Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel: Difference between revisions

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Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 4.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

Tröpfchenmodell, Weizsäckersche Massenformel	{{#ask: Kapitel::4 Abschnitt::0 Urheber::Prof. Dr. P. Zimmermann}}	{{#ask: Abschnitt::0 Kapitel::0 Urheber::Prof. Dr. P. Zimmermann}}
Contents 1 Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel 1.1 I. Isobarenregeln 1.2 II. Kernspaltung und Fusion 1.2.1 Spaltung 1.2.2 Fusion 2 Einzelnachweise 3 Weitere Informationen 3.1 Prüfungsfragen	{{#ask: Kapitel::4 Abschnitt::!0 Urheber::Prof. Dr. P. Zimmermann	format=ol	order=ASC	sort=Abschnitt }}	{{#ask: Abschnitt::0 Urheber::Prof. Dr. P. Zimmermann Kapitel::!0	format=ol	order=ASC	sort=Kapitel }}

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Die nahezu konstante Nukleonendichte{{#set:Fachbegriff=Nukleonendichte|Index=Nukleonendichte}} $\rho \approx 10^{17}kg/m^{3}$ und der nahezu konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme{{#set:Fachbegriff=Kondensationswärme|Index=Kondensationswärme}}") legt die Analogie zum Flüssigkeitstropfen nahe. Massenformel^[1]

Bindungsenergie{{#set:Fachbegriff=Bindungsenergie|Index=Bindungsenergie}} setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:

B=\sum _{i=1}^{5}B_{i}

1. Volumenenergie{{#set: Fachbegriff=Volumenenergie|Index=Volumenenergie}}: $B_{1}=a_{1}A$ Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
2. Oberflächenenergie{{#set: Fachbegriff=Oberflächenenergie|Index=Oberflächenenergie}}: $B_{2}=-a_{2}A^{2/3}$ ~ Anzahl der Nukleonen an der

Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.

3. Coulombenergie{{#set: Fachbegriff=Coulombenergie|Index=Coulombenergie}}: $B_{3}=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {5}{3}}{\frac {Z(Z-1)e^{2}}{R}}=-a_{3}{\frac {Z(Z-1)}{A^{1/3}}}$ einer homogen geladenen Kugel

Durch die Coulombenergie $B_{3}$ würden für Isobare{{#set:Fachbegriff=Isobare|Index=Isobare}} (A = const) zu stark Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch $Z\approx N$ .

Genauer: Nuklidkarte

Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:

4. Asymmetrie-Energie{{#set: Fachbegriff=Asymmetrie-Energie|Index=Asymmetrie-Energie}}: $B_{4}=-a_{4}{\frac {(N-Z)^{2}}{A}}$

Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:

${\begin{array}{*{35}{l}}{}&(g,g)\to &(u,g),&(g,u)\to &(u,u)\to {\text{Abnahme der Stabilitaet}}\\{\text{stab}}{\text{. Kerne}}\quad &158&50,&53&6\\\end{array}}$

5. Parität{{#set: Fachbegriff=Parität|Index=Parität}}: Deshalb $B_{5}=\delta =a_{5}A^{-1/2}$

mit ${\begin{aligned}&{\text{(g}}{\text{, g) : }}{\text{+}}\delta \\&{\text{(u}}{\text{, g) }}{\text{, (g}}{\text{, u) : }}{\text{0}}\\&{\text{(u}}{\text{, u) : }}{\text{-}}\delta \\\end{aligned}}$

Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter $a_{i}:a_{1}=16MeV,a_{2}=18MeV,a_{3}=0,7MeV,a_{4}=23MeV$ und mit $a_{5}=12MeV$ ^[2]). Genauigkeit $\approx 1\%ab\approx 40$ .

Folgerungen aus der Weizsäckerschen Massenformel[edit | edit source]

I. Isobarenregeln[edit | edit source]

Für Isobare{{#set:Fachbegriff=Isobare|Index=Isobare}} (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z, deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand $2\delta$ der Paarungsenergie{{#set:Fachbegriff=Paarungsenergie|Index=Paarungsenergie}} $\delta$ getrennt sind.

Isobarenparabeln

ANMERKUNG Schubotz: Siehe auch ^[3]

Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte{{#set:Fachbegriff=Nuklidkarte|Index=Nuklidkarte}} auf der N-Z-Ebene nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der "Talsohle des Massetals".

Umwandlung durch Beta-Zerfall:

${\begin{aligned}{{\beta }^{+}}:\quad n&\to p+{{e}^{-}}+{\tilde {\nu }}\\{{\beta }^{-}}:\quad n&\to p+{{e}^{+}}+\nu \\{{e}^{-}}+p&\to n+{\tilde {\nu }}\\\end{aligned}}$ Konkurrenzprozeß: Kerneinfang{{#set:Fachbegriff=Kerneinfang|Index=Kerneinfang}}

II. Kernspaltung und Fusion[edit | edit source]

Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion{{#set:Fachbegriff=Fusion|Index=Fusion}}, für schwerere Kerne durch Spaltung{{#set:Fachbegriff=Spaltung|Index=Spaltung}} möglich. Spontane Fusion durch Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch Spaltschwelle{{#set:Fachbegriff=Spaltschwelle|Index=Spaltschwelle}} behindert.

Spaltung[edit | edit source]

Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung

Coulombenergie: $B_{3}\to B_{3}(1-{\frac {1}{5}}\epsilon )^{2}$ nimmt ab.
Oberflächenenergie: $B_{2}\to B_{2}(1+{\frac {2}{5}}\epsilon )^{2}$ nimmt zu.

Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.

Rechnung: $Z^{2}/A\lesssim 51$

Für $Z^{2}/A\lesssim 51$ Spaltschwelle:

Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie{{#set:Fachbegriff=Bindungsenergie|Index=Bindungsenergie}} bei Neutroneneinfang{{#set:Fachbegriff=Neutroneneinfang|Index=Neutroneneinfang}}. Für thermische Neutronen{{#set:Fachbegriff=thermische Neutronen|Index=thermische Neutronen}} ist diese Bindungsenergie

bei $^{235}U+n\to ^{236}U+6,4MeV\quad (g,u){\underset {n}{\to }}(g,g)$

bei $^{238}U+n\to ^{239}U+4,8MeV\quad (g,g){\underset {n}{\to }}(g,u)$

Die fehlende Paarungsenergie{{#set:Fachbegriff=Paarungsenergie|Index=Paarungsenergie}} bei $^{239}U$ bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei $^{238}U$ der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.

Allgemein Spaltprozeß: $^{235}U+n{\textrm {(thermisch)}}\to ^{236}U\to X+Y+kn$

Spaltbruchstücke X und Y instabil wegen Neutronenüberschuß, $\beta ^{-}$ -Zerfall, z.B.

Grobe Abschätzung für $^{235}U$ -Verbrauch:

{\begin{aligned}1kg\quad ^{235}U:E=N\Delta E&\backsimeq {\frac {1000}{235}}6\cdot 10^{23}\cdot 2\cdot 10^{8}\cdot 1,6\cdot 10^{-19}{Ws}\\&\backsimeq 8\cdot 10^{13}{Ws}\\&\backsimeq 10^{3}{MWd}\end{aligned}}

Fusion[edit | edit source]

Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls{{#set:Fachbegriff=Coulombwalls|Index=Coulombwalls}} oberhalb von $1keV\approx 1,210^{7}K$ möglich (z.B. Sonneninnere mit $T\approx 1,510^{7}K$ und $\rho \approx 10^{5}kg/m^{3}$ ).

Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium

d+^{3}H\to {\underset {3MeV}{^{4}He}}+{\underset {14MeV}{n}}+17,6MeV

n+^{7}Li\to ^{4}He+\underbrace {^{3}H} _{t_{1/2}\approx 12a}+n-2,5MeV

Einzelnachweise[edit | edit source]

↑ Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)
↑ (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)
↑ [Prof. Dr. Heinz Clement: Vorlesung Experimentalphysik VII - Kern- und Teilchenphysik], Vorlesung 32 {{#set:vlkp=32}} Zeitcode: (ab 10:30)

Weitere Informationen[edit | edit source]

(gehört nicht zum Skript) Wikipedia-Artikel

Datei:Tröpfchenmodell.PNG

Prüfungsfragen[edit | edit source]

Äußere Eigenschaften eines Kerns
- Dichte (Größenordnungen)
Bethe-Weizäcker Formel
- Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel)
- Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso proportional zu V?
  - Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner
  - Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten)
  - Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen
  - Paarungsterm:->Isobarenregel
Spaltung/Fusion wo möglich?
Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)

[1] Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)

[2] (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)

[3] [Prof. Dr. Heinz Clement: Vorlesung Experimentalphysik VII - Kern- und Teilchenphysik], Vorlesung 32 {{#set:vlkp=32}} Zeitcode: (ab 10:30)

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 <noinclude>{{ScriptProf|Kapitel=4|Abschnitt=0|Prof=Prof. Dr. P. Zimmermann|Thema=Kern- und Strahlungsphysik|Schreiber=Moritz Schubotz}}</noinclude>
-Die nahezu konstante Nukleonendichte <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu
+Die nahezu konstante {{FB|Nukleonendichte}} <math>\rho \approx 10^{17} kg/m^3</math> und der nahezu
-konstante B/A-Wert ("Kondensationswärme") legt die Analogie zum
+konstante B/A-Wert ("{{FB|Kondensationswärme}}") legt die Analogie zum
-Flüssigkeitstropfen nahe. Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935) Massenformel
+Flüssigkeitstropfen nahe.
+Massenformel<ref>Weizsäcker Z. Phys. 96, 431 (1935)</ref>
-Bindungsenergie setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
+{{FB|Bindungsenergie}} setzt sich aus 5 Anteilen zusammen:
 :<math>B=\sum_{i=1}^5 B_i</math>
-;1. Volumenenergie: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
+;1. {{FB|Volumenenergie}}: <math>B_1=a_1 A</math> Volumenenergie ("Kondensationswärme" ) vermindert um
-;2. Oberflächenenergie: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der
+;2. {{FB|Oberflächenenergie}}: <math>B_2=-a_2 A^{2/3}</math> ~ Anzahl der Nukleonen an der
 Oberfläche, die weniger stark gebunden sind.
-;3. Coulombenergie: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel
+;3. {{FB|Coulombenergie}}: <math>B_3=- \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{5}{3} \frac{Z(Z-1)e^2}{R}=-a_3 \frac{Z(Z-1)}{A^{1/3}}</math> einer homogen geladenen Kugel
-Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für Isobare (A = const) zu stark
+Durch die Coulombenergie <math>B_3</math> würden für {{FB|Isobare}} (A = const) zu stark
 Kerne mit vielen Neutronen bevorzugt. In Wirklichkeit ist jedoch <math>Z\approx N</math>.
 Genauer: Nuklidkarte
-[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png]]
+[[Datei:Nuklidkarte_Stabile_Kerne_12.png|miniatur|zentriert|hochkant=3|Nuklidkarte]]
-Als Gegengewicht ~egenüber dem Coulombterm deshalb:
+Als Gegengewicht genüber dem Coulombterm deshalb:
-;4. Asymmetrie-Energie: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math>
+;4. {{FB|Asymmetrie-Energie}}: <math>B_4 = -a_4\frac{(N-Z)^2}{A}</math>
 Außerdem gilt folgende Regel, wenn man die Kerne bezüglich gerader oder ungerader Protonen- oder Neutronenzahl ordnet:
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 \end{array}</math>
-;5. Parität: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math>
+;5. {{FB|Parität}}: Deshalb <math>B_5= \delta = a_5 A^{-1/2}</math>
 mit <math>\begin{align}
    & \text{(g}\text{, g) : }\text{+}\delta  \\
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-Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> (Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)).
+Anpassung der Formel an viele Massenwerte gibt einen optimalen Wertesatz für die 5 Parameter <math>a_i : a_1 = 16 MeV, a_2 = 18 MeV, a_3 = 0,7 MeV, a_4 = 23 MeV</math> und mit <math>a_5 = 12 MeV</math> <ref>(Seeger Nucl. Phys. 25, 1(1961)</ref>).
 Genauigkeit <math>\approx 1% ab \approx 40</math>.
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 === I. Isobarenregeln ===
-Für Isobare (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z,
+Für {{FB|Isobare}} (A = const.) ist die Massenformel quadratisch in Z,
-deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)Kerne
+deshalb bekommt man für A = ungerade, d.h. für (u, g)- und (g, u)-Kerne
-eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u,
+eine Parabel und für A = gerade, d.h. für (g, g)- und (u, u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der
-u)-Kerne zwei Parabeln, die durch den Abstand <math>2 \delta</math> der
+{{FB|Paarungsenergie}} <math>\delta</math> getrennt sind.
-Paarungsenergie <math>\delta</math> getrennt sind.
-[[Datei:IsobarenRegel13.png]]
+[[Datei:IsobarenRegel13.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Isobarenparabeln{{AnMS|Siehe auch {{Quelle|vlkp|32|ab 10:30}}}}]]
-Trägt man die Massenwerte in die Nuklidkarte auf der N-Z-Ebene
+Trägt man die Massenwerte in die {{FB|Nuklidkarte}} auf der N-Z-Ebene
 nach oben auf, dann sind die Isobarenparabeln Schnitte längs der
-Linie A = Z + N = const. Die stabilen Kerne liegen in der
+Linie '''A = Z + N = const'''. Die stabilen Kerne liegen in der
 "Talsohle des Massetals".
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    {{\beta }^{-}}:\quad n &\to p+{{e}^{+}}+\nu  \\
    {{e}^{-}}+p& \to n+\tilde{\nu } \\
-\end{align}</math> Konkurrenzprozeß: K-Einfang
+\end{align}</math> Konkurrenzprozeß: {{FB|Kerneinfang}}
 === II. Kernspaltung und Fusion ===
-Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch Fusion, für
+Allgemein für leichtere Kerne Energiegewinn durch {{FB|Fusion}}, für
-schwerere Kerne durch Spaltung möglich. Spontane Fusion durch
+schwerere Kerne durch {{FB|Spaltung}} möglich. Spontane Fusion durch
-Coulombabstoßung, spentane Spaltung durch Spaltschwelle behindert.
+Coulombabstoßung, spontane Spaltung durch {{FB|Spaltschwelle}} behindert.
+====Spaltung====
-Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung
+[[Datei:SpontaneSpaltung14.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Stabilitätsbetrachtung bezüglich spontaner Spaltung]]
+;Coulombenergie: <math>B_3 \to B_3(1-\frac{1}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''ab'''.
+;Oberflächenenergie: <math>B_2 \to B_2(1+\frac{2}{5}\epsilon)^2</math> nimmt '''zu'''.
+Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme
+der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.
-[[Datei:SpontaneSpaltung14.png]]
+Rechnung: <math>Z^2/A \lesssim 51</math>
-Stabilitätsbedingung gegenüber spontaner Spaltung: größere Zunahme
-der Oberflächenenergie als Abnahme der Coulombenergie.
-Rechnung: Z2/A ~ 51
 Für <math>Z^2/A \lesssim 51</math> Spaltschwelle:
-[[Datei:SpaltSchwelle15.png]]
+[[Datei:SpaltSchwelle15.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|Spaltschwelle]]
-Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende Bindungsenergie bei Neutroneneinfang. Für thermische Neutronen ist diese Bindungsenergie
+Neutroneninduzierte Spaltung bei Uran durch freiwerdende {{FB|Bindungsenergie}} bei {{FB|Neutroneneinfang}}. Für {{FB|thermische Neutronen}} ist diese Bindungsenergie
 bei <math>^{235}U+n\to^{236}U+6,4MeV\quad(g,u)\underset{n}{\to}(g,g)</math>
@@ Line 93: / Line 95: @@
 bei <math>^{238}U+n\to^{239}U+4,8MeV\quad(g,g)\underset{n}{\to}(g,u)</math>
-Die fehlende Paarungsenergie bei <math>^{239}U</math> bedingt die niedrigere Bind
+Die fehlende {{FB|Paarungsenergie}} bei <math>^{239}U</math> bedingt die niedrigere Bindungsenergie, so daß bei <math>^{238}U</math> der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.
-dungsenergie, so daß bei <math>^{238}U</math> der Einbau thermischer Neutronen nicht zur Überwindung der Spaltschwelle ausreicht.
 Allgemein Spaltprozeß:
+<math>^{235}U+n\textrm{(thermisch)}\to^{236}U\to X+Y+kn</math>
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 z.B.
-[[Datei:BSPSpaltprozess.png]]
+[[Datei:BSPSpaltprozess.png|miniatur|hochkant=3|zentriert|instabile Spaltbruchstücke]]
 Grobe Abschätzung für <math>^{235}U</math>-Verbrauch:
-:<math>1kg\quad^{235}U:E=N\Delta E\backsimeq\frac{1000}{235}6\times10^{23}\times2\times10^{8}\times1,6\times10^{-19}{ Ws}\backsimeq8\times10^{13}{ Ws}\backsimeq10^{8}{ MWd}</math>
+:<math>\begin{align}
+kg\quad^{235}U:E=N\Delta E & \backsimeq\frac{1000}{235}6\cdot10^{23} \cdot 2 \cdot 10^{8} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}{ Ws}\\
+& \backsimeq8 \cdot 10^{13}{ Ws}\\
+& \backsimeq10^{3}{ MWd}\end{align}</math>
 ====Fusion====
-Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des Coulombwalls oberhalb von <math>1 keV \approx 1,2 10^7 K</math> möglich (z.B. Sonneninnere mit <math>T \approx 1,5 10^7 K</math> und <math>\rho \approx 10^5 kg /m^3</math>).
+Bei sehr leichten Kernen Durchtunneln des {{FB|Coulombwalls}} oberhalb von <math>1 keV \approx 1,2 10^7 K</math> möglich (z.B. Sonneninnere mit <math>T \approx 1,5 10^7 K</math> und <math>\rho \approx 10^5 kg /m^3</math>).
 Kontrollierte Fusion mit Deuterium und Trithium
+:<math>d+^{3}H\to\underset{3MeV}{^{4}He}+\underset{14MeV}{n}+17,6MeV</math>
+:<math>n+^{7}Li\to^{4}He+\underbrace{^{3}H}_{t_{1/2}\approx12a}+n-2,5MeV</math>
+==Einzelnachweise==
+<references />
+==Weitere Informationen==
+(gehört nicht zum Skript)
+[http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel Wikipedia-Artikel]
+[[Datei:Isotopentabelle_Segre.svg|miniatur]]
+[[Datei:Tröpfchenmodell.PNG|miniatur]]
+[[Datei:Mattauch1.PNG|miniatur]]
+[[Datei:Doppelbeta-massenparabel.png|miniatur]]
+===Prüfungsfragen===
-==siehe auch==
+* Äußere Eigenschaften eines Kerns
-http://de.wikipedia.org/wiki/Bethe-Weizs%C3%A4cker-Formel
+** Dichte (Größenordnungen)
+*Bethe-Weizäcker Formel
+**Tröpfcherunodell (B/A Graph, Weizsäckerformel)
+**Erklärung der verschiedenen Terme. Wieso  proportional zu V?
+***Oberflächenterm: -> weniger Bindungspartner
+***Coulombterm: -> Protonenabstoßung (Vergleich mit Ladungsverteilung aus Streuexperimenten)
+***Asymmetrieterm:-> Fermiegasherleitung angesprochen
+***Paarungsterm:->Isobarenregel
+*Spaltung/Fusion wo möglich?
+*Warum keine spontane Fusion/Spaltung? (Bei Fusion wegen Coulombwall, bei Spaltung wegen Oberflächenenergieterm aus Tröpfchenmodell (Potential als Funktion der Deformation aufmalen)