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| Mechanik Skript zur Vorlesung
| | <noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|2|0}}</noinclude> |
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| von Prof. Dr. Schoell
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| Verfasser:
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| Franz- Josef Schmitt
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| Kapitel 1
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| = Das d'Alembertsche Prinzip =
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| ==Zwangsbedingungen und Zwangskräfte==
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| Ein System von N Massepunkten hat 3N Freiheitsgrade, wenn keine Zwangsbedingungen vorliegen. Die Zahl der Freiheitsgrade wird verringert durch
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| ===Holonome (integrable) Zwangsbedingungen===
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| Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine Zwangsbedingung Lambda gilt:
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| <math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math> | |
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| Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand
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| [[Datei:Dreieck_graph.svg|miniatur|Punkte 1,2,3 mit Abständen <math>l_ij</math>]]
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| <math>{{l}_{ij}}</math>
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| einhalten, so erhalten wir 3 Zwangsbedingungen:
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| <math>\begin{align}
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| & {{f}_{1}}=|{{{\vec{r}}}_{1}}-{{{\vec{r}}}_{2}}|-{{l}_{12}}=0 \\
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| & {{f}_{2}}=|{{{\vec{r}}}_{2}}-{{{\vec{r}}}_{3}}|-{{l}_{23}}=0 \\
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| & {{f}_{3}}=|{{{\vec{r}}}_{1}}-{{{\vec{r}}}_{3}}|-{{l}_{13}}=0 \\
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| \end{align}</math>
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| Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt
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| <math>f=3N-\nu =9-3=6</math>
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| Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen:
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| <math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=|{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N</math>
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| Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen.
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| Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint.
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| Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6.
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| Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle
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| <math>\lambda =1,...,\nu </math>
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| die Zwangsbedingungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden, also
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| <math>\operatorname{Rang}\left( \frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}} \right)=\nu </math>
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| Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für N größer/ gleich drei:
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| {| class="wikitable"
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| |+ Starrer Körper aus N Teilchen
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| |- style="background: #DDFFDD;"
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| ! N
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| ! Hinzukommende Einschränkungen
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| ! Zwangsbed (<math>\nu </math>)
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| ! Freiheitsgrade <math>f=3N-\nu </math>
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| |-
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| ! style="background: #FFDDDD;"| 1
| |
| | 0
| |
| | 0
| |
| | 3
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| |-
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| ! style="background: #FFDDDD;"| 2
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| | 1
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| | 1
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| | 5
| |
| |-
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| ! style="background: #FFDDDD;"| 3
| |
| | 2
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| | 3
| |
| | 6
| |
| |-
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| ! style="background: #FFDDDD;"| 4
| |
| | 3
| |
| | 6
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| | 6
| |
| |-
| |
| ! style="background: #FFDDDD;"| 5
| |
| | 3
| |
| | 9
| |
| | 6
| |
| |-
| |
| ! style="background: #FFDDDD;"|...
| |
| | ..
| |
| | ..
| |
| | ..
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| |-
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| ! style="background: #FFDDDD;"|<math>N \ge 4</math>
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| | 3
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| | 3N-6
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| | 6
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| |}
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| Nun sucht man eine Lösung für die Bewegungsgleichung. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve
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| <math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
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| . Alle Bahnen
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| <math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
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| müssen nun jedoch die
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| <math>\nu </math>
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| unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen:
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| <math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math>
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| ===Nichtholonome Zwangsbedingungen===
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| Das totale Differenzial ( längs der Bahn
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| <math>{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
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| ) läßt sich schreiben:
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| <math>\frac{d{{f}_{\lambda }}}{dt}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
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| In differenzieller Schreibweise gewinnen wir das vollständige Differential:
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| <math>d{{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
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| Nun sind jedoch Nichtholonome Zwangsbedingungen der Art:
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| <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
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| Dies ist eine Pfaffsche Differenzialform. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein integrierender Faktor
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| <math>{{g}_{\lambda }}</math>
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| existiert, so dass
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| <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot d{{{\vec{r}}}_{i}}+{{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)dt=}d{{f}_{\lambda }}\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
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| Gleichbedeutend mit
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| <math>\begin{align}
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| & {{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}={{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }} \\
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| & {{g}_{\lambda }}{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}=\frac{\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t} \\
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| \end{align}</math>
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| Dies kann man wieder so interpretieren, dass beliebige Positionen der Teilchen, also
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| <math>{{\vec{r}}_{i}}(t)\quad i=1...N</math>
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| möglich sind, also
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| <math>{{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},...{{\vec{r}}_{N}}</math>
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| beliebig, jedoch ist die momentane Bewegungsrichtung eingeschränkt. Man sagt auch, die lokalen Bewegungen sind eingeschränkt ( längs der Bahn
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| <math>{{\vec{r}}_{i}}(t)\quad i=1...N</math>
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| )
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| <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
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| Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist
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| <math>d{{\vec{r}}_{i}}(t)</math>
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| durch die momentane Radrichtung bestimmt
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| Es ist weiter zu unterscheiden
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| ====Zeitabhängigkeit====
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| * zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen '''rheonom'''
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| * zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen '''skleronom'''
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| <u>'''Zwangsbedingungen als Ungleichungen'''</u>
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| z.B. bei einem Gas in einem Behälter mit Wänden
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| <u>'''Bewegungsgleichungen'''</u>
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| <math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}}\quad i=1...N</math>
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| diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der Äußeren Kräfte, eine äußere Kraft auf das i-te Teilchen und die Summe über die inneren Kräfte durch Wechselwirkung mit den weiteren j Teilchen, die anwesend sind. Die Summe aller Kräfte nennt man "eingeprägte Kräfte".
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| Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den Nebenbedingungen
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| <math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},{{\vec{r}}_{3}},...{{\vec{r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
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| ( holonom)
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| oder
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| <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot {{{\vec{v}}}_{i}}+{{{\vec{a}}}_{\lambda 0}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
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| (anholonom)
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| zu lösen.
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| Dazu soll die Beschreibung gewechselt werden.
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| Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen ( Zwangsbedingungen) durch Zwangskräfte
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| <math>{{\vec{Z}}_{i}}</math>
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| erzwungen werden.
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| Damit folgt für unsere Bewegungsgleichung:
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| <math>{{m}_{i}}{{\ddot{\vec{r}}}_{i}}(t)={{\vec{F}}_{i}}+\sum\limits_{j}{{{{\vec{F}}}_{ij}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}=:{{{\vec{X}}}_{i}}+{{{\vec{Z}}}_{i}}}\quad i=1...N</math>
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| Beim Beispiel der schiefen Ebene wirkt die Zwangskraft gerade der Normalkraft entgegen und verhindert somit das Fallen des Körpers durch die schiefe Ebene.
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| Es gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & \vec{Z}=mg\cos \vartheta \cdot \left( \begin{matrix}
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| \sin \vartheta \\
| |
| \cos \vartheta \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| & \vec{F}=-mg\cdot \left( \begin{matrix}
| |
| 0 \\
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| 1 \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| & \vec{Z}+\vec{F}=mg\sin \vartheta \cdot \left( \begin{matrix}
| |
| \cos \vartheta \\
| |
| -\sin \vartheta \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| ==Virtuelle Verrückungen==
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| Unter einer virtuellen Verrückung
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| <math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>
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| versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit
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| <math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>
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| die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.
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| Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als
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| <math>d{{\vec{r}}_{i}}</math>
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| im Zeitintervall
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| <math>dt</math>
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| längs der Bahn geschieht.
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| Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.
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| Es gilt folglich
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| <math>\delta {{f}_{\lambda }}=\sum\limits_{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
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| <math>\sum\limits_{i=1}^{N}{{{{\vec{a}}}_{\lambda i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}},t)\cdot \delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu </math>
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| Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition
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| <math>\left\{ \delta t=0 \right\}</math>
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| .
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| Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:
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| <math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>
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| Dabei ist
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| <math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>
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| der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.
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| Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt:
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| <math>\begin{align}
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| & f({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot ({{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N \\
| |
| & df({{{\vec{r}}}_{i}})=\vec{a}\cdot (d{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{v}}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{{\vec{v}}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt} \\
| |
| \end{align}</math>
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| also gilt im Allgemeinen:
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| <math>\vec{a}\cdot d{{\vec{r}}_{i}}=\vec{a}\cdot {{\vec{v}}_{o}}(t)dt\ne 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>
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| aber:
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| <math>\delta f=\vec{a}\cdot \delta {{\vec{r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec{v}}_{o}}(t)=\frac{d{{{\vec{r}}}_{o}}(t)}{dt}</math>
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| Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem
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| <math>{{\vec{r}}_{o}}(t)</math>
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| . Es gilt:
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| <math>\delta {{\vec{r}}_{i}}\bot \vec{a}</math>
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| == D´Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit==
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| Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen ( holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.
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| Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften Zi als:
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| <math>\begin{align}
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| & {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}}={{{\vec{Z}}}_{i}}\quad i=1...N \\
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| & \to \sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}(t)-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)\delta {{{\vec{r}}}_{i}}=}\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Dabei versteht man
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| <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math>
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| als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und
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| <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}</math>
| |
| als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte
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| <u>'''Beispiel: Bewegung auf einer Fläche'''</u>
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| <math>f({{\vec{r}}_{i}},t)=0</math>
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| das ist auf der Ebene gerade durch die Normale auszudrücken:
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| <math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>
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| Annahme: Alle Zwangskräfte stehen senkrecht auf die Fläche:
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\vec{Z}}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{{\vec{r}}}_{1}},{{{\vec{r}}}_{2}},...,{{{\vec{r}}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f \\
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| & {{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.\vec{a}\ f\ddot{u}r\ Ebene \\
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| \end{align}</math>
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| Die Virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet nun:
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| <math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0={{\lambda }_{i}}({{\vec{r}}_{1}},{{\vec{r}}_{2}},...,{{\vec{r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}={{\lambda }_{i}}\delta f</math>
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| Begründung:
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| <math>{{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math>
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| ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen:
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| <math>{{\nabla }_{ri}}f</math>
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| ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche
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| <math>f\delta {{\vec{r}}_{i}}</math>
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| ein Differenzial parallel zur Fläche
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| Also folgt:
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| <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math>
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| Die reale Arbeit der Zwangskräfte verschwindet dagegen im Allgemeinen nicht:
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| <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}d{{{\vec{r}}}_{i}}}\ne 0</math>
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| '''Beispiel: Starrer Körper'''
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| <math>{{f}_{\lambda }}=\left| {{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}} \right|-{{l}_{ij}}:={{r}_{ij}}-{{l}_{ij}}=0</math>
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| Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung
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| <math>{{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}}</math>
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| <math>{{\vec{Z}}_{ij}}={{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}</math>
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| Das Vorgehen läßt sich also folgendermaßen schematisieren:
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| Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung.
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| Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren ( mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren.
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| Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken:
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| <math>{{\vec{Z}}_{ij}}=-{{\vec{Z}}_{ji}}\Rightarrow {{\lambda }_{i{{j}_{{}}}}}={{\lambda }_{ji}}</math>
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| Auf das Teilchen i wirkt also insgesamt die Zwangskraft:
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| <math>{{\vec{Z}}_{i}}=\sum\limits_{j\ne i}{{{Z}_{ij}}}=\sum\limits_{j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}</math>
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| <math>{{\vec{Z}}_{i}}\delta {{\vec{r}}_{i}}\ne 0</math>
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| im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln.
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| Jedoch gilt:
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| <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}\frac{{{{\vec{r}}}_{i}}-{{{\vec{r}}}_{j}}}{{{r}_{ij}}}}{{\delta }_{{}}}{{({{\vec{r}}_{i}}-{{\vec{r}}_{j}})}_{{}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j}{{{\lambda }_{ij}}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math>
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| Beweis:
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| <math>\delta |r|=\delta {{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{2}{{(\vec{r}\cdot \vec{r})}^{-\frac{1}{2}}}2\vec{r}\delta \vec{r}=\frac{\vec{r}\delta \vec{r}}{r}</math>
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| und
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| <math>{{\delta }_{{}}}{{r}_{ij}}=0</math>
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| Allgemein kann man fordern:
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| <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=0</math>
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| für alle betrachteten Zwangskräfte.
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| Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.
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| Somit folgt als dÁlembertsches Prinzip:
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| <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>
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| Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen
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| <u>'''Beispiel für ein Variationsprinzip:'''</u>
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| '''Differentialprinzip: ( für infinitesimal kleine Variationen):'''
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| Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn
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| <math>\left\{ \delta {{{\vec{r}}}_{i}} \right\}</math>
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| .
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| <u>'''Variationsprinzip mit Nebenbedingungen'''</u>
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| Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:
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| <math>\begin{align}
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| & \vec{r}\to {{r}_{j}}(j=1...3) \\
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| & \vec{X}\to {{X}_{j}} \\
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| & \vec{a}\to {{b}_{j}}^{n} \\
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| \end{align}</math>
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| Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:
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| <math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{r}_{i}}}=\sum\limits_{i=1}^{3N}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{r}}}_{i}}-{{X}_{i}} \right)\delta {{r}_{i}}=0}</math>
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| Nebenbedingung:
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| <math>\sum\limits_{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }</math>
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| Nü charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung
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| Dies ist lösbar mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.
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| Denn: Wenn die Vektorkomponenten
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| <math>{{r}_{i}}</math>
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| frei variierbar wären, also
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| <math>\delta {{r}_{i}}</math>
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| beliebig, so müsste gelten:
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| <math>{{m}_{i}}{{\ddot{r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0</math>
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| Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:
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| Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren
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| <math>{{\lambda }_{n}}</math>
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| :
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| Wir erhalten:
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| <math>\sum\limits_{j=1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math>
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| Nun sind
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| <math>\delta {{r}_{1}},\delta {{r}_{2}},...,\delta {{r}_{\nu }}</math>
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| aus den Nebenbedingungen zu eliminieren.
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| Die verbleibenden
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| <math>\delta {{r}_{\nu +1}},...,\delta {{r}_{3N}}</math>
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| sind nun frei variierbar.
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| Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:
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| Es lassen sich
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| <math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math>
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| derart bestimmen, dass
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| <math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0\quad j=1,...,\nu </math>
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| Das heißt, wir suchen die
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| <math>{{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}</math>
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| aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die
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| <math>{{\lambda }_{n}}(t)</math>
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| als Funktion der
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| <math>{{\ddot{r}}_{j}}(t)</math>
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| . Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar.
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| <math>\sum\limits_{j=\nu +1}^{3N}{\left( {{m}_{j}}{{{\ddot{r}}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}} \right)\delta {{r}_{j}}=0}</math>
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| Da hier jedoch die
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| <math>\delta {{r}_{j}}</math>
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| frei variierbar sind, gilt:
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| <math>{{m}_{j}}{{\ddot{r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0</math>
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| Die Lagrange- Gleichung der 1. Art
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| <math>\sum\limits_{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}</math>
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| kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.
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| <u>'''Beispiel Atwoodsche Fallmaschine'''</u>
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| Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g.
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| Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:
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| <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>
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| so folgt:
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| <math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0</math>
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| Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach:
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| <math>\begin{align}
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| & {{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const. \\
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| & \delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}} \\
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| & {{{\ddot{h}}}_{1}}=-{{{\ddot{h}}}_{2}} \\
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| \end{align}</math>
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| Also folgt:
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| <math>({{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0</math>
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| <math>{{m}_{1}}{{\ddot{h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot{h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0</math>
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| <math>{{\ddot{h}}_{1}}=\frac{({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}g</math>
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| Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist:
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| <math>\sum\limits_{i}{{{{\vec{Z}}}_{i}}{{\delta }_{{}}}{{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{m}_{i}}{{{\ddot{\vec{r}}}}_{i}}-{{{\vec{X}}}_{i}} \right)}\delta {{\vec{r}}_{i}}=0</math>
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| ==Generalisierte Koordinaten==
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| Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen
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| <math>{{f}_{\lambda }}({{\vec{r}}_{1}}(t),{{\vec{r}}_{2}}(t),{{\vec{r}}_{3}}(t),...{{\vec{r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f\ddot{u}r\ alle\ t</math>
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| gekoppelte Koordinaten vor ( die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).
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| Somit können die Punktkoordinaten
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| <math>\left\{ {{{\vec{r}}}_{1}}(t),{{{\vec{r}}}_{2}}(t),{{{\vec{r}}}_{3}}(t),...{{{\vec{r}}}_{N}}(t) \right\}</math>
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| nicht unabhängig voneinander variiert werden.
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| <u>'''Ziel:'''</u>
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| Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren:
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| <math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
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| Anschließend können Bewegungsgleichungen für die
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| <math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
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| aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.
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| Wesentlich: Die
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| <math>\left\{ {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right\}\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
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| sind FREI variierbar ! Wegen
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| <math>{{\vec{r}}_{i}}={{\vec{r}}_{i}}\left( {{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t) \right)\quad f=1,2,...3N-\nu </math>
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| sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.
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| <u>'''Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:'''</u>
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| <math>\vec{a}\cdot (\vec{r}-{{\vec{r}}_{o}}(t))=0</math>
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| Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem
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| <math>\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}},\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>
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| Für den Radiusvektor existiert dann eine Verallgemeinerung:
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| <math>\bar{r}={{\bar{r}}_{o}}(t)+{{q}_{1}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{1}}+{{q}_{2}}\bar{e}{{\acute{\ }}_{2}}</math>
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| Somit existiert eine injektive Abbildung der Koordinaten und wir können als generalisierte Koordinaten bestimmen:
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| <math>\left\{ {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right\}</math>
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| , f=2
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| <u>'''Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & \bar{r}=R(\cos \phi {{{\bar{e}}}_{1}}+\sin \phi {{{\bar{e}}}_{2}}) \\
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| & q=\phi \\
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| & f=1 \\
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| \end{align}</math>
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| '''Virtuelle Verrückungen'''
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| müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:
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| <math>\delta {{\bar{r}}_{i}}</math>
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| wird ausgedrückt durch
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| <math>\delta {{q}_{1}},...,\delta qf</math>
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| Betrachten wir eine reale Verrückung ( in der Zeit), so gilt:
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| <math>{{\vec{v}}_{i}}=\frac{d}{dt}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}</math>
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| Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:
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| <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>
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| Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:
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| <math>\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\vec{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{\left\{ \sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}} \right\}\delta q_{j}^{{}}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{{}}</math>
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| Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:
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| <math>{{Q}_{j}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}</math>
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| Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:
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| <math>{{\vec{X}}_{i}}=-{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}},...,{{\bar{r}}_{N}})</math>
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| So folgt:
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| <math>-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}=-\sum\limits_{i}^{{}}{{{\nabla }_{\vec{r}i}}V({{{\bar{r}}}_{1}},{{{\bar{r}}}_{2}},...,{{{\bar{r}}}_{N}})\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}</math>
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| Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !
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| == Lagrangegleichungen 2. Art==
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| Betrachten wir wieder das d Álembertsche Prinzip:
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| <math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{{Q}_{j}}}}\delta {{q}_{j}}</math>
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| Linke Seite:
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| <math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}}} \right)\delta {{q}_{j}}=\sum\limits_{j}{{}}\sum\limits_{i}^{{}}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\dot{\vec{r}}}}_{i}}\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\bar{r}}}_{i}} \right) \right\}\delta {{q}_{j}}_{{}}}</math>
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| Mit
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| <math>\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{\left[ \sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right]}_{{}}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\bar{r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)</math>
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| und
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| <math>{{\dot{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}=\sum\limits_{j=1}^{f}{\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)}{{\dot{q}}_{j}}+\frac{\partial }{\partial t}{{\bar{r}}_{i}}\Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{\vec{v}}_{i}}</math>
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| Beweis für die letzte Deduktion:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)=\sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \\
| |
| & \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left\{ \sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{\partial {{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial }{\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \right\}=\sum\limits_{k=1}^{{}}{\left( \frac{{{\partial }^{2}}{{{\bar{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}{{{\bar{r}}}_{i}} \\
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| \end{align}</math>
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| Somit ergibt sich für die linke Seite
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| <math>\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{j}{{}}\sum\limits_{i}^{{}}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}_{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right) \right\}\delta {{q}_{j}}_{{}}}</math>
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| Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte KINETISCHE ENERGIE auszudrücken:
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| <math>T=\sum\limits_{i}{\frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2}}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}\left( \frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2} \right) \\
| |
| & {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}}=\frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}\left( \frac{1}{2}{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Somit folgt:
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| <math>\left\{ \frac{d}{dt}\left( {{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right)-{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}_{{}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}{{{\vec{v}}}_{i}} \right) \right\}=\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right) \right\}</math>
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| <math>\begin{align}
| |
| & \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\ddot{\bar{r}}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}}=\sum\limits_{i}^{{}}{{{{\vec{X}}}_{i}}\delta {{{\bar{r}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{{Q}_{j}}}}\delta {{q}_{j}} \\
| |
| & \Rightarrow \sum\limits_{j}{\left\{ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right)-{{Q}_{j}} \right\}\delta {{q}_{j}}=0} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in qj völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.
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| Jedes qj ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{j}}}T \right)-{{Q}_{j}}=0 \\
| |
| & \Rightarrow \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}T \right){{-}_{{}}}\left( \frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}T \right)={{Q}_{k\quad \quad k=1,....,f}} \\
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| \end{align}</math>
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| '''Lagrange- Gleichungen 2. Art:'''
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| Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für HOLONOME Zwangsbedingungen gewonnen werden ( im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).
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| Dies liegt daran, dass nur für HOLONOME Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:
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| <u>'''Spezialfall konservative Kräfte:'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & -\frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}}={{Q}_{j}} \\
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| & V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)=V({{{\vec{r}}}_{1}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t),...,{{{\vec{r}}}_{N}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t)) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Dies bedingt jedoch:
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| <math>\frac{\partial V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=0</math>
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| Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:
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| <math>L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot{q}}_{1}},...,{{\dot{q}}_{f}},t)=L({{q}_{k}},{{\dot{q}}_{k}},t)=T-V</math>
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| Es folgt:
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| <math>\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}=0</math>
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| Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !
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| Anmerkung:
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| * die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
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| * L=T-V ist nur EINE mögliche Form
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| *
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| <math>\begin{align}
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| & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left( \sum\limits_{k=1}^{f}{\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial t}} \right)}^{2}}} \\
| |
| & T({{q}_{k}},{{{\dot{q}}}_{k}},t)=a+\sum\limits_{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{{\dot{q}}}_{k}}}+\sum\limits_{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{{\dot{q}}}_{k}}{{{\dot{q}}}_{l}}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| * Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine HOMOGENE Bilinearform in
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| <math>{{\dot{q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)</math>
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| Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:
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| Die Atwoodsche Fallmaschine
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| Generalisierte Koordinate: q
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| <math>\begin{align}
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| & T({{q}_{{}}},{{{\dot{q}}}_{{}}},t)=\frac{1}{2}({{m}_{{{1}_{{}}}}}+{{m}_{2}}){{{\dot{q}}}^{2}} \\
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| & V(q,\dot{q},t)={{m}_{1}}gq+{{m}_{2}}(l-q)g \\
| |
| & \frac{\partial L}{\partial q}={{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g \\
| |
| & \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\dot{q} \\
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| & ({{m}_{1}}+{{m}_{2}})\ddot{q}+{{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g=0 \\
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| & \\
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| \end{align}</math>
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| <u>'''Beispiel 2:'''</u>
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| Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).
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| Generalisierte Koordinate q ist der Winkel
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| <math>\phi </math>
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| :
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| <math>\begin{align}
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| & T({{q}_{{}}},{{{\dot{q}}}_{{}}},t)=\frac{1}{2}m{{c}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
| |
| & V(q,\dot{q},t)=0 \\
| |
| & L=\frac{1}{2}m{{c}^{2}}+\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| Dahin kommt man im Übrigen aus:
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| <math>\begin{align}
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| & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}) \\
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| & x=({{R}_{o}}-ct)\cos \phi \\
| |
| & \dot{x}=-c\cos \phi -({{R}_{o}}-ct)\dot{\phi }\sin \phi =-c\cos q-({{R}_{o}}-ct)\dot{q}\sin q \\
| |
| & y=({{R}_{o}}-ct)\sin \phi \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\dot{q}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}} \\
| |
| & \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}=m\ddot{q}{{({{R}_{o}}^{{}}-ct)}^{2}}-2cm\dot{q}({{R}_{o}}^{{}}-ct) \\
| |
| & \Rightarrow \ddot{q}({{R}_{o}}-ct)=2c{{{\dot{q}}}^{{}}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:
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| <math>\begin{align}
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| & \frac{{\dot{\omega }}}{\omega }=\frac{2c}{{{R}_{o}}-ct} \\
| |
| & \int{\frac{d\omega }{\omega }=2c\int{\frac{dt}{{{R}_{o}}-ct}}} \\
| |
| & \ln \omega =-2\ln ({{R}_{o}}-ct)+const \\
| |
| & \ln \omega =\ln \frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}} \\
| |
| & \omega =\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:
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| Drehimpuls:
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| <math>\begin{align}
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| & \vec{L}=m\vec{v}\times \vec{r} \\
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| & {{{\vec{L}}}_{o}}=m{{\omega }_{o}}^{{}}{{R}_{o}}^{2}\quad {{v}_{o}}={{\omega }_{o}}{{R}_{o}}\quad {{r}_{o}}={{R}_{o}} \\
| |
| & andererseits: \\
| |
| & {{\omega }_{o}}=\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}})}^{2}}} \\
| |
| & \Rightarrow \omega =\frac{con\tilde{s}}{{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\Rightarrow con\tilde{s}=\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{m} \\
| |
| & \omega =\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{m{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}=\dot{q} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Durch Integration gewinnt man:
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| <math>q={{q}_{o}}+\frac{{{{\vec{L}}}_{o}}}{cm({{R}_{o}}-ct)}</math>
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| Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird ( Drehimpulserhaltung !)
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| ==Normalschwingungen==
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| Anwendung: Kleine Schwingungen eines Systems von Massepunkten
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| <math>{{m}_{i}}</math>
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| Die Zwangsbedingungen seien holonom und skleronom.
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| Außerdem sei das Potenzial beliebig
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| <math>V({{\bar{r}}_{1}},{{\bar{r}}_{2}},...,{{\bar{r}}_{N}})</math>
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| es existiere lediglich eine stabile Ruhelage.
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| Dazu wähle man generalisierte Koordinaten ( f Stück) mit der Ruhelage 0
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| Man kann an dieses Problem herangehen, indem die potenzielle Energie um die Ruhelage entwickelt wird:
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| <math>V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=V(0,....,0)+\sum\limits_{j}{{{\left( \frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}+...}}</math>
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| Der erste Term kann gleich Null gesetzt werden ( Skalenverschiebung bei Potenzialen). Dies entspricht einer Skalenverschiebung der Energie.
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| Im Zweiten Term tauchen jedoch die verallgemeinerten Kräfte ( von außen) auf. Wenn diese nicht existieren, so ist dieser Term ebenfalls Null:
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| <math>\begin{align}
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| & V(0,....,0)=0 \\
| |
| & \sum\limits_{j}{{{\left( \frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}}=0\quad \left( \frac{\partial V}{\partial {{q}_{j}}} \right)=-{{Q}_{j}}=0 \\
| |
| & \frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}} \right)}_{0}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Für kleine Schwingungen hinreichend genau erhalten wir also in niedrigster Näherung grundsätzlich harmonische Schwingungen in einem q²- Potenzial :
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| Das Potenzial ergibt eine positiv definite quadratische Form ( positiv definit, da Ruhelage stabil !)
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| <math>V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})\approx \frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\ge 0}\quad \quad {{V}_{jk}}={{V}_{kj}}</math>
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| Ansatz für die kinetische Energie:
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| <math>T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{{\vec{v}}}_{i}}^{2}}\ge 0</math>
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\vec{v}}}_{i}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right){{{\dot{q}}}_{j}} \\
| |
| & T=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{{{m}_{i}}}\left( \sum\limits_{j,k}{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)\ge 0 \\
| |
| & T=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \\
| |
| & {{T}_{jk}}={{T}_{kj}}\approx \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}} \\
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| \end{align}</math>
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| Die Auswertung der Ableitungen des Radiusvektor an der Ruhelage (0) gilt dann als niedrigste ( quadratische) Näherung für kleine Schwingungen.
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| Auch die kinetische Energie ist in unserem Fall nun eine positiv definite quadratische Form.
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| Die Lagrangegleichung 2. Art ist somit vollständig bestimmt:
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| <math>\begin{align}
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| & L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\
| |
| & \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( {{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\left( {{\delta }_{jl}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{{\dot{q}}}_{j}}=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}} \\
| |
| & \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right)=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\ddot{q}}}_{k}} \\
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| & \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}=-\sum\limits_{k}{{{V}_{lk}}{{q}_{k}}} \\
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| \end{align}</math>
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| <u>'''Einschub: Transformation auf Kugelkoordinaten:'''</u>
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| <math>\begin{align}
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| & \left( r,\vartheta ,\phi \right)=\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}} \right) \\
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| & x=r\cos \phi \sin \vartheta \\
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| & y=r\sin \phi \sin \vartheta \\
| |
| & z=r\cos \vartheta \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & {{{\vec{v}}}_{{}}}=\sum\limits_{j}{{}}\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{{}}}}{\partial {{q}_{j}}} \right){{{\dot{q}}}_{j}} \\
| |
| & \\
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| \end{align}</math>
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| In Komponenten ergibt sich somit:
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| <math>\begin{align}
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| & {{v}_{x}}=\frac{dx}{dt}=\frac{\partial x}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial x}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial x}{\partial \phi }\dot{\phi }=\sin \vartheta \cos \phi \dot{r}+r\cos \vartheta \cos \phi \dot{\vartheta }-r\sin \vartheta \sin \phi \dot{\phi } \\
| |
| & {{v}_{y}}=\frac{dy}{dt}=\frac{\partial y}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial y}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial y}{\partial \phi }\dot{\phi }=\sin \vartheta \sin \phi \dot{r}+r\cos \vartheta \sin \phi \dot{\vartheta }+r\sin \vartheta \cos \phi \dot{\phi } \\
| |
| & {{v}_{z}}=\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial r}\dot{r}+\frac{\partial z}{\partial \vartheta }\dot{\vartheta }+\frac{\partial z}{\partial \phi }\dot{\phi }=\cos \vartheta \dot{r}-r\sin \vartheta \dot{\vartheta } \\
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| & \\
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| \end{align}</math>
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| Es läßt sich eine Funktionalmatrix zusammenstellen:
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| <math>\left( \begin{matrix}
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| \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \vartheta } & \frac{\partial x}{\partial \phi } \\
| |
| \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \vartheta } & \frac{\partial y}{\partial \phi } \\
| |
| \frac{\partial z}{\partial r} & \frac{\partial z}{\partial \vartheta } & \frac{\partial z}{\partial \phi } \\
| |
| \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| \sin \vartheta \cos \phi & r\cos \vartheta \cos \phi & -r\sin \vartheta \sin \phi \\
| |
| in\vartheta \sin \phi & r\cos \vartheta \sin \phi & r\sin \vartheta \cos \phi \\
| |
| \cos \vartheta & -r\sin \vartheta & 0 \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
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| <math>\begin{align}
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| & T=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \\
| |
| & {{T}_{jk}}={{T}_{kj}}\approx \sum\limits_{i}{{{m}_{i}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}{{\left( \frac{\partial {{{\vec{r}}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}} \right)}_{0}}} \\
| |
| & {{T}_{jk}}=m\left[ \left( \frac{\partial x}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial x}{\partial {{q}_{k}}} \right)+\left( \frac{\partial y}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial y}{\partial {{q}_{k}}} \right)+\left( \frac{\partial z}{\partial {{q}_{j}}} \right)\left( \frac{\partial z}{\partial {{q}_{k}}} \right) \right] \\
| |
| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & {{T}_{11}}=m\left( {{\sin }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta \right)=m \\
| |
| & {{T}_{22}}=m{{r}^{2}}\left( {{\cos }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta \right)=m{{r}^{2}} \\
| |
| & {{T}_{33}}=m{{r}^{2}}({{\sin }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi )=m{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta \\
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| \end{align}</math>
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| | |
| Diese Wert hängen dabei von den gewählten Koordinaten, also den qj ab.
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| Aus diesem Grund ( um dies zu erreichen) wurden ja gerade die qj so eingeführt.
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| <math>\begin{align}
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| & {{T}_{12}}={{T}_{21}}=mr\left( \sin \vartheta \cos \phi \cos \vartheta \cos \phi +\sin \vartheta \sin \phi \cos \vartheta \sin \phi -\sin \vartheta \cos \vartheta \right)=0 \\
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| & {{T}_{13}}={{T}_{31}}=0 \\
| |
| & {{T}_{23}}={{T}_{32}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & {{T}_{jk}}=\left( \begin{matrix}
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| m & 0 & 0 \\
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| 0 & m{{r}^{2}} & 0 \\
| |
| 0 & 0 & m{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| & T=\frac{1}{2}m\left( {{{\dot{r}}}^{2}}+{{r}^{2}}{{{\dot{\vartheta }}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{{\dot{\phi }}}^{2}} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| Zurück:
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| <math>\begin{align}
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| & L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\
| |
| & \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}}\left( {{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}\left( {{\delta }_{jl}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{{\dot{q}}}_{j}} \right)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j,k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{{\dot{q}}}_{j}}=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\dot{q}}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}} \\
| |
| & \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{l}}} \right)=\sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\ddot{q}}}_{k}} \\
| |
| & \frac{\partial L}{\partial {{q}_{l}}}=-\sum\limits_{k}{{{V}_{lk}}{{q}_{k}}} \\
| |
| & \Rightarrow \sum\limits_{k}{{{T}_{lk}}}{{{\ddot{q}}}_{k}}+{{V}_{lk}}{{q}_{k}}=0\quad \quad l=1,...,f \\
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| \end{align}</math>
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| Somit haben wir ein System von f linearen Differenzialgleichungen gegeben.
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| Bekanntlich eignet sich als Ansatz für die Lösung:
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| <math>\begin{align}
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| & {{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C \\
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| & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0} \\
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| \end{align}</math>
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| Dies ist eine Eigenwertgleichung für w²
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| Bei gegebenen w² liegt ein lineares Gleichungssystem für die Ak vor:
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| Eine nichttriviale Lösung existiert aber genau dann, wenn
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| <math>\det \left( {{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}} \right)=0</math>
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| Dies ist die charakteristische Gleichung für w², die sogenannte Säkulargleichung, ein Polynom f-ten Grades.
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| <math>{{V}_{lk}},{{T}_{lk}}positiv\ definit\Rightarrow {{\omega }^{2}}>0</math>
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| für alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
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| <u>Beweis:</u>
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| <math>\begin{align}
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| & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{*}} \right. \\
| |
| & \sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}-}{{\omega }^{2}}\sum\limits_{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}=0 \\
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| & {{\omega }^{2}}=\frac{\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}}{\sum\limits_{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}} \\
| |
| & \sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{kl}}{{A}_{k}}^{*}{{A}_{l}}=}\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}\left( {{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}+{{A}_{k}}^{*}{{A}_{l}} \right)=}\frac{1}{2}\sum\limits_{l,k}{{{V}_{lk}}2\cdot \operatorname{Re}\left( {{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}} \right)} \\
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| \end{align}</math>
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| Also handelt es sich hierbei um eine reelle quadratische Form. Nun sind Vlk und Tlk positiv definite Matrizen.
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| Zähler und Nenner sind aber reelle quadratische Formen.
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| Was zur Folge hat, dass w²>0
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| Die Lösungen des Gleichungssystems
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| <math>\begin{align}
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| & {{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C \\
| |
| & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0} \\
| |
| \end{align}</math>
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| | |
| sind die Eigenfrequenzen
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| <math>{{\omega }^{2}}_{a}\quad a=1,...,f</math>
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| und die Eigenvektoren
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| <math>{{A}_{k}}^{(a)}\quad a=1,...,f</math>
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| Wobei die Eigenvektoren nur bis auf einen Normierungsfaktor bestimmt sind und reell gewählt werden können.
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| Die allgemeine Lösung für die verallgemeinerten Kooridnaten lautet:
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| <math>\begin{align}
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| & {{q}_{k}}(t)=\operatorname{Re}\left\{ \sum\limits_{a=1}^{f}{{{C}_{a}}}{{A}_{k}}^{(a)}{{e}^{i{{w}_{a}}t}} \right\} \\
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| & \\
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| \end{align}</math>
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| Die
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| <math>{{C}_{a}}</math>
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| werden durch die Anfangsbedingungen
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| <math>{{q}_{k}}(0),{{\dot{q}}_{k}}(0)</math>
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| bestimmt
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| <u>'''Normalkoordinaten'''</u>
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| Ziel:
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| Transformiere auf neue generalisierte Koordinaten, so dass die Bewegungsgleichungen für die Koordinaten entkoppeln.
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| Seien diese neuen Koordinaten
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| <math>{{Q}_{j}}</math>
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| so soll gelten:
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| <math>{{\ddot{Q}}_{j}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{j}}=0\quad j=1,...,f</math>
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| Dies wird bekanntlich erreicht durch eine Hauptachsentransformation der symmetrischen Matrizen Vlk und Tlk
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| Die Transformation ist das Diagonalisierungsverfahren. Dazu werden reell gewählte Eigenvektoren
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| <math>{{A}_{k}}^{(a)}</math>
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| eingesetzt. In diesen müssen sich dann die generalisierten Koordinaten mit den Normalkoordinaten als Entwicklungskoeffizienten darstellen lassen:
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| <math>\begin{align}
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| & {{q}_{k}}(t)=\sum\limits_{a=1}^{f}{{}}{{A}_{k}}^{(a)}{{Q}_{a}} \\
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| & \\
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| \end{align}</math>
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| Die diagonalisierte Matrix kann die Koordinatentransformation als Abbildung vollständig darstellen:
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| <math>\begin{align}
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| & \vec{q}=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {A}}\vec{Q}\quad mit\ \vec{q},\vec{Q}\in {{R}^{f}} \\
| |
| & \\
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| \end{align}</math>
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| Bleibt zu zeigen, dass Vlk und Tlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert werden:
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| Es gelten die Eigenwertgleichungen:
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| <math>\begin{align}
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| & \sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{b}} \right. \\
| |
| & \sum\limits_{l}{({{V}_{kl}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{l}}^{b}=0\left| \cdot \sum\limits_{k}{{{A}_{k}}^{b}} \right.} \\
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| \end{align}</math>
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & \sum\limits_{k,l}{{{A}_{l}}^{b}({{V}_{lk}}-{{V}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}-{{A}_{l}}^{b}({{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}}=0 \\
| |
| & {{V}_{lk}}={{V}_{kl}} \\
| |
| & \sum\limits_{k,l}{({{\omega }_{a}}^{2}-{{\omega }_{b}}^{2}){{A}_{l}}^{b}{{T}_{kl}}{{A}_{k}}^{a}}=0 \\
| |
| \end{align}</math>
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| Die Annahme lautet nun noch:
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| <math>{{\omega }_{a}}^{2}-{{\omega }_{b}}^{2}\ne 0</math>
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| Die Eigenwerte sind nicht entartet, natürlich für verschiedene a/b
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| Somit folgt jedoch
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| <math>\sum\limits_{k,l}{{}}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{kl}}{{A}_{k}}^{a}={{\delta }_{ab}}</math>
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| Im wesentlichen ist dieser Ausruck ( die transformierte kinetische Energie)Null für verschiedene a und b. Bei geeigneter Normierung kann er für a=b gleich 1 gesetzt werden.
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| Die Trafo ist also eine verallgemeinerte orthogonale Trafo.
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| Es folgt wegen
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| <math>\sum\limits_{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left| \cdot \sum\limits_{l}{{{A}_{l}}^{b}} \right.</math>
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| dass
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| <math>\begin{align}
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| & \sum\limits_{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0} \\
| |
| & \sum\limits_{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}{{A}_{k}}^{a})=\sum\limits_{k,l}{{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}}}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}} \\
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| \end{align}</math>
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| | |
| Also werden Tlk und Vlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert.
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| | |
| Lagrangefunktion:
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| | |
| <math>\begin{align}
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| & L=T-V=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{j,k}{{{T}_{jk}}}{{{\dot{q}}}_{j}}{{{\dot{q}}}_{k}}-\sum\limits_{j,k}{{{V}_{jk}}}{{q}_{j}}{{q}_{k}} \right) \\
| |
| & L=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{a,b}{\left( \sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{{\dot{Q}}}_{a}}{{{\dot{Q}}}_{b}}-\sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{Q}_{a}}{{Q}_{b}}}} \right)} \right) \\
| |
| & \sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}={{\delta }_{ab}}} \\
| |
| & \sum\limits_{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}}} \\
| |
| & L=\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{a}{\left( {{{\dot{Q}}}_{a}}^{2}-{{\omega }_{a}}^{2}{{Q}_{a}}^{2} \right)} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| In der tat entkoppeln nun die Bewegungsgleichungen:
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| <math>{{\ddot{Q}}_{a}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{a}}=0\quad a=1,...,f</math>
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| <u>'''Beispiel: Pendel'''</u>
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| Leicht kann man sich an einer Skizze klar machen:
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| <math>z=l(1-\cos \phi )</math>
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| Als verallgemeinerte Koordinate kann man die Bogenlänge wählen:
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| <math>q=s=\phi l</math>
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| <math>\begin{align}
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| & T=\frac{1}{2}m{{{\dot{q}}}^{2}} \\
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| & V=mgz=mgl(1-\cos \phi )\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}^{2}} \\
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| \end{align}</math>
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| Die Entwicklung des Potenzials kann auführlich gezeigt werden.
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| Nun seien zwei Pendel über eine Feder der Federkonstante k gekoppelt:
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| <u>'''Zwei gekoppelte Pendel'''</u>
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| Hier nehmen wir für beide Pendel generalisierte Koordinaten:
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| <math>\begin{align}
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| & {{q}_{1}}={{s}_{1}}={{\phi }_{1}}l \\
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| & {{q}_{2}}={{s}_{2}}={{\phi }_{1}}l \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2}) \\
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| & V=mg{{z}_{1}}+mg{{z}_{2}}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=mgl(1-\cos \frac{{{q}_{1}}}{l})+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}+mgl(1-\cos \frac{{{q}_{2}}}{l}) \\
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| & V\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+\frac{1}{2}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}} \\
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| \end{align}</math>
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| Nun kann gefordert werden:
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| <math>V\approx \frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\sum\limits_{j,k=1}^{2}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\quad Forderung!}</math>
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| Dies läßt sich direkt über die mehrdimensionale Taylorreihe zeigen, Mit Hilfe der Multiindizes:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}^{2}} \right)}_{0}}={{\left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{2}}^{2}} \right)}_{0}}=m\frac{g}{l}+k \\
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| & \left( \frac{{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}\partial {{q}_{2}}} \right)=mg\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}(\sin \frac{{{q}_{2}}}{l})-k\frac{\partial }{\partial {{q}_{1}}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=-k \\
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| \end{align}</math>
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| Somit läßt sich die kinetische Energie angeben:
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| Somit lassen sich kinetische Energie und Potenzial als Matrizen angeben:
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| <math>\begin{align}
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| & {{T}_{lk}}=\left( \begin{matrix}
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| m & 0 \\
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| 0 & m \\
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| \end{matrix} \right) \\
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| & {{V}_{lk}}=\left( \begin{matrix}
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| m\frac{g}{l}+k & -k \\
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| -k & m\frac{g}{l}+k \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
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| \end{align}</math>
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| <math>\begin{align}
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| & T=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2}) \\
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| & V\approx \frac{1}{2}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+\frac{1}{2}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}+\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}} \\
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| & L=T-V=\frac{1}{2}m({{{\dot{q}}}_{1}}^{2}+{{{\dot{q}}}_{2}}^{2})-\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}\frac{g}{l}m{{q}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}} \\
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| \end{align}</math>
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| Die Bewegungsgleichungen ergeben sich als:
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| <math>\begin{align}
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| & m{{{\ddot{q}}}_{1}}+\frac{g}{l}m{{q}_{1}}+k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0 \\
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| & m{{{\ddot{q}}}_{2}}+\frac{g}{l}m{{q}_{2}}-k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0 \\
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| \end{align}</math>
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| Auch hier haben wir ein System gekoppelter Differenzialgleichungen.
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| Als Loesungsansatz wählen wir:
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| <math>{{q}_{k}}={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}</math>
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| Die resultierende Eigenwertgleichung lautet:
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| <math>\left( \begin{matrix}
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| m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }^{2}} & -k \\
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| -k & m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }^{2}} \\
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| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
| |
| {{A}_{1}} \\
| |
| {{A}_{2}} \\
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| \end{matrix} \right)=0</math>
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| Aus der charakteristischen Gleichung gewinnen wir das charakteristische Polynom
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| <math>\begin{align}
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| & 0=\det ({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}})={{m}^{2}}\left| \begin{matrix}
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| \frac{g}{l}+\frac{k}{m}-{{\omega }^{2}} & -\frac{k}{m} \\
| |
| \frac{-k}{m} & \frac{g}{l}+\frac{k}{m}-{{\omega }^{2}} \\
| |
| \end{matrix} \right|=0 \\
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| & 0={{\omega }^{4}}-2\left( \frac{k}{m}+\frac{g}{l} \right){{\omega }^{2}}+\frac{{{g}^{2}}}{{{l}^{2}}}+2\frac{gk}{lm}={{\omega }^{4}}-2\left( \frac{k}{m}+\frac{g}{l} \right){{\omega }^{2}}+{{\left( \frac{g}{l}+\frac{k}{m} \right)}^{2}}-{{\left( \frac{k}{m} \right)}^{2}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| <math>{{\omega }_{1,2}}^{2}=\left( \frac{k}{m}+\frac{g}{l} \right)\pm {{\left( \frac{k}{m} \right)}^{{}}}=\left\{ \begin{matrix}
| |
| \frac{g}{l} \\
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| \frac{g}{l}+2\left( \frac{k}{m} \right) \\
| |
| \end{matrix} \right.</math>
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| Somit kennt das System die folgenden Eigenfrequenzen:
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| <math>{{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{g}{l}}:={{\omega }_{0}}</math>
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| ungestörte Pendelfrequenz
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| <math>{{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}}:={{\sqrt{{{\omega }_{0}}^{2}+2{{{\tilde{\omega }}}^{2}}}}_{{}}}</math>
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| Die zugehörigen Eigenvektoren lauten:
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| <math>\left( m\frac{g}{l}+k-m{{\omega }_{a}}^{2} \right){{A}_{1}}^{a}-k{{A}_{2}}^{a}=0</math>
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| Somit ergibt sich mit der ungestörten Pendelfrequenz w1:
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| <math>k{{A}_{1}}^{1}-k{{A}_{2}}^{1}=0\Rightarrow \left( \begin{matrix}
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| {{A}_{1}}^{1} \\
| |
| {{A}_{2}}^{1} \\
| |
| \end{matrix} \right)\propto \left( \begin{matrix}
| |
| 1 \\
| |
| 1 \\
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| \end{matrix} \right)</math>
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| Aus der Eigenfrequenz w2 ergibt sich:
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| In Normalkoordinaten gilt für die Lösung des Ortes:
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| <math>{{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}^{1}{{Q}_{1}}+{{A}_{k}}^{2}{{Q}_{2}}</math>
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| Bis auf einen konstanten Faktor.
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| Die Umkehrung lautet:
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| <math>\left( \begin{matrix}
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| {{Q}_{1}} \\
| |
| {{Q}_{2}} \\
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| \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}
| |
| {{A}_{1}}^{1} & {{A}_{2}}^{1} \\
| |
| {{A}_{1}}^{2} & {{A}_{2}}^{2} \\
| |
| \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
| |
| {{q}_{1}} \\
| |
| {{q}_{2}} \\
| |
| \end{matrix} \right)</math>
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| Mit der zu oben transponierten Matrix ( Umkehrung)
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| Die Eigenvektoren sind so zu normieren, dass:
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| <math>\begin{align}
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| & \sum\limits_{k,l}{{{A}_{l}}^{a}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}=m\sum\limits_{k}{{{\left| {{A}_{k}}^{a} \right|}^{2}}}=1} \\
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| & \Rightarrow \left( \begin{matrix}
| |
| {{A}_{1}}^{1} \\
| |
| {{A}_{2}}^{1} \\
| |
| \end{matrix} \right)=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left( \begin{matrix}
| |
| 1 \\
| |
| 1 \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| & \left( \begin{matrix}
| |
| {{A}_{1}}^{2} \\
| |
| {{A}_{2}}^{2} \\
| |
| \end{matrix} \right)=\frac{1}{\sqrt{2m}}\left( \begin{matrix}
| |
| 1 \\
| |
| -1 \\
| |
| \end{matrix} \right) \\
| |
| \end{align}</math>
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| Es folgt für die Normalkoordinaten:
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| <math>\begin{align}
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| & {{Q}_{1}}=\frac{1}{\sqrt{2m}}({{q}_{1}}+{{q}_{2}})\quad SChwerpunktskoordinaten \\
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| & {{Q}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2m}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})\quad \operatorname{Re}lativkoordinaten \\
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| \end{align}</math>
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| An Normalschwingungen existiert somit:
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| <math>\begin{align}
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| & {{\omega }_{1}}=\sqrt{\frac{g}{l}} \\
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| & {{\omega }_{2}}=\sqrt{\frac{g}{l}+2\frac{k}{m}} \\
| |
| \end{align}</math>
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| Dabei stellt ersteres die gleichphasige Schwerpunktsschwingung dar, letzteres repräsentiert die gegenphasige Relativschwingung.
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| In Realität haben wir es mit einer beliebigen Überlagerung von Schwerpunktsschwingung und Relativschwingung zu tun.
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| Dabei treten Überlagerungszustände als Schwebung auf.
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| In Realität erhält man eine reine Schwerpunktschwingung, wenn die Anfangsbedingungen reine Lösung der Schwerpunktsskoordinaten sind.
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| Eine Relativschwingung ergibt sich, wenn die Anfangsbedingung exakt eine Lösung der Relativkoordinaten repräsentieren.
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| [[Kategorie:Mechanik]]
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