Zustände mit Bahn- und Spinvariablen: Difference between revisions

Latest revision as of 17:00, 7 April 2012

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zustände mit Bahn- und Spinvariablen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=3}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__

Sei nun $| n l m m_{s} ⟩$ ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:

\begin{array}{l} | n l m m_{s} ⟩ = | n l m ⟩ | m_{s} ⟩ \in H_{B} \times H_{S} \\ | n l m ⟩ \in H_{B} \\ | m_{s} ⟩ \in H_{S} \end{array}

Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als direktes Produkt der beiden Hilberträume zeigt.

Allgemein gilt für separable oder Produktzustände $| n_{1} n_{2} ⟩ = | n_{1} ⟩ | n_{2} ⟩$

(äquivalente Sprechweise):

⟨ m_{1} m_{2} | n_{1} n_{2} ⟩ = ⟨ m_{1} m_{2} | n_{1} ⟩ ⟨ m_{1} m_{2} | n_{2} ⟩ = ⟨ m_{1} | n_{1} ⟩ ⟨ m_{2} | n_{2} ⟩

Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen $| ↑ ⟩, | ↓ ⟩$

zerlegt werden:

{| Ψ ⟩}_{t} = {| Ψ_{1} ⟩}_{t} | ↑ ⟩ + {| Ψ_{2} ⟩}_{t} | ↓ ⟩

mit

{| Ψ_{α} ⟩}_{t} = \int_{}^{} d^{3} r | \bar{r} ⟩ ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{α} ⟩}_{t}

In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand $α = 1, 2$

In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:

{| Ψ ⟩}_{t} = (\begin{matrix} {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix}) = \int_{}^{} d^{3} r | \bar{r} ⟩ (\begin{matrix} ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix})

Mit

(\begin{matrix} {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix})

entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend $| ↑ ⟩, | ↓ ⟩$

Die Vollständigkeit der Zustände $| \bar{r} ↑ ⟩ = | \bar{r} ⟩ | ↑ ⟩, | \bar{r} ↓ ⟩ = | \bar{r} ⟩ | ↓ ⟩$

folgt aus:

\int_{}^{} d^{3} r {| \bar{r} ↑ ⟩ ⟨ \bar{r} ↑ | + | \bar{r} ↓ ⟩ ⟨ \bar{r} ↓ |} = 1 \in H_{B} \times H_{S}

Weiter:

\begin{array}{l} ⟨ \bar{r} ↑ | {| Ψ ⟩}_{t} = ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ ⟨ \bar{r} ↓ | {| Ψ ⟩}_{t} = ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{array}

Also die Komponenten von ${| Ψ ⟩}_{t}$ am Ort $\bar{r}$ , einmal die Komponente mit Spin $↑$ und einmal die Komponente mit Spin $↓$ . Dabei gilt:

\begin{array}{l} {| ⟨ \bar{r} ↑ | {| Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{1} ⟩}_{t} |}^{2} \\ {| ⟨ \bar{r} ↓ | {| Ψ ⟩}_{t} |}^{2} = {| ⟨ \bar{r} | {| Ψ_{2} ⟩}_{t} |}^{2} \end{array}

entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei $\bar{r}$ mit Spin $↑$ bzw. Spin $↓$ zu finden.

Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum[edit | edit source]

Hamilton- Operator für Bahn:

{\hat{H}}_{B} = \frac{1}{2 m_{0}} {(\bar{p} - e \bar{A})}^{2} + V (r)

Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math>

Hamilton- Operator für Spin:

\begin{array}{l} {\hat{H}}_{S} = - ℏ ω_{l} {\hat{\bar{σ}}}_{3} \\ ω_{l} = \frac{| e | B}{2 m_{0}} \end{array}

{\hat{H}}_{S}

wirkt dabei nur im Hilbertraum $H_{S}$

Ohne Berücksichtigung von ${\hat{H}}_{S}$

\begin{array}{l} {\hat{H}}_{B} {| Ψ_{α} ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ_{α} ⟩}_{t} \\ α = 1, 2 \end{array}

Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in $H_{B}$

Es gilt (äquivalente Darstellung):

\begin{array}{l} {\hat{H}}_{B} {| Ψ_{α} ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ_{α} ⟩}_{t} \Leftrightarrow ({\hat{H}}_{B} \times 1) {| Ψ ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t} \\ α = 1, 2 \end{array}

Dabei

1

= Einsoperator im Spinraum → Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: $1 = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$

MIT Berücksichtigung von ${\hat{H}}_{S}$

({\hat{H}}_{B} \times 1 + {\hat{H}}_{S}) {| Ψ ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ ⟩}_{t}

In Matrix- Darstellung:

\begin{array}{l} (\begin{matrix} {\hat{H}}_{\overset{´}{} B} + ℏ ω_{l} & 0 \\ 0 & {\hat{H}}_{\overset{´}{} B} - ℏ ω_{l} \end{matrix}) (\begin{matrix} {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix}) = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} (\begin{matrix} {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{matrix}) \\ \Leftrightarrow ({\hat{H}}_{\overset{´}{} B} + ℏ ω_{l}) {| Ψ_{1} ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ_{1} ⟩}_{t} \\ ({\hat{H}}_{\overset{´}{} B} - ℏ ω_{l}) {| Ψ_{2} ⟩}_{t} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ_{2} ⟩}_{t} \end{array}

Pauli Gleichung[edit | edit source]

Anwendung: - einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial (Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld $\bar{B} = B {\bar{e}}_{3}$

\hat{H} = {\hat{H}}_{B} \times 1 + H_{S} = [\frac{1}{2 m_{0}} {(\bar{p} - e \bar{A})}^{2} + V (r)] \times 1 - \frac{| e | ℏ B}{2 m_{0}} {\hat{\bar{σ}}}_{3}

Dabei wird durch ${\hat{H}}_{B} \times 1$ der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.

\begin{array}{l} \hat{H} = {\hat{H}}_{B} \times 1 + H_{S} = [\frac{1}{2 m_{0}} {(\bar{p} - e \bar{A})}^{2} + V (r)] \times 1 - \frac{| e | ℏ B}{2 m_{0}} {\hat{\bar{σ}}}_{3} \\ \hat{H} ≅ [\frac{{\bar{p}}^{2}}{2 m_{0}} + V (r)] \times 1 - \frac{| e | B}{2 m_{0}} ({\hat{L}}_{3} \times 1 + ℏ {\hat{\bar{σ}}}_{3}) \\ \frac{{\bar{p}}^{2}}{2 m_{0}} + V (r) = H_{0} \\ H_{0} | n l m ⟩ = E_{n l} | n l m ⟩ \end{array}

Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm $\frac{| e | B}{2 m_{0}} ({\hat{L}}_{3} \times 1 + ℏ {\hat{\bar{σ}}}_{3})$ eine Korrektur an die Energie. Für B=0 → Eigenzustände mit Spin

(H_{0} \times 1) | n l m m_{s} ⟩ = E_{n l} | n l m m_{s} ⟩

Insgesamt $2 (2 l + 1)$ fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung

B \neq 0

\begin{array}{l} \hat{H} | n l m m_{s} ⟩ = H_{0} | n l m ⟩ | m_{s} ⟩ - \frac{| e | B}{2 m_{0}} {({\hat{L}}_{3} | n l m ⟩) | m_{s} ⟩ + ℏ ({\hat{\bar{σ}}}_{3} | m_{s} ⟩) | n l m ⟩} \\ {\hat{L}}_{3} | n l m ⟩ = ℏ m | n l m ⟩ \\ {\hat{\bar{σ}}}_{3} | m_{s} ⟩ = 2 m_{S} | m_{s} ⟩ \\ H_{0} | n l m ⟩ | m_{s} ⟩ - \frac{| e | B}{2 m_{0}} {({\hat{L}}_{3} | n l m ⟩) | m_{s} ⟩ + ℏ ({\hat{\bar{σ}}}_{3} | m_{s} ⟩) | n l m ⟩} = [E_{n l} - \frac{| e | ℏ B}{2 m_{0}} (m + 2 m_{s})] | n l m m_{s} ⟩ \end{array}

Das bedeutet: teilweise Aufhebung der $2 (2 l + 1)$ - fachen Entartung (sogenannter Anomaler Zeemann-Effekt{{#set:Fachbegriff=Anomaler Zeemann-Effekt|Index=Anomaler Zeemann-Effekt}}!)

E = E_{n l} - μ_{B} B (m + 2 m_{s})

Dies gilt für paramagnetische Atome mit magnetischem Moment $μ_{3} = μ_{B} (m + 2 m_{s})$ .

Dabei entspricht $2$ vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist! (Siehe oben). Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von $μ_{B}$ angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren (für den anomalen Zeemann- Effekt): Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben! Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!

Tabelle: Landé- Faktoren
Teilchen	s	g	Q
Elektron	1/2	2	-e
Proton	1/2	5,59	e
Neutron	1/2	-3,83	0
Neutrino	1/2	0	0
Photon	1	0	0

@@ Line 1: / Line 1: @@
 <noinclude>{{Scripthinweis|Quantenmechanik|4|3}}</noinclude>
-Sei nun <math>\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>
+Sei nun <math>\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math> ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
-ein Zustand, der Bahn- und Spinfreiheitsgrade beschreibt:
-<math>\begin{align}
+: <math>\begin{align}
 & \left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle =\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}} \\
 & \left| nlm \right\rangle \in {{H}_{B}} \\
 & \left| {{m}_{s}} \right\rangle \in {{H}_{S}} \\
 \end{align}</math>
-Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als DIREKTES  PRODUKT der beiden Hilberträume zeigt.
+Der Bahnzustand ist Element des Bahn- Hilbertraumes und der Spinzustand Element des Spin- Hilbertraumes. Der Gesamtzustand erfordert einen Raum, der sich als '''direktes Produkt''' der beiden Hilberträume zeigt.
 Allgemein gilt für separable oder Produktzustände <math>\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>
-( äquivalente Sprechweise):
+(äquivalente Sprechweise):
-<math>\left\langle  {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle  {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle  {{m}_{1}}{{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle  {{m}_{1}} \right|\left| {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle  {{m}_{2}} \right|\left| {{n}_{2}} \right\rangle </math>
+: <math>\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}  |  {{n}_{1}}{{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}  |  {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{1}}{{m}_{2}}  |  {{n}_{2}} \right\rangle =\left\langle {{m}_{1}}  |  {{n}_{1}} \right\rangle \left\langle {{m}_{2}}  |  {{n}_{2}} \right\rangle </math>
-Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left| \uparrow  \right\rangle ,\left| \downarrow  \right\rangle </math>
+Ein beliebiger Zustand kann nach Spin- Basis Zuständen <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math>
 zerlegt werden:
-<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}={{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}\left| \uparrow  \right\rangle +{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}\left| \downarrow  \right\rangle </math>
+: <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}={{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}\left| \uparrow \right\rangle +{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}\left| \downarrow \right\rangle </math>
 mit
-<math>{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}</math>
+: <math>{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}</math>
-In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand  <math>\alpha =1,2</math>
+In der Ortsraum- Basis mit dem Bahn- Zustand <math>\alpha =1,2</math>
 In der Matrix- Darstellung des Spinraumes ergibt dies:
-<math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\left( \begin{matrix}
+: <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left( \begin{matrix}
-{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}  \\
+{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
-{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}  \\
+{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
 \end{matrix} \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r}\left| {\bar{r}} \right\rangle \left( \begin{matrix}
-\left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}  \\
+\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
-\left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}  \\
+\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
 \end{matrix} \right)</math>
@@ Line 53: / Line 47: @@
 Mit
-<math>\left( \begin{matrix}
+: <math>\left( \begin{matrix}
-{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}  \\
+{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
-{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}  \\
+{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
 \end{matrix} \right)</math>
-entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend <math>\left| \uparrow  \right\rangle ,\left| \downarrow  \right\rangle </math>
+entsprechend 2 Spinkomponenten, also entsprechend <math>\left| \uparrow \right\rangle ,\left| \downarrow \right\rangle </math>
-Die Vollständigkeit der Zustände <math>\left| \bar{r}\uparrow  \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \uparrow  \right\rangle ,\left| \bar{r}\downarrow  \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \downarrow  \right\rangle </math>
+Die Vollständigkeit der Zustände <math>\left| \bar{r}\uparrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \uparrow \right\rangle ,\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle =\left| {\bar{r}} \right\rangle \left| \downarrow \right\rangle </math>
 folgt aus:
-<math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\{ \left| \bar{r}\uparrow  \right\rangle \left\langle  \bar{r}\uparrow  \right|+\left| \bar{r}\downarrow  \right\rangle \left\langle  \bar{r}\downarrow  \right| \right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}</math>
+: <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\{ \left| \bar{r}\uparrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\uparrow \right|+\left| \bar{r}\downarrow \right\rangle \left\langle \bar{r}\downarrow \right| \right\}}=1\quad \in {{H}_{B}}\times {{H}_{S}}</math>
 Weiter:
-<math>\begin{align}
+: <math>\begin{align}
-& \left\langle  \bar{r}\uparrow  \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
+& \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
-& \left\langle  \bar{r}\downarrow  \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=\left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
+& \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=\left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
 \end{align}</math>
-Also die Komponenten von <math>{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>
+Also die Komponenten von <math>{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>am Ort <math>\bar{r}</math>, einmal die Komponente mit Spin <math>\uparrow </math> und einmal die Komponente mit Spin <math>\downarrow </math>. Dabei gilt:
-am Ort <math>\bar{r}</math>
+: <math>\begin{align}
-, einmal die Komponente mit Spin <math>\uparrow </math>
+& {{\left| \left\langle \bar{r}\uparrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}} \\
+& {{\left| \left\langle \bar{r}\downarrow \right|{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \left\langle {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}} \\
-und einmal die Komponente mit Spin <math>\downarrow </math>
-.  Dabei gilt:
-<math>\begin{align}
-& {{\left| \left\langle  \bar{r}\uparrow  \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}} \\
-& {{\left| \left\langle  \bar{r}\downarrow  \right|{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}}={{\left| \left\langle  {\bar{r}} \right|{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \right|}^{2}} \\
 \end{align}</math>
 entspricht der Wahrscheinlichkeit, das Elektron zur Zeit t bei <math>\bar{r}</math>
@@ Line 98: / Line 84: @@
 bzw. Spin <math>\downarrow </math>
 zu finden.
-====Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum====
+== Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum ==
 Hamilton- Operator für Bahn:
-<math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>
+:<math>{{\hat{H}}_{B}}=\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r)</math>
-Elektron mit Ladung e<0
+Elektron mit Ladung e{{H}_{B}}</math>
-Wirkt alleine im Hilbertraum <math>{{H}_{B}}</math>
 Hamilton- Operator für Spin:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{{\hat{H}}}_{S}}=-\hbar {{\omega }_{l}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
 & {{\omega }_{l}}=\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}} \\
 \end{align}</math>
-<math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
+:<math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
 wirkt dabei nur im Hilbertraum <math>{{H}_{S}}</math>
 Ohne Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
 :
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}} \\
 & \alpha =1,2 \\
@@ Line 121: / Line 110: @@
 Also haben wir je nach Spinzustand schon 2 Schrödingergleichungen in <math>{{H}_{B}}</math>
 :
 Es gilt (äquivalente Darstellung):
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
-& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}} \\
+& {{{\hat{H}}}_{B}}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{\alpha }} \right\rangle }_{t}}\Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1 \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}} \\
 & \alpha =1,2 \\
 \end{align}</math>
 Dabei
-<math>1</math>
+:<math>1</math>
-=  Einsoperator im Spinraum -> Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix}
+= Einsoperator im Spinraum → Spin bleibt unberücksichtigt. Einheitsmatrix für beliebigen Vorgang im Spinraum: <math>1=\left( \begin{matrix}
-& 0  \\
+& 0 \\
-& 1  \\
+& 1 \\
 \end{matrix} \right)</math>
 MIT Berücksichtigung von <math>{{\hat{H}}_{S}}</math>
 :
-<math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi  \right\rangle }_{t}}</math>
+:<math>\left( {{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{{\hat{H}}}_{S}} \right){{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| \Psi \right\rangle }_{t}}</math>
 In Matrix- Darstellung:
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
 & \left( \begin{matrix}
-{{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0  \\
+{{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} & 0 \\
-& {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}}  \\
+& {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \\
 \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
-{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}  \\
+{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
-{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}  \\
+{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
 \end{matrix} \right)=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\left( \begin{matrix}
-{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}  \\
+{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
-{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}  \\
+{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
 \end{matrix} \right) \\
 & \Leftrightarrow \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}+\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{1}} \right\rangle }_{t}} \\
 & \left( {{{\hat{H}}}_{\acute{\ }B}}-\hbar {{\omega }_{l}} \right){{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}}=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}{{\left| {{\Psi }_{2}} \right\rangle }_{t}} \\
 \end{align}</math>
-PAULI- GLEICHUNG
-====Anwendung====
-- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin.  1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial ( Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>
-<math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>
+== Pauli Gleichung ==
-Dabei wird durch <math>{{\hat{H}}_{B}}\times 1</math>
+'''Anwendung: '''- einfacher Zeeman- Effekt mit Spin. 1 Elektron im kugelsymmetrischen Potenzial (Kern (H)oder Atomrumpf(Na)) und homogenen Magnetfeld <math>\bar{B}=B{{\bar{e}}_{3}}</math>
-der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
-<math>\begin{align}
+: <math>\hat{H}={{\hat{H}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{\hat{\bar{\sigma }}}_{3}}</math>
-& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[ \frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
-& \hat{H}\cong \left[ \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\
+Dabei wird durch <math>{{\hat{H}}_{B}}\times 1</math> der Bahndrehimpuls Hamiltonian durch den Spinraum erweitert.
+: <math>\begin{align}
+& \hat{H}={{{\hat{H}}}_{B}}\times 1+{{H}_{S}}=\left[\frac{1}{2{{m}_{0}}}{{\left( \bar{p}-e\bar{A} \right)}^{2}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}{{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \\
+& \hat{H}\cong \left[\frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r) \right]\times 1-\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right) \\
 & \frac{{{{\bar{p}}}^{2}}}{2{{m}_{0}}}+V(r)={{H}_{0}} \\
-& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm \right\rangle  \\
+& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm \right\rangle \\
 \end{align}</math>
 Wie man sieht bekommt man durch den Korrekturterm <math>\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left( {{{\hat{L}}}_{3}}\times 1+\hbar {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}} \right)</math>
 eine Korrektur an die Energie.
-====Für B=0 -> Eigenzustände  mit Spin====
+'''Für B=0 → Eigenzustände mit Spin'''
-<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>
+:<math>\left( {{H}_{0}}\times 1 \right)\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{E}_{nl}}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle </math>
-Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math>
+Insgesamt <math>2\left( 2l+1 \right)</math> fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
-fach entartet. Beim H- Atom: zusätzliche l- Entartung
+:<math>B\ne 0</math>
-<math>B\ne 0</math>
-<math>\begin{align}
+:<math>\begin{align}
-& \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle  \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle  \right)\left| nlm \right\rangle  \right\} \\
+& \hat{H}\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle ={{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\} \\
-& {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle  \\
+& {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle =\hbar m\left| nlm \right\rangle \\
-& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle =2{{m}_{S}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle  \\
+& {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle =2{{m}_{S}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \\
-& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle  \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle  \right)\left| nlm \right\rangle  \right\}=\left[ {{E}_{nl}}-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}\left( m+2{{m}_{s}} \right) \right]\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle  \\
+& {{H}_{0}}\left| nlm \right\rangle \left| {{m}_{s}} \right\rangle -\frac{\left| e \right|B}{2{{m}_{0}}}\left\{ \left( {{{\hat{L}}}_{3}}\left| nlm \right\rangle \right)\left| {{m}_{s}} \right\rangle +\hbar \left( {{{\hat{\bar{\sigma }}}}_{3}}\left| {{m}_{s}} \right\rangle \right)\left| nlm \right\rangle \right\}=\left[{{E}_{nl}}-\frac{\left| e \right|\hbar B}{2{{m}_{0}}}\left( m+2{{m}_{s}} \right) \right]\left| nlm{{m}_{s}} \right\rangle \\
 \end{align}</math>
 Das bedeutet:
-teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>
+teilweise Aufhebung der <math>2(2l+1)</math>- fachen Entartung (sogenannter {{FB|Anomaler Zeemann-Effekt}}!)
-- fachen Entartung
-( sogenannter Anomaler Zeemann- Effekt !)
-<math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>
-Dies gilt für PARAMAGNETISCHE Atome mit magnetischem Moment
+{{Gln| <math>E={{E}_{nl}}-{{\mu }_{B}}B\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>}}
-<math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>
-Dabei entspricht
+Dies gilt für '''paramagnetische''' Atome mit magnetischem Moment <math>{{\mu }_{3}}={{\mu }_{B}}\left( m+2{{m}_{s}} \right)</math>.
-<math>2</math>
-vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist ! ( Siehe oben).
+Dabei entspricht <math>2</math> vor ms dem gyromagnetischen Verhältnis, kommt also wegen dem Landé- Faktor g=2, auch wenn dieser leicht von 2 verschieden ist! (Siehe oben).
 Für dieses Beispiel wird die Energieverschiebung linear zu B am besten in Einheiten von <math>{{\mu }_{B}}</math>
-angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren ( für den anomalen Zeemann- Effekt ):
+angegeben. s und p - Orbital lassen sich folgendermaßen in einem sogenannten Termschema skizzieren (für den anomalen Zeemann- Effekt):
-Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben !
+Das heißt: die m- Entartung, die ohne Spin vollständig aufgehoben wurde, ist jetzt nur noch teilweise aufgehoben!
-Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so " weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen !
+Da die Aufhebung der Spin- Entartung die Energiezustände wieder so "weiterrückt", dass vorher getrennte wieder zusammenfallen!
-'''Tabelle: Landé- Faktoren'''
-'''Teilchen'''	'''s'''	'''g'''	'''Q'''
+{|
-'''Elektron'''	'''1/2'''	'''2'''	'''-e'''
+|+Tabelle: Landé- Faktoren
-'''Proton'''	'''1/2'''	'''5,59'''	'''e'''
+!Teilchen!! s!! g!! Q
-'''Neutron'''	'''1/2'''	'''-3,83'''	'''0'''
+|-
-'''Neutrino'''	'''1/2'''	'''0'''	'''0'''
+|'''Elektron''' ||'''1/2''' ||'''2'''|| '''-e'''
-'''Photon'''	'''1'''	'''0'''	'''0'''
+|-
+|'''Proton'''|| '''1/2'''|| '''5,59'''|| '''e'''
+|-
+|'''Neutron'''|| '''1/2'''|| '''-3,83'''|| '''0'''
+|-
+|'''Neutrino'''|| '''1/2'''|| '''0'''|| '''0'''
+|-
+||'''Photon'''|| '''1'''|| '''0'''|| '''0'''
+|}

Zustände mit Bahn- und Spinvariablen: Difference between revisions

Latest revision as of 17:00, 7 April 2012

Schrödingergleichung im Spin- Bahn- Raum[edit | edit source]

Pauli Gleichung[edit | edit source]

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