Der Hamiltonsche kanonische Formalismus

Motivation

Die Lagrange- Theorie benutzt als dynamische Variablen die verallgemeinerten Koordinaten qk und deren Geschwindigkeiten:

${\begin{aligned}&L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0\\\end{aligned}}$

k=1,..,f

Wir erhalten f DGL 2. Ordnung für qk(t) im Lagrangeformalismus

Bei gewissen Problemstellungen, wenn es beispielsweise zyklische Variablen gibt:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=const$

oder auch bei bestimmten Erweiterungen der Theorie (Quantenmechanik, statistische Mechanik)

ist es vorteilhaft, statt qk und deren Geschwindigkeiten qk und die zu qk konjugierten Impulse zu benutzen.

Die zu den verallgemeinerten Koordinaten konjugierten Impulse lauten:

${{p}_{k}}:={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}$

Die erforderliche Variablentransformation

$\left({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t\right)\to \left({{q}_{k}},{{p}_{k}},t\right)$

leistet die sogenannte Legendre- Transformation.

Im Hamiltonformalismus ergeben sich nun 2f DGL 1. Ordnung für

qk(t) und pk(t)

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Der Hamiltonsche kanonische Formalismus basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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