraft auf Masse
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| <math>{{m}_{2}}</math> | |
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| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{2}}</math>
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| , ausgeübt von Masse
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| <math>{{m}_{1}}</math>
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| | |
| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{1}}</math>
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| | |
| :
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{F}}}_{g}}^{(2)}=-\gamma \frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|}^{2}}}{{{\bar{e}}}_{12}} \\
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| & {{{\bar{e}}}_{12}}:=\frac{{{{\bar{r}}}_{2}}-{{{\bar{r}}}_{1}}}{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|} \\
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| \end{align}</math>
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| Wegen:
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| <math>\gamma ,{{m}_{1}},{{m}_{2}}>0</math>
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| wird dem Phänomen Rechnung getragen, dass Gravitation stets anziehend wirkt.
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| Festlegung von
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| <math>\gamma </math>
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| durch Wahl einer willkürlichen Einheit kg für Masse:
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| <math>\gamma =6,67\cdot {{10}^{-11}}\frac{N{{m}^{2}}}{k{{g}^{2}}}</math>
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| schwere Masse = träge Masse:
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| <math>\Rightarrow 1N=1\frac{kg\cdot m}{{{s}^{2}}}</math>
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| '''Coulomb- Wechselwirkung ( C. Coulomb 1736-1806)'''
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| Kraft auf Ladung
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| <math>{{q}_{2}}</math>
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| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{2}}</math>
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| , ausgeübt von Masse
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| <math>{{q}_{1}}</math>
| |
| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{1}}</math>
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| :
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\bar{F}}}_{e}}^{(2)}=k\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|}^{2}}}{{{\bar{e}}}_{12}} \\
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| & {{{\bar{e}}}_{12}}:=\frac{{{{\bar{r}}}_{2}}-{{{\bar{r}}}_{1}}}{\left| {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right|} \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \gamma >0 \\
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| & {{q}_{1}},{{q}_{2}}_{>}^{<}0 \\
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| \end{align}</math>
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| <math>{{q}_{1}}{{q}_{2}}>0</math>
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| -> Abstoßung
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| <math>{{q}_{1}}{{q}_{2}}<0</math>
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| -> Anziehung
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| Festlegung von k durch Wahl einer willkürlichen Einheit Coulomb [C] für die elektrische Ladung:
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| <math>k=8,988\cdot {{10}^{9}}\frac{N{{m}^{2}}}{{{C}^{2}}}</math>
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| <math>\Rightarrow </math>
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| Einheit des elektrischen Stromes: 1 Ampere
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| <math>\left[ A \right]=1\frac{C}{s}</math>
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| '''Bemerkungen'''
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| * je nach Wahl von k ergeben sich verschiedene Einheitssysteme ( Maßsysteme):
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| # '''SI'''
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| System International d´ Unites , seit 1.1.1978 verbindlich
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| m, kg, s, A -> MKSA
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| K
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| mol
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| cd ( Candela) -> Lichtstärke
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| historisch bedingte Schreibweise:
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| <math>k=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}</math>
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| mit der absoluten dielektrischen Konstanten
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| <math>{{\varepsilon }_{0}}=8,854\cdot {{10}^{-12}}\frac{{{C}^{2}}{{s}^{2}}}{kg{{m}^{3}}}</math>
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| # '''Gauß: k=1 ( Miller) CGS- System'''
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| <math>{{F}_{e}}=\frac{{{q}_{1}}{{q}_{2}}}{{{r}^{2}}}</math>
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| Elektrostatische Ladungseinheit:
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| <math>\begin{align}
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| & 1ESE=1\sqrt{dyn}\cdot cm \\
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| & 1C=3\cdot {{10}^{9}}ESE \\
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| \end{align}</math>
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| # Ladungen e1 = e2 = 1 ESE im Abstand r = 1cm üben die Kraft
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| # <math>1dyn=1\frac{g\cdot cm}{{{s}^{2}}}</math>
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| # aufeinander aus
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| * Sehr zweckmäßig bei mikroskopischen Rechnungen, da Coulombgesetz einfacher
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| * unzweckmäßig in der phänomenologischen Elektrodynamik, da Ladungseinheit
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| * <math>1ESE=1\sqrt{dyn}\cdot cm</math>
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| *
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| '''Gute Umrechungstabellen: Vergl. Jackson'''
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| '''Weitere Bemerkungen'''
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| # Das Coulombgesetz gilt bis zu Abständen
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| # <math>r>{{10}^{-11}}cm</math>
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| #
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| Bei kleineren Abständen sind quantenelektrodynamische Korrekturen nötig
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| # Die gesamte Ladung eines abgeschlossenen Systems ist konstant. Aber: Paarerzeugung von positiver und negativer Ladung und lokale Ladungstrennung ist möglich.
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| # Ladung tritt quantisiert auf:
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| Elementarladung:
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| <math>e=1,6\cdot {{10}^{-19}}C</math>
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| Schwere Elementarteilchen ( Hadronen)sind aus Quarks mit Ladungen
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| <math>-\frac{1}{3}e</math>
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| oder
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| <math>+\frac{2}{3}e</math>
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| zusammengesetzt , aber Quarks wurden bisher nicht als freie Teilchen beobachtet
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| # Die Ausdehnung der geladenen Elementarteilchen ist
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| # <math><{{10}^{-13}}cm</math>
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| # . Also erfolgt die makroskopische Beschreibung mit dem Punktladungsmodell.
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| = Elektrisches Feld und Potenziale=
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| Lineare Superposition ( 4. Newtonsches Prinzip) der Kräfte der Ladungen
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| <math>{{q}_{i}}</math>
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| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>
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| ,i=1,2,... auf die Ladung
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| <math>{{q}_{{}}}</math>
| |
| bei
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| <math>{{\bar{r}}_{{}}}</math>
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| :
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| <math>{{\bar{F}}_{e}}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{q{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>
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| | |
| Darüber wird das elektrische Feld definiert:
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| <math>q\cdot \bar{E}\equiv {{\bar{F}}_{e}}^{(2)}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{q{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>
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| | |
| Also:
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| <math>\bar{E}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{{{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}^{2}}}\frac{\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}}{\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right|}</math>
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| Warum ist die Elektrodynamik eine Feldtheorie ?
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| * Die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von physikalischen Wechselwirkungen ( maximal mit c) ist universell. Das Feld als Medium für die Übertragung physikalischer Wechselwirkungen ersetzt ein Modell des Austauschs im Sinne einer Nahwirkung statt einem Austauschmodell.
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| * Das Feld
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| * <math>\bar{E}(\bar{r})</math>
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| * ist der PHYSIKALISCHE Zustand des leeren Raumes bei
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| * <math>\bar{r}</math>
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| * .
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| * Eigenständige FELDDYNAMIK ( partielle Diffgl.) zur Beschreibung der endlich schnellen Ausbreitung ( Retardierungseffekte)
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| * Feld muss IMPULS, DREHIMPULS und ENERGIE aufnehmen und abgeben können.
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| Einheit:
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| <math>\begin{align}
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| & \left[ E \right]=\frac{N}{C}=\frac{kgm}{C{{s}^{2}}}=\frac{V}{m} \\
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| & 1V:=1\frac{kg{{m}^{2}}}{C{{s}^{2}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Das Volt ist benannt nach A. Volta ( 1745 - 1887)
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| Die Messung des elektrischen Feldes erfolgt durch Einbringung einer Probeladung:
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| Dabei sollte q-> 0, damit keine Rückwirkung auf
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| <math>{{q}_{i}}</math>
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| erfolgt.
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| Unter Berücksichtigung des Selbstkonsistenzproblems müsste man also schreiben:
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| <math>\left[ \bar{E}(\bar{r}) \right]=\begin{matrix}
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| \lim \\
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| q\to 0 \\
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| \end{matrix}\frac{1}{q}\bar{F}(\bar{r})</math>
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| <u>'''Das Elektrostatische Potenzial'''</u>
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| Mit
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| <math>\begin{align}
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| & \nabla \frac{1}{r\acute{\ }}=-\frac{1}{r{{\acute{\ }}^{3}}}\bar{r}\acute{\ } \\
| |
| & r\acute{\ }:=\left| \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right| \\
| |
| \end{align}</math>
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| Läßt sich schreiben:
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{E}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}{{|}^{3}}}\left( \bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r}) \\
| |
| & \Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}|} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Mit dem elektrostatischen Potenzial
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| <math>\Phi (\bar{r}):=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{i}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}}{|\bar{r}-{{{\bar{r}}}_{i}}|}</math>
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| , Einheit : 1 V
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| <u>'''Kontinuierliche Ladungsverteilung'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & {{q}_{i}}\to {{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ }) \\
| |
| & \sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\to \int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho }(\bar{r}\acute{\ }) \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Mit der Ladungsdichte
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| <math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
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| . Diese muss beschränkt sein und
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| <math>O\left( {{r}^{-3-\varepsilon }} \right),\varepsilon >0</math>
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| für
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| <math>r\to \infty </math>
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| .
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| Es wird
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| Bei Verteilung von Punktladungen:
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| <math>\rho (\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\delta (\bar{r}\acute{\ }-{{\bar{r}}_{i}})=\sum\limits_{i}^{{}}{{}}{{q}_{i}}\prod\limits_{j=1}^{3}{{}}\delta ({{x}_{j}}\acute{\ }-{{x}_{j}}_{i})</math>
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| '''Quellen des elektrischen Feldes:'''
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| Bei Punktladung q bei
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| <math>\bar{r}\acute{\ }=0\Rightarrow \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{q}{{{r}^{2}}}\cdot \frac{{\bar{r}}}{r}</math>
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| Legt man eine geschlossene Oberfläche S um q, so beobachtet man einen elektrischen Kraftfluss:
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| <math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \oint_{S}{{}}\frac{d\bar{f}\cdot \bar{r}}{{{r}^{3}}}=\oint_{S}{df}{{E}_{n}}(\bar{r})</math>
| |
| als geschl. Flächenintegral über die Normalkomponenten des austretenden elektrischen Feldes
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| <math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{df}\left| \bar{E}(\bar{r}) \right|\cos \Theta </math>
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| | |
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| <math>d\bar{f}</math>
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| entspricht einem Raumwinkel
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| <math>d\Omega :d\bar{f}\cdot \bar{r}=df\cdot r\cdot \cos \Theta ={{r}^{3}}d\Omega </math>
| |
| | |
| <math>{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \oint_{S}{{}}d\Omega =\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| | |
| <math>\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=q</math>
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| Dies kann leicht auf kontinuierliche Ladungsverteilungen verallgemeinert werden:
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| | |
| <math>\Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
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| | |
| Der Fluß des elektrischen Feldes einer von
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| <math>S=\partial V</math>
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| eingeschlossenen Gesamtladung
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| '''Integralform '''des Coulomb- Gesetzes
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| <u>'''Der Gaußsche Integralsatz'''</u>
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| <math>\oint_{\partial V}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rdiv\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)}</math>
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| wichtig: einfach zusammenhängendes Gebiet !
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\rho \left( {\bar{r}} \right)}={{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right) \\
| |
| & \Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die untere, differenzielle Form gilt deshalb, da die obere, integral Form für beliebige Volumina V gilt.
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| | |
| <math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
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| | |
| sagt jedoch nichts anderes als dass die Ladungen die Quellen des elektrischen Feldes sind.
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| Dies ist allgemeingültig uns gilt insbesondere auch für nichtstationäre
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| <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right),\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
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| <u>'''Äquivalente Aussagen der Elektrostatik'''</u>
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| #
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| # <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>
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| # besitzt ein skalares Potenzial
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| # <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math>
| |
| #
| |
| #
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| # <math>\int_{1}^{2}{d\bar{s}}\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)</math>
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| # , also gerade die Arbeit, eine Ladung q=1 von 1 nach 2 zu bringen ist wegunabhängig
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| #
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| # <math>\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=0</math>
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| # : Das statische elektrische Feld ist wirbelfrei
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| Es gilt:
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| <math>1)\Leftrightarrow 2)\Leftrightarrow 3)</math>
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| '''Beweis:'''
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| <math>1)\Leftrightarrow 3)</math>
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| <u>'''Stokescher Satz:'''</u>
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| <math>0=\oint_{\partial F}{d\bar{s}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\int_{F}^{{}}{\nabla \times \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)d\bar{f}}</math>
| |
| für beliebige Flächen F mit einer Umrandung
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| <math>\partial F</math>
| |
| .
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| | |
| =Poisson- Gleichung und Greensche Funktion=
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| <math>\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=-\nabla \Phi (\bar{r})</math>
| |
| in
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| <math>\nabla \cdot \bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
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| liefert:
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| | |
| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
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| | |
| Dies ist nicht anderes als die berühmte Poisson- Gleichung
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| Eine partielle DGL zur Berechnung des elektrischen Potenzials für eine vorgegebene Ladungsverteilung.
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| '''Die Eindeutigkeit kommt aus den Randbedingungen:'''
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| '''Entweder:'''
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| 1)
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| <math>\Phi (\bar{r})\to 0</math>
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| hinreichend rasch für
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| <math>r\to \infty </math>
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| | |
| oder
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| 2)
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| <math>\Phi (\bar{r})</math>
| |
| sei gegeben auf Flächen im Endlichen, Beispielsweise Leiteroberflächen
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| | |
| '''Lösung zu 1):'''
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| | |
| <math>\Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
| |
| für hinreichend rasch abfallendes
| |
| <math>\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| '''Einsetzen in Poisson- Gleichung:'''
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| | |
| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}{{\Delta }_{r}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{\Delta }_{r}}\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
| |
| , falls Integration und Differenziation vertauschbar, also über verschiedene Koordinaten ausgeführt wird.
| |
| | |
| Man definiere für ein festes
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| , dass
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| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{s}:=\bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}={{\nabla }_{s}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| :
| |
| Also:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}={{\nabla }_{S}}\left( {{\nabla }_{S}}\frac{1}{s} \right)=-{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{2}}}\frac{{\bar{s}}}{s}=-\frac{1}{{{s}^{3}}}{{\nabla }_{S}}\bar{s}-\bar{s}{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{3}}} \\
| |
| & {{\nabla }_{S}}\bar{s}=3 \\
| |
| & \Rightarrow {{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{s}^{3}}}{{\nabla }_{S}}\bar{s}-\bar{s}{{\nabla }_{S}}\frac{1}{{{s}^{3}}}=-\frac{3}{{{s}^{3}}}+\frac{1}{{{s}^{3}}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies ist aber ein Widerspruch zu
| |
| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( {\bar{r}} \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}</math>
| |
| | |
| Grund ist , dass die Vertauschung von
| |
| <math>{{\Delta }_{r}}</math>
| |
| und
| |
| <math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
| |
| sowie auch die obige Umformung nicht erlaubt ist für
| |
| <math>\bar{r}=\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| , also s=0 ( Singularität!!)
| |
| | |
| Stattdessen für beliebige V:
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| | |
| | |
| | |
| Nun kann man
| |
| <math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}</math>
| |
| mit
| |
| <math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
| |
| vertauschen.
| |
| Dies ist erlaubt, falls der Integrand von
| |
| <math>\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}</math>
| |
| nach der Vertauschung stetig ist !:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|} \\
| |
| & {{\nabla }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}} \\
| |
| & \oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega } \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| aber:
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }=4\pi </math>
| |
| , falls
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }\in V</math>
| |
| | |
| <math>\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}}\frac{\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }{{|}^{3}}}=\int_{{}}^{{}}{d\Omega }=0</math>
| |
| falls
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }\notin V</math>
| |
| | |
| Somit:
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| <math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}}r\Delta \Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)\oint\limits_{\partial V}{d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Mathematisch streng gilt im Distributionen- Sinn:
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| <math>{{\Delta }_{r}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-4\pi \delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>
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| Mit Hilfe der delta- Distribution, die auf eine Testfunktion anzuwenden ist !
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| <u>'''Greensche Funktion der Poisson- Gleichung'''</u>
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| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
| |
| Invertierung
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| <math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
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| | |
| Mit dem Greenschen Operator
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| <math>\hat{G}</math>
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| :
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| Eine Fourier- Transformation von
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| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
| |
| liefert
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| <math>-{{k}^{2}}\tilde{\Phi }=-\frac{{\tilde{\rho }}}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow </math>
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| Man kann schreiben:
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| <math>\begin{align}
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| & \tilde{\Phi }=\tilde{\hat{G}}\tilde{\rho } \\
| |
| & \tilde{\hat{G}}:=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Die einfache Fourier- Transformierte Form von
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| <math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\hat{G}\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| , nur dass der Fourier- transformierte Greens- Operator angegeben werden kann.
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| Die Rücktransformation löst dann die Poiisson-gleichung:
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| | |
| <math>\Rightarrow \Phi (\bar{r})=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Es gilt:
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| | |
| <math>{{\Delta }_{r}}\hat{G}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Das heißt, die Greensfunktion ist eine Lösung der Poissongleichung für eine Punktladung q=1 an
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| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| :
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| Insbesondere bei speziellen Randbedingungen
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| | |
| <math>\begin{matrix}
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| \lim \\
| |
| \bar{r}\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>
| |
| | |
| ist die Greensfunktion dann:
| |
| | |
| <math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
| |
| | |
| Denn
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| | |
| <math>{{\Delta }_{r}}G=\Delta \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| | |
| Für eine beliebige Ladungsverteilung
| |
| <math>\rho </math>
| |
| ist also die Lösung der Poissongleichung
| |
| | |
| <math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }</math>
| |
| | |
| wobei die Identität insgesamt nur für die Randbedingungen
| |
| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| \bar{r}\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\Phi (\bar{r})=0</math>
| |
| gilt, ansonsten ist G durch die andern Randbdingungen festgelegt.
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| | |
| =Elektrische Multipolentwicklung=
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| | |
| Betrachtet man räumlich begrenzte Ladungsverteilungen
| |
| <math>\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| in der Nähe des Ursprungs
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }=0</math>
| |
| , so kann man sich Gedanken machen um das asymptotische Verhalten von
| |
| <math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}{{d}^{3}}r\acute{\ }</math>
| |
| für
| |
| <math>r\to \infty </math>
| |
| :
| |
| Methode: Der Integrand wird als Taylorreihe entwickelt für
| |
| <math>r>>r\acute{\ }</math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})</math>
| |
| | |
| Also
| |
| | |
| <math>\Phi (\bar{r})=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })\rho (\bar{r}\acute{\ }){{d}^{3}}r\acute{\ }=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{{{\left( -1 \right)}^{l}}}{l!}\int_{{}}^{{}}{d_{^{{}}}^{3}r\acute{\ }}{{\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r}} \right)}^{l}}G(\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| | |
| explizit für unsere Situation:
| |
| | |
| <math>G(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{|\bar{r}|}</math>
| |
| | |
| <math>\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}={{\left( {{r}^{2}}-2rr\acute{\ }\cos \vartheta +r{{\acute{\ }}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
| |
| | |
| Wobei
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| <math>\vartheta </math>
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| den Winkel zwischen
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| <math>\bar{r}</math>
| |
| und
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| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
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| bezeichnet.
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| Betrachtet man die hierbei entstehende Reihe, die für
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| <math>r\acute{\ }<r</math>
| |
| und
| |
| <math>\left| \cos \vartheta \right|=\left| \xi \right|<1</math>
| |
| konvergiert, so definiert diese Reihe gerade die sogenannten Kugelfunktionen ( Legendre- Polynome):
| |
| <math>{{P}_{l}}(\xi )</math>
| |
| :
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| | |
| <math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\xi )</math>
| |
| | |
| Also sind die Legendre- Polynome gerade definiert über ihre Eigenschaft, als Entwicklungsfunktionen einer Potenzreihe ( Taylorreihe) multipliziert mit
| |
| <math>{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}</math>
| |
| in jeweils l-ter Ordnung die Funktion
| |
| <math>{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\xi +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
| |
| zu ergeben, die wiederum das r- Fache von
| |
| <math>\frac{1}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}=\frac{1}{r}{{\left( 1-2\frac{r\acute{\ }}{r}\cos \vartheta +{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}}</math>
| |
| ist.
| |
| Also:
| |
| | |
| <math>{{P}_{l}}(\xi )=\frac{1}{l!}\left( \frac{{{\partial }^{l}}}{\partial {{t}^{l}}}{{\left( 1-2t\xi +{{t}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right)</math>
| |
| | |
| Insbesondere folgt damit:
| |
| | |
| <math>{{P}_{l}}(\xi )=\frac{1}{l!}\left( \frac{{{\partial }^{l}}}{\partial {{t}^{l}}}{{\left( 1-2t\xi +{{t}^{2}} \right)}^{-\frac{1}{2}}} \right)</math>
| |
| | |
| und speziell:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{P}_{0}}(\xi )=1 \\
| |
| & {{P}_{1}}(\xi )=\xi =\cos \vartheta \\
| |
| & {{P}_{2}}(\xi )=\frac{1}{2}\left( 3{{\xi }^{2}}-1 \right)==\frac{1}{4}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta +1 \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
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| | |
| <math>\Phi (\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{r}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{\left( \frac{r\acute{\ }}{r} \right)}^{l}}{{P}_{l}}(\cos \vartheta )=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}{{Q}_{l}}{{r}^{-l-1}}</math>
| |
| | |
| Mit
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| | |
| <math>{{Q}_{l}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }r{{\acute{\ }}^{l}}\rho (\bar{r}\acute{\ }){{P}_{l}}(\cos \vartheta )</math>
| |
| als 2<sup>l</sup>- Pol
| |
| Die Multipolentwicklung ( Entwicklung nach 2<sup>l</sup>- Polen) entspricht also einer Entwicklung ach Potenzen von r !!
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| | |
| Für stark lokalisierte Ladungsverteilungen ( r´<<r) konvergiert die Reihe jedoch sehr schnell !
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| Man erhält sehr schnelle Konvergenz für dezentrale Ladungsverteilungen, wenn man für
| |
| * Punktladungen bis zum Monopol entwickelt
| |
| * Ladungsverteilungen entlang einer Geraden bis zum Dipol entwickelt
| |
| * Ladungsverteilungen in einem Rechteck bis zum Quadrupol entwickelt usw...
| |
| | |
| <math>l=0</math>
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| :
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| | |
| <math>{{\Phi }^{(0)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{0}}}{r}</math>
| |
| | |
| <math>{{Q}_{0}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| sogenannter Monopol ( die Gesamtladung).
| |
| Der Monopol entspricht dem Feld einer Gesamtladung, die im Ursprung zentriert ist. Er fällt am langsamsten ab, die Ladungsverteilung wirkt in großer Entfernung wie eine Punktladung
| |
| | |
| '''l=1:'''
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| | |
| <math>{{\Phi }^{(1)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{{{r}^{3}}}</math>
| |
| | |
| <math>{{Q}_{1}}=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r\acute{\ }\cos \vartheta =\frac{\bar{p}\cdot \bar{r}}{r}</math>
| |
| | |
| Mit dem Dipolmoment
| |
| | |
| <math>\bar{p}:=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| | |
| Das Dipolpotenzial fällt also
| |
| <math>\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{2}}}</math>
| |
| ab.
| |
| Das Dipolmoment ist der wichtigste Term für insgesamt neutrale Körper (
| |
| <math>{{Q}_{0}}=0</math>
| |
| ).
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| | |
| <u>'''Beispiel: 2 Punktladungen q, -q '''</u> bei
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| <math>{{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}}</math>
| |
| :
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \rho (\bar{r}\acute{\ })=q\left[ \delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{1}} \right)-\delta \left( \bar{r}\acute{\ }-{{{\bar{r}}}_{2}} \right) \right] \\
| |
| & {{Q}_{0}}=0 \\
| |
| & \bar{p}=q\left( {{{\bar{r}}}_{1}}-{{{\bar{r}}}_{2}} \right)=q\cdot \bar{a} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Feld des Dipolpotenzials:'''
| |
| | |
| <math>{{E}_{i}}=-\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}\frac{{{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{{{r}^{3}}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left[ \frac{3{{x}_{i}}\cdot {{p}_{k}}\cdot {{x}_{k}}}{r5}-{{\delta }_{ik}}\frac{{{p}_{k}}}{{{r}^{3}}} \right]</math>
| |
| | |
| <math>\Rightarrow E(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{5}}}\left[ 3\left( \bar{p}\cdot \bar{r} \right)\bar{r}-{{r}^{2}}\bar{p} \right]</math>
| |
| | |
| Im Fernfeld für r gegen unendlich gilt damit:
| |
| | |
| <math>\Rightarrow E(\bar{r})\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>
| |
| | |
| '''l=2:'''
| |
| | |
| <math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{Q}_{2}}}{{{r}^{3}}}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{Q}_{2}}=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })r{{\acute{\ }}^{2}}\left( 3{{\cos }^{2}}\vartheta -1 \right)=\frac{1}{2}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}} \right) \\
| |
| & \frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}\frac{\bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r}}{r}=\frac{{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{k}}{{x}_{l}}\acute{\ }{{x}_{l}}}{{{r}^{2}}} \\
| |
| & \Rightarrow {{Q}_{2}}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{l}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dieses Objekt ist jedoch ein Tensor zweiter Stufe. Demnach erhalten wir einen Tenor zweiter Stufe als Quadrupolmoment:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{Q}_{2}}=\frac{1}{2{{r}^{2}}}{{Q}_{kl}} \\
| |
| & \int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{k}}\acute{\ }{{x}_{l}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{kl}} \right)={{Q}_{kl}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>{{Q}_{kl}}</math>
| |
| ist ein spurfreier und symmetrischer Tensor:
| |
| | |
| <math>\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}{{Q}_{ii}}=\sum\limits_{i=1}^{3}{{}}\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3{{x}_{i}}\acute{\ }{{x}_{i}}\acute{\ }-\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}{{\delta }_{ii}} \right)=\int_{-\infty }^{\infty }{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho (\bar{r}\acute{\ })\left( 3\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}}-3\bar{r}{{\acute{\ }}^{2}} \right)=0</math>
| |
| | |
| Dies ist jedoch gerade damit gleichbedeutend, dass eine orthogonale Transformation auf Diagonalform existiert:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{Q}_{kl}}=0f\ddot{u}r\quad k\ne l \\
| |
| & {{Q}_{11}}+{{Q}_{22}}+{{Q}_{33}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Somit existieren nur noch 2 unabhängige Komponenten des Quadrupolmoments. Der Rest ergibt sich durch die Spurfreiheit !
| |
| | |
| Für das Potenzial ergibt sich:
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| | |
| <math>{{\Phi }^{(2)}}(\bar{r})=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{2{{r}^{5}}}{{Q}_{kl}}{{x}_{k}}{{x}_{l}}=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{\bar{r}\cdot \bar{\bar{Q}}\cdot \bar{r}}{2{{r}^{5}}}\tilde{\ }\frac{1}{{{r}^{3}}}</math>
| |
| | |
| <u>'''Beispiel: 2 entgegengesetzte Dipole:'''</u>
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| | |
| = Die elektrostatische Feldenergie=
| |
| | |
| Kraft:
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{F}(\bar{r})=q\bar{E}(\bar{r})=-q\nabla \Phi (\bar{r}) \\
| |
| & \Rightarrow V(\bar{r})=\Phi (\bar{r}) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| ist die potenzielle Energie ! einer Ladung im Feld
| |
| <math>\bar{E}(\bar{r})</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>{{W}_{ij}}={{q}_{i}}\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{{{q}_{j}}}{|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}|}={{W}_{ji}}</math>
| |
| | |
| ist die Energie der Ladung
| |
| <math>{{q}_{i}}</math>
| |
| an
| |
| <math>{{\bar{r}}_{i}}</math>
| |
| im Feld der Ladung
| |
| <math>{{q}_{j}}</math>
| |
| an
| |
| <math>{{\bar{r}}_{j}}</math>
| |
| . ( In ihrem Potenzial)
| |
| Die gesamte potenzielle Energie eines Systems von Ladungen q1.... ergibt sich demnach durch Summation:
| |
| | |
| <math>W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
| |
| i,j \\
| |
| i\ne j
| |
| \end{smallmatrix}}^{{}}{{}}{{W}_{ij}}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\sum\limits_{\begin{smallmatrix}
| |
| i,j \\
| |
| i\ne j
| |
| \end{smallmatrix}}^{{}}{{}}\frac{{{q}_{i}}{{q}_{j}}}{|{{{\bar{r}}}_{i}}-{{{\bar{r}}}_{j}}|}={{W}_{ji}}</math>
| |
| | |
| und bei einer kontinuierlichen Ladungsverteilung:
| |
| | |
| <math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}=\frac{1}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\rho (\bar{r})\rho (\bar{r}\acute{\ })}{|\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }|}</math>
| |
| | |
| <math>W=\frac{1}{2}\int_{{}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\rho (\bar{r}){{d}^{3}}r}</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| <math>\rho (\bar{r})={{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}</math>
| |
| | |
| folgt:
| |
| | |
| <math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\Phi (\bar{r})\nabla \cdot \bar{E}{{d}^{3}}r}=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\nabla \cdot \left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right){{d}^{3}}r}-\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\left( \nabla \Phi (\bar{r}) \right)\cdot \bar{E}{{d}^{3}}r} \right]</math>
| |
| | |
| Mit Hilfe des Gaußschen Satz folgt dann:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\left[ \int_{{{S}_{\infty }}}^{{}}{\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)d\bar{f}}+\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r} \right] \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| r\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\left( \Phi (\bar{r})\bar{E} \right)=0 \\
| |
| & \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| da die Größen ~ 1/3 bzw. 1/r² gehen
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>W=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{{\bar{E}}}^{2}}(\bar{r}){{d}^{3}}r}=\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{{d}^{3}}rw(\bar{r})}</math>
| |
| | |
| Somit folgt für die Energiedichte des elektromagnetischen Feldes:
| |
| | |
| <math>w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\bar{E}}^{2}}(\bar{r})</math>
| |
| | |
| Die Selbstenergie einer Punktladung ergibt sich zu
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \left| \bar{E}(\bar{r}) \right|=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{r}^{2}}} \\
| |
| & w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| und die Gesamtenergie ist folglich:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & W=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}w(\bar{r})=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}{{\left( \frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}} \right)}^{2}}4\pi \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}} \\
| |
| & \int_{0}^{\infty }{{{r}^{2}}dr}\frac{1}{{{r}^{4}}}=\int_{0}^{\infty }{dr}\frac{1}{{{r}^{2}}}=\left[ \frac{1}{r} \right]_{0}^{\infty }\to \infty \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dies divergiert jedoch !!
| |
| Beim Übergang von Punktladungen zu kontinuierlichen Ladungsverteilungen wird
| |
| <math>i\ne j</math>
| |
| nicht mehr ausgeschlossen. Das bede4utet, zusätzlich zur Wechselwirkungsenergie wird die Energie berücksichtigt, die Zum Aufbau der Punktladung durch Zusammenführung aus dem Unendlichen benötigt wird, mitgenommen.
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| | |
| Dies ist jedoch bei einer Punktladung unendlich viel. Also ist der begriff der P8unktladung in einem Widerspruch zum feldtheoretischen Begriff der Energiedichte ( wen wunderts ?)
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| | |
| =Leiter in der Elektrostatik=
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| | |
| Elektrischer Leiter = Materie, mit quasi frei beweglichen Elektronen. Ein elektrisches Feld im Inneren eines Leiters übt dann eine Kraft auf die frei beweglichen Elektronen aus:
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| | |
| <math>\bar{F}(\bar{r})=q\bar{E}(\bar{r})</math>
| |
| | |
| | |
| Dadurch werden die Ladungen verschoben.
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| Es folgt, dass ein kompensierendes Feld
| |
| <math>\bar{E}\acute{\ }(\bar{r})</math>
| |
| aufgebaut wird, bis
| |
| <math>\bar{F}=0</math>
| |
| , also
| |
| <math>\bar{E}\acute{\ }-\bar{E}=0</math>
| |
| :
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| | |
| Anfangssituation:
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| | |
| Endsituation:
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| | |
| Für das Innere des Leiters folgt:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{{\bar{E}}}^{res.}}(\bar{r})=0 \\
| |
| & {{{\bar{E}}}^{res.}}(\bar{r})=-\nabla \Phi (\bar{r})=0 \\
| |
| & \Rightarrow \Phi (\bar{r})=const \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| im Inneren des Leiters.
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| | |
| Man sagt: die Leiteroberfläche ist eine sogenannte Äquipotenzialfläche !
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| | |
| Allgemein gilt:
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| | |
| <math>\bar{E}(\bar{r})\bot \Phi (\bar{r})=const</math>
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| | |
| Somit steht das elektrische Feld immer senkrecht auf der Leiteroberfläche !
| |
| Vor allem beim Übergang zwischen einem Leiter und dem Vakuum !
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| | |
| Allgemein gilt:
| |
| | |
| <math>{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r})=\rho (\bar{r})</math>
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| | |
| Hier:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \bar{E}(\bar{r})=0 \\
| |
| & \Rightarrow \rho (\bar{r})=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Das heißt: es existieren keine elektrischen Ladungen im Inneren eine Leiters !
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| | |
| '''Flächenladungsdichte'''
| |
| auf Leiteroberflächen:
| |
| | |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\nabla \cdot \bar{E}(\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho (\bar{r})=\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\bar{E}(\bar{r}) \\
| |
| & V=d\bar{f}\cdot \Delta s \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Mit
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & d\bar{f}\to 0 \\
| |
| & \Delta s\to 0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}}\bar{E}(\bar{r})\to df\bar{n}\cdot \bar{E} \\
| |
| & \bar{n}\cdot \bar{E}=E,da \\
| |
| & \bar{n}\quad Normalenvektor\ \bar{n}||\bar{E} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho (\bar{r})\to df\rho (\bar{r})\Delta s \\
| |
| & \rho (\bar{r})\Delta s=\sigma (\bar{r}) \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| = Flächenladungsdichte !!
| |
| | |
| Also gilt für das elektrische Feld auf der Leiteroberfläche:
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| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}\rho (\bar{r})\to df\rho (\bar{r})\Delta s \\
| |
| & E(\bar{r})=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\sigma (\bar{r})\bar{n} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Allgemein gilt für Flächenladungen:
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| | |
| | |
| <math>En\acute{\ }\acute{\ }-En\acute{\ }=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\sigma (s)</math>
| |
| | |
| Man bezeichnet
| |
| <math>En\acute{\ }\acute{\ }-En\acute{\ }</math>
| |
| als Flächendivergenz analog zur "Volumendivergenz"
| |
| <math>\nabla \cdot \bar{E}=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho (\bar{r})</math>
| |
| | |
| Dies ist ein Sprung der Normalkomponente von
| |
| <math>\bar{E}</math>
| |
| beim Durchgang durch eine geladene Fläche
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| | |
| Die Tangentialkompoente von E dagegen ist stetig beim Durchgang durch geladene Flächen
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| '''Beweis:'''
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| | |
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| | |
| <math>\oint\limits_{\partial F}{{}}\bar{E}d\bar{s}=\int_{F}^{{}}{\nabla \times }\bar{E}d\bar{f}=0</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & F=dl\cdot dh \\
| |
| & dl\to 0 \\
| |
| & dh\to 0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Rightarrow \left( Et\acute{\ }\acute{\ }-Et\acute{\ } \right)dl=0 \\
| |
| & \Rightarrow Et\acute{\ }\acute{\ }-Et\acute{\ }=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <math>En\acute{\ }\acute{\ }-En\acute{\ }=\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\sigma (s)</math>
| |
| | |
| <u>'''Randwertaufgaben der Elektrostatik mit Leitern'''</u>
| |
| | |
| # <u>'''Grundaufgabe:'''</u>
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| | |
| Gegeben sind Leiter
| |
| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
| |
| mit den Oberflächen
| |
| <math>{{S}_{\alpha }}</math>
| |
| | |
| <math>\alpha =1,2,..,n</math>
| |
| , die auf den Potenzialen
| |
| <math>{{\Phi }_{\alpha }}</math>
| |
| liegen.
| |
| Die Raumladungsdichte im Außenraum V ist
| |
| <math>\rho (\bar{r})</math>
| |
| .
| |
| Gesucht ist
| |
| <math>\Phi (\bar{r})</math>
| |
| als Lösung der Poissongleichung
| |
| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho (\bar{r})</math>
| |
| | |
| zu den gegebenen Randbedingungen
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{S\alpha }}={{\Phi }_{\alpha }} \\
| |
| & \begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| r\to \infty \\
| |
| \end{matrix}\Phi (\bar{r})=0 \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| außerdem: Gesamtladungen
| |
| <math>{{Q}_{\alpha }}</math>
| |
| auf den Leitern.
| |
| Dies ist das Dirichletsche Randwertproblem
| |
| Beispiel: 2 Leiterschleifen mit Potenzial Phi1/ Phi 2 auf den Oberflächen S1 und S2, die im Außenraum V mit der Ladungsdichte
| |
| <math>\rho (\bar{r})</math>
| |
| liegen.
| |
| | |
| '''Formale Lösung:'''
| |
| | |
| <math>\Phi (\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\int_{S\alpha }^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
| |
| | |
| Dabei ist die Greensche Funktion
| |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| die Lösung von
| |
| <math>\Delta G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta (\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })</math>
| |
| zu den Randbedingungen
| |
| | |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\begin{smallmatrix}
| |
| \bar{r}\in S\alpha \\
| |
| \bar{r}\acute{\ }\in V
| |
| \end{smallmatrix}}}=0</math>
| |
| | |
| <math>\begin{matrix}
| |
| \lim \\
| |
| r\to \infty \\
| |
| \end{matrix}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0</math>
| |
| | |
| Somit ist
| |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| das Potenzial am Ort
| |
| <math>\bar{r}</math>
| |
| einer Punktladung am Ort
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }</math>
| |
| .
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| | |
| Beweis:
| |
| | |
| Aus dem Gaußschen Satz
| |
| | |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \bar{v}=}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \bar{v}}</math>
| |
| | |
| folgt mittels der Funktion
| |
| | |
| <math>\bar{v}=\phi \nabla \psi </math>
| |
| :
| |
| | |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \left( \phi \nabla \psi \right)=}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \cdot \left( \phi \nabla \psi \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \phi \nabla \psi +\phi \Delta \psi }</math>
| |
| | |
| <math>\bar{v}=\psi \nabla \phi </math>
| |
| | |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \left( \psi \nabla \phi \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \phi \nabla \psi +\psi \Delta \phi }</math>
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| '''Greenscher Satz:'''
| |
| | |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \left( \phi \nabla \psi -\psi \nabla \phi \right)}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\phi \Delta \psi -\psi \Delta \phi }</math>
| |
| | |
| Nun kann man einsetzen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \phi \left( {\bar{r}} \right):=G(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ }) \\
| |
| & \psi \left( {\bar{r}} \right):=\Phi (\bar{r}) \\
| |
| & \partial V=\bigcup\limits_{\alpha =1}^{n}{{{S}_{\alpha }}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Bleibt zu zeigen:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\Rightarrow \\
| |
| & \Phi (\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\int_{S\alpha }^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| | |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-}\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}}\Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\left[ \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\Phi (\bar{r})\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}rG\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho (\bar{r})} \right]}</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\nabla }_{r}}\Phi (\bar{r})=0\quad wegen\quad G{{\left. {} \right|}_{\bar{r}\in S\alpha }}=0} \\
| |
| & \int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\Phi (\bar{r})\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\Phi (\bar{r}\acute{\ })} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Für'''
| |
| <math>\int_{\partial V}^{{}}{d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
| |
| setzen wir
| |
| <math>-\int_{\bigcup\limits_{\alpha =1}^{n}{{{S}_{\alpha }}}}^{{}}{d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
| |
| | |
| Dies führt deshalb zu einem Vorzeichenwechsel, da
| |
| <math>d\bar{f}</math>
| |
| stets nach außen zeigt .
| |
| | |
| Also:
| |
| | |
| <math>\Phi (\bar{r}\acute{\ })=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}</math>
| |
| | |
| Zeige:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi (\bar{r})=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\int_{S\alpha }^{{}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)} \\
| |
| & \Rightarrow \Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| im Inneren von V und
| |
| | |
| <math>\Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{S\alpha }}={{\Phi }_{\alpha }}</math>
| |
| , erfüllt also die Randbedingungen.
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{\Delta }_{r\acute{\ }}}\Phi (\bar{r}\acute{\ })=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\Delta }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}{{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & {{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & \delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0,da\ \bar{r}\in S\alpha ,\bar{r}\acute{\ }\in V-\partial V \\
| |
| & \Rightarrow {{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}{{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0 \\
| |
| & {{\Delta }_{r\acute{\ }}}\Phi (\bar{r}\acute{\ })=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\Delta }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)=-\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)}\rho \left( {\bar{r}} \right)=-\frac{\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)}{{{\varepsilon }_{0}}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Dabei
| |
| | |
| <math>{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}{{\Delta }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)</math>
| |
| als Anteil der Lösung, die die homogene Poissongleichung lösen, ohne Ladungsdichte
| |
| | |
| <math>\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{\Delta }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( {\bar{r}} \right)</math>
| |
| dagegen löst gerade die inhomogene Poisson- Gleichung
| |
| | |
| '''Randbedingungen:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\rho \left( {\bar{r}} \right)+{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }} \\
| |
| & G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\rho \left( {\bar{r}} \right)=0 \\
| |
| & \Rightarrow \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}={{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha =1}^{n}{{{\Phi }_{\alpha }}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{\partial V}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Auch hier: Vorzeichenwechsel, da df nach außen zeigt:
| |
| | |
| | |
| Das Innere der Ellipse ist die Leiterfläche , die vom Leiter
| |
| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
| |
| eingeschlossene Fläche .
| |
| Mit dem Gaußschen Satz folgt:
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{\partial V}^{{}}{{}}d\bar{f}\cdot \Phi (\bar{r}){{\nabla }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }} \\
| |
| & =-{{\varepsilon }_{0}}\left[ \int_{\partial V}^{{}}{{}}d\bar{f}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\cdot {{\nabla }_{r}}\Phi (\bar{r})+\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}{{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)-G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}{{\Delta }_{r}}\Phi (\bar{r}) \right)} \right] \\
| |
| & G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}{{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right)=}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\left( -\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right) \right)} \\
| |
| & =\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\left( \Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \right)}=\Phi (\bar{r}\acute{\ }){{\left. {} \right|}_{\bar{r}\acute{\ }\in S\beta }}={{\Phi }_{\beta }} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| '''Ladung:'''
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & Q=\oint\limits_{S\alpha }{df\sigma ={{\varepsilon }_{0}}}\oint\limits_{S\alpha }{df\bar{n}\cdot \bar{E}} \\
| |
| & df\bar{n}=d\bar{f} \\
| |
| & \Rightarrow Q={{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{d\bar{f}\cdot \bar{E}}=-{{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{d\bar{f}\cdot \nabla \Phi } \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| <u>'''Konstruktion der Greenschen Funktion'''</u>
| |
| | |
| Für Leiteroberflächen mit hoher Symmetrie bietet sich die Methode der Bildladungen an ! ( Spiegelladungsmethode).
| |
| Dabei wählt man eine fiktive Bildladung q´ bei
| |
| <math>\bar{r}\acute{\ }\acute{\ }</math>
| |
| im Leiter, so dass das Potenzial beider Ladungen auf der Leiteroberfläche verschwindet: q´=-q
| |
| | |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\left( \frac{1}{\left| r-r\acute{\ } \right|}-\frac{1}{\left| r-r\acute{\ }\acute{\ } \right|} \right)</math>
| |
| | |
| | |
| | |
| | |
| # <u>'''Grundaufgabe'''</u>
| |
| | |
| Gegeben: Gegeben sind Leiter
| |
| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
| |
| mit den Oberflächen
| |
| <math>{{S}_{\alpha }}</math>
| |
| | |
| <math>\alpha =1,2,..,n</math>
| |
| , die mit
| |
| <math>{{Q}_{\alpha }}</math>
| |
| geladen sind.
| |
| Die Raumladungsdichte im Außenraum V ist
| |
| <math>\rho (\bar{r})</math>
| |
| .
| |
| Gesucht:
| |
| Gesucht ist
| |
| <math>\Phi (\bar{r})</math>
| |
| als Lösung der Poissongleichung
| |
| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\rho (\bar{r})</math>
| |
| | |
| und
| |
| <math>{{\Phi }_{\alpha }}</math>
| |
| .
| |
| Lösung:
| |
| | |
| Das Problem kann auf die erste Grundaufgabe zurückgeführt werden durch Ausnutzung eines Zusammenhangs zwischen
| |
| <math>{{\Phi }_{\alpha }}</math>
| |
| und
| |
| <math>{{Q}_{\alpha }}</math>
| |
| :
| |
| | |
| Es gilt:
| |
| | |
| <math>{{Q}_{\alpha }}=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}\quad \alpha =1,..,n</math>
| |
| | |
| Mit den Kapazitätskoeffizienten
| |
| <math>{{C}_{\alpha \beta }}</math>
| |
| .
| |
| | |
| '''Beweis:'''
| |
| | |
| <math>{{Q}_{\alpha }}=-{{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot \nabla \Phi (\bar{r})</math>
| |
| | |
| <math>\begin{align}
| |
| & {{Q}_{\alpha }}=-{{\varepsilon }_{0}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)=-{{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{\Phi }_{\beta }}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & {{Q}_{\alpha }}=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{L\alpha }^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\int_{V}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }{{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)\rho \left( \bar{r}\acute{\ } \right)-\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{\Phi }_{\beta }}{{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{{{S}_{\alpha }}}{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & {{\Delta }_{r}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=-\frac{1}{{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=0\quad f\ddot{u}r\quad \bar{r}\in {{L}_{\alpha }},\bar{r}\acute{\ }\in V, \\
| |
| & {{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{{{S}_{\alpha }}}{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=:-{{C}_{\alpha \beta }} \\
| |
| & \Rightarrow {{Q}_{\alpha }}=-\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{\Phi }_{\beta }}{{\varepsilon }_{0}}^{2}\oint\limits_{{{S}_{\alpha }}}{{}}d\bar{f}\cdot {{\nabla }_{r}}}\oint\limits_{{{S}_{\beta }}}{{}}d\bar{f}\acute{\ }\cdot {{\nabla }_{r\acute{\ }}}G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}} \\
| |
| \end{align}</math>
| |
| | |
| Aus der Symmetrie
| |
| | |
| <math>G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right)=G\left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right)</math>
| |
| | |
| was aus der Greenschen Formel folgt mit
| |
| <math>\begin{align}
| |
| & \psi =G\left( \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right) \\
| |
| & \phi =G\left( \bar{r}\acute{\ }-\bar{r} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| folgt
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| <math>{{C}_{\alpha \beta }}={{C}_{\beta \alpha }}</math>
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| Einheit der Kapazität ist
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| <math>1F=1\frac{C}{V}=1Farad</math>
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| nach M. Faraday , 1791-1867
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| Betrachte speziell einen einzelnen Leiter mit Potenzial
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| <math>{{\Phi }_{l}}</math>
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| :
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| Für die Kapazität des Leiters gilt dann:
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| <math>C=\frac{Q}{{{\Phi }_{l}}}</math>
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| '''Beispiel: Plattenkondensator:'''
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| Zwei Kondensatorplatten befinden sich auf dem Potenzial
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| <math>{{\Phi }_{1}},{{\Phi }_{2}}</math>
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| :
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| Es gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & {{Q}_{1}}={{C}_{11}}{{\Phi }_{1}}+{{C}_{12}}{{\Phi }_{2}} \\
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| & {{Q}_{1}}={{C}_{21}}{{\Phi }_{1}}+{{C}_{22}}{{\Phi }_{2}} \\
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| & {{C}_{12}}={{C}_{21}}=C\acute{\ } \\
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| & 1\leftrightarrow 2Symmetrie \\
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| & \Rightarrow {{C}_{11}}={{C}_{22}}=C \\
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| \end{align}</math>
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| Spezialfall: Q1+Q2=0
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow Q=C{{\Phi }_{1}}+C\acute{\ }{{\Phi }_{2}} \\
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| & -Q=C\acute{\ }{{\Phi }_{1}}+C{{\Phi }_{2}} \\
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| & \Rightarrow 0=(C+C\acute{\ })({{\Phi }_{1}}+{{\Phi }_{2}})\Rightarrow C=-C\acute{\ }=\frac{Q}{{{\Phi }_{1}}-{{\Phi }_{2}}}\quad (1) \\
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| \end{align}</math>
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| Das E-Feld existiert fast nur zwischen den Platten
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| Also:
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| <math>\begin{align}
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| & \sigma =\frac{Q}{F}={{\varepsilon }_{0}}E=const.\quad (2) \\
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| & \Rightarrow \Phi (x)=-Ex+{{\Phi }_{0}} \\
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| & \Rightarrow {{\Phi }_{1}}-{{\Phi }_{2}}=E({{x}_{2}}-{{x}_{1}})\quad (3) \\
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| & ({{x}_{2}}-{{x}_{1}}):=a \\
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| & \Rightarrow C=-C\acute{\ }=\frac{Q}{{{\Phi }_{1}}-{{\Phi }_{2}}}=\frac{Q}{Ea}={{\varepsilon }_{0}}\frac{F}{a} \\
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| \end{align}</math>
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| Betrachten wir nun die Lösung der zweiten Grundaufgabe:
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| <math>{{C}_{\alpha \beta }}={{C}_{\beta \alpha }}</math>
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| ist eine positiv definite Matrix und damit nicht singulär. Also können wir die Inverse suchen:
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| <math>{{\Phi }_{\alpha }}=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{{C}_{\alpha \beta }}^{-1}{{Q}_{\beta }}}</math>
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| Eingesetzt in die Lösung der ersten Grundaufgabe liefert dies
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| <math>\Phi (\bar{r})</math>
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| für gegebene
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| <math>{{Q}_{\beta }},\rho (\bar{r})</math>
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| Damit ist dann die zweite Grundaufgabe gelöst !
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| '''Energie '''des Feldes im Außenraum:
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| für
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| <math>\rho (\bar{r})=0</math>
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| :
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| <math>W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r{{(\bar{E}(\bar{r}))}^{2}}}</math>
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| Betrachten wir nun eine differenzielle Änderung der Randbedingungen auf den
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| <math>{{L}_{\alpha }}</math>
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| :
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| <math>\begin{align}
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| & {{Q}_{\alpha }}\to {{Q}_{\alpha }}+\delta {{Q}_{\alpha }} \\
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| & {{\Phi }_{\alpha }}\to {{\Phi }_{\alpha }}+\delta {{\Phi }_{\alpha }} \\
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| \end{align}</math>
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| Lösung
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| <math>\Phi (\bar{r})\to \Phi (\bar{r})+\delta \Phi (\bar{r})</math>
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| Räumliche Anordnung ungeändert ermöglicht die Vertauschung von
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| <math>\delta ,\nabla </math>
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| ''':'''
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| <math>\Delta \Phi (\bar{r})=0\Rightarrow \Delta \delta \Phi (\bar{r})=0</math>
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| in V ( Außenraum)
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| <math>\bar{E}(\bar{r})=-\nabla \Phi (\bar{r})\Rightarrow \delta \bar{E}(\bar{r})=-\nabla \delta \Phi (\bar{r})</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow \delta W=\frac{{{\varepsilon }_{0}}}{2}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r(2\bar{E}(\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}))=-}{{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r(\nabla \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}))} \\
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| & (\nabla \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}))=\nabla \left( \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}) \right)-\Phi (\bar{r})\nabla \delta \bar{E}(\bar{r}) \\
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| & \nabla \cdot \delta \bar{E}(\bar{r})=\delta \nabla \cdot \bar{E}(\bar{r})=0,da\ \rho =0 \\
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| \end{align}</math>
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| im Außenraum !
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| <math>\Rightarrow \delta W=-{{\varepsilon }_{0}}\int_{V}^{{}}{{{d}^{3}}r\nabla \left( \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}) \right)=}{{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\left( \Phi (\bar{r})\delta \bar{E}(\bar{r}) \right)</math>
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| Als Umformung mit dem Gaußschen Satz
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| Auch hier: Vorzeichenwechsel, da df an allen
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| <math>S\alpha </math>
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| in den Außenraum nach außen zeigt:
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| Wegen
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| <math>\Phi (\bar{r}){{\left. {} \right|}_{S\alpha }}={{\Phi }_{\alpha }}</math>
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| <math>\Rightarrow \delta W={{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\delta \bar{E}(\bar{r})=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\delta {{Q}_{\alpha }}</math>
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| '''Mit'''
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| <math>{{Q}_{\alpha }}=\sum\limits_{\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}\quad \alpha =1,..,n</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \Rightarrow \delta W={{\varepsilon }_{0}}\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\oint\limits_{S\alpha }{{}}d\bar{f}\delta \bar{E}(\bar{r})=\sum\limits_{\alpha }^{{}}{{{\Phi }_{\alpha }}}\delta \sum\limits_{\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\beta }}=\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\alpha }}{{C}_{\alpha \beta }}\delta {{\Phi }_{\beta }} \\
| |
| & \sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\alpha }}{{C}_{\alpha \beta }}\delta {{\Phi }_{\beta }}=\frac{1}{2}\left\{ \sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\beta }}{{C}_{\beta \alpha }}\delta {{\Phi }_{\alpha }}+\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{\Phi }_{\alpha }}{{C}_{\alpha \beta }}\delta {{\Phi }_{\beta }} \right\} \\
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| & {{C}_{\beta \alpha }}={{C}_{\alpha \beta }} \\
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| & \Rightarrow \delta W=\frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}\left\{ {{\Phi }_{\beta }}\delta {{\Phi }_{\alpha }}+{{\Phi }_{\alpha }}\delta {{\Phi }_{\beta }} \right\}=\delta \left\{ \frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\alpha }}{{\Phi }_{\beta }} \right\} \\
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| \end{align}</math>
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| Damit ist jedoch die Feldenergie gefunden als
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| <math>W=\left\{ \frac{1}{2}\sum\limits_{\alpha ,\beta =1}^{n}{{}}{{C}_{\alpha \beta }}{{\Phi }_{\alpha }}{{\Phi }_{\beta }} \right\}</math>
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