Formaler Aufbau der Quantenmechanik

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes

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Der Artikel Formaler Aufbau der Quantenmechanik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 2.Kapitels (Abschnitt 0) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes.

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Formaler Aufbau der Quantenmechanik

Ein Anfang der Quantenmechanik ist der Kommutator{{#set:Fachbegriff=Kommutator|Index=Kommutator}}

$\left[{\underline {x}},{\underline {p}}\right]={\mathfrak {i}}\hbar$

(2.1)

mit den OperatorenOrtsoperator{{#set:Fachbegriff=Ortsoperator|Index=Ortsoperator}} ${\hat {x}}$(Ort) ${\hat {p}}$(ImpulsImpulsoperator{{#set:Fachbegriff=Impulsoperator|Index=Impulsoperator}}), einer Unschärferelation{{#set:Fachbegriff=Unschärferelation|Index=Unschärferelation}}

$\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}$

(2.2)

und quantenmechanischen Zuständen, die mit Wellenfunktionen, z.B. $\Psi \left({\underline {x}}\right)$beschrieben werden. Diese Zustände sind Elemente eines Hilbertraums, auf dem die Operatoren der Messgrößen operieren.

Hilbertraum

Definition

(2.3)

Ein Hilbertraum{{#set:Fachbegriff=Hilbertraum|Index=Hilbertraum}} ist ein vollständiger unitärer Raum.

Definition

(2.4)

Ein Vektorraum mit Skalarprodukt $\left\langle \Phi |\Psi \right\rangle$ und (induzierter)

Norm $\left\|\Psi \right\|:={\sqrt {\left\langle \Psi |\Psi \right\rangle }}$ heißt unitärer Raum{{#set:Fachbegriff=unitärer Raum|Index=unitärer Raum}}.

Definition

(2.5)

Eine Norm{{#set:Fachbegriff=Norm|Index=Norm}} eines komplexen Vektorraums V ist ein Abbildung $V\to {{\mathbb {R} }^{+}}$, so dass für $\Psi ,\Phi \in V$ gilt

1. $\left\|\Psi \right\|\geq 0,\left\|\Psi \right\|=0\Leftrightarrow \Psi =0$
2. $\left\|c\Psi \right\|=c\left\|\Psi \right\|,\quad c\in \mathbb {C}$
3. $\left\|\Psi +\Phi \right\|\leq \left\|\Psi \right\|+\left\|\Phi \right\|$

Definition

(2.6)

Ein Skalarprodukt{{#set:Fachbegriff=Skalarprodukt|Index=Skalarprodukt}} eines Vektorraums V ist eine Abbildung $\left(V,V\right)\to \mathbb {C}$, so dass für $\psi ,\phi ,\chi \in V$gilt:

${\begin{aligned}&\left\langle \psi |\psi \right\rangle \geq 0\\&\left\langle \psi +\phi |\chi \right\rangle =\left\langle \psi |\chi \right\rangle +\left\langle \phi |\chi \right\rangle \\&\left\langle \psi |c\phi \right\rangle =c\left\langle \psi |\phi \right\rangle \quad c\in \mathbb {C} \\&\left\langle \psi |\phi \right\rangle ={{\left\langle \phi |\psi \right\rangle }^{*}}={\overline {\left\langle \phi |\psi \right\rangle }}\\\end{aligned}}$

Definition

(2.7)

Ein Folge $\left\{{{\Psi }_{n}}\right\}$in einem normierten Raum heißt Cauchy-Folge{{#set:Fachbegriff=Cauchy-Folge|Index=Cauchy-Folge}}, falls $\forall \varepsilon >0\exists N\left(\varepsilon \right)$ ganz so dass $\forall n,m>N\left(\varepsilon \right)\Rightarrow \left\|{{\Psi }_{n}}-{{\Psi }_{m}}\right\|<\varepsilon$.

Definition

(2.8)

Ein unitärer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert heißt vollständigvollständiger unitärer Raum{{#set:Fachbegriff=vollständiger unitärer Raum|Index=vollständiger unitärer Raum}}.

Beispiele:

1. Hilbertraum ${\mathcal {H}}={{\mathbb {C} }^{n}}$, n-dimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis ${{\underline {e}}_{1}}=\left({\begin{aligned}&1\\&0\\&\vdots \\&0\\\end{aligned}}\right)\quad {{\underline {e}}_{2}}=\left({\begin{aligned}&0\\&1\\&\vdots \\&0\\\end{aligned}}\right)\quad ...\quad {{\underline {e}}_{n}}=\left({\begin{aligned}&0\\&0\\&\vdots \\&1\\\end{aligned}}\right)$.
2. Hilbertraum ${{\mathcal {H}}_{L}}$der quadratintegrierbaren Wellenfunktionen eines Potentialtopfes mit unendlich hohen Wänden in 1 Dimension

$\Psi \left({\underline {x}}\right)$

auf $x\in \left[0,L\right],\Psi \left(0\right)=\Psi \left(L\right)=0$

$-{\frac {\hbar }{2m}}\Psi '{{'}_{n}}\left(x\right)={{E}_{n}}{{\Psi }_{n}}\left(x\right)$

Basis ${{\Psi }_{n}}\left(x\right)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right),\quad {{E}_{n}}={\frac {{\left(\hbar n\pi \right)}^{2}}{2m{{L}^{2}}}},\quad n\in \mathbb {N}$

(2.9)

Skalarprodukt

${\begin{aligned}&\left\langle \Psi |\Phi \right\rangle =\int \limits _{0}^{L}{{{\Psi }^{*}}\left(x\right)\Phi \left(x\right)dx}\\&\left\langle {{\Psi }_{n}}|{{\Psi }_{m}}\right\rangle ={{\delta }_{mn}}\\\end{aligned}}$

• Vollständigkeit{{#set:Fachbegriff=Vollständigkeit|Index=Vollständigkeit}}: $\Phi \left(x\right)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\underbrace {\left\langle {{\Psi }_{n}}|\Phi \right\rangle } _{\text{Fourierkoeffizient}}{{\Psi }_{n}}\left({\underline {x}}\right)\quad \forall \Phi \in {{\mathcal {H}}_{L}}}$

vergleich mit ${\underline {y}}=\sum \limits _{n=1}^{d}{\left\langle {{\underline {e}}_{n}}|{\underline {y}}\right\rangle {{\underline {e}}_{n}}\quad k\forall {\underline {y}}\in {{\mathbb {C} }^{n}}}$

(AUFGABE):

1. Definiere $\Phi \in {{\mathcal {H}}_{L}}$mit $\Phi \left(x\right)=Nx\left(L-x\right)$
2. bestimme N so dass $\left\|\Phi \right\|=1$
3. Beweise die Formel ${\frac {{\pi }^{3}}{32}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {{\left(-1\right)}^{k}}{{\left(2k+1\right)}^{3}}}$
4. Beweise die Cauchy-Scharz Ungleichung{{#set:Fachbegriff=Cauchy-Scharz Ungleichung|Index=Cauchy-Scharz Ungleichung}} $\left|\left\langle \alpha |\beta \right\rangle \right|\leq \left\|\alpha \right\|\left\|b\right\|$für $\left|\alpha \right\rangle ,\left|\beta \right\rangle \in {\mathcal {H}}$

Definition: $\left\{{{\Psi }_{n}}\right\}$ vollständiges Orthogonalsystem{{#set:Fachbegriff=vollständiges Orthogonalsystem|Index=vollständiges Orthogonalsystem}} eins HR${\mathcal {H}}$

$\Leftrightarrow \left\langle {{\Psi }_{n}}|{{\Psi }_{n'}}\right\rangle ={{\delta }_{nn'}}$ und $\Phi =\sum \limits _{n}{\left\langle {{\Psi }_{n}}|\Phi \right\rangle {{\Psi }_{n}}\quad \forall \Phi \in {\mathcal {H}}}$

(2.10)

---

Satz (Parseval)

$\Phi =\sum \limits _{n}{\left\langle {{\Psi }_{n}}|\Phi \right\rangle {{\Psi }_{n}}\Leftrightarrow {{\left\|\Phi \right\|}^{2}}=\sum \limits _{n}{{\left|\left\langle {{\Psi }_{n}}|\Phi \right\rangle \right|}^{2}}}$

(2.11)

Bemerkung:

• Vollständige „normierte Räume“ heißen BanachräumeBanachraum{{#set:Fachbegriff=Banachraum|Index=Banachraum}} (haben kein Skalarprodukt)
• Mehr Details: Funktionalanalysis z.B. Bornstein/Senendajew Taschenbuch der Mathematik, ergänzende Kapitel

Dirac-Notation

Bequeme Notation für Ψ, Skalarprodukte $\left\langle \Psi |\Phi \right\rangle$etc. eines Hilbertraum

${\mathcal {H}}$

1. Skalarprodukt{{#set:Fachbegriff=Skalarprodukt|Index=Skalarprodukt}} von $\Psi {\text{ und }}\Phi \leftrightarrow \left\langle \Psi |\Phi \right\rangle ={{\left\langle \Phi |\Psi \right\rangle }^{*}}$
2. VollständigkeitsrelationVollständigkeitsrelation{{#set:Fachbegriff=Vollständigkeitsrelation|Index=Vollständigkeitsrelation}} für Basis ${{\Psi }_{n}}\leftrightarrow \left|n\right\rangle$

${\begin{aligned}&\left|\Phi \right\rangle =\sum \limits _{n}{\left\langle n|\Phi \right\rangle \left|n\right\rangle }\\&\left|\Phi \right\rangle =\sum \limits _{n}{\underbrace {\left|n\right\rangle \left\langle n\right|} _{\underline {1}}\left.\Phi \right\rangle }\\\end{aligned}}$

1. Dualraum{{#set:Fachbegriff=Dualraum|Index=Dualraum}} und Bra-Zustände

Dualraum ${{\mathcal {H}}^{*}}$eines Hilbertraum ${\mathcal {H}}$: Raum aller linearen Funktionale

$\left\langle \Psi \right|:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C} ,\quad \left|\Phi \right\rangle \to \left\langle \Psi |\Phi \right\rangle$

(2.14)

Vektor $\left|\Psi \right\rangle$als Funktional $\left\langle \Psi \right|$aufgefasst wie in (2.14) heißt „Dirac-Bra“ oder einfach „Bra“ Name von $\underbrace {\left\langle \Psi \right.} _{\text{bra}}|\underbrace {\left.\Phi \right\rangle } _{\text{ket}}$engl. ‚bracket‘ Geometrische Interpretation im ${{\mathbb {R} }^{3}}$:

1. $\left|{{\Phi }_{i}}\right\rangle$alsKet{{#set:Fachbegriff=Ket|Index=Ket}}s: normale Vektoren
2. $\left\langle {{\Phi }_{i}}\right|$alsBra{{#set:Fachbegriff=Bra|Index=Bra}}s: als Abbildung, z.B. $\left\langle {{\Phi }_{3}}\right|:\underbrace {\left|\Phi \right\rangle } _{\in {{\mathbb {R} }^{3}}}\to \underbrace {\left\langle {{\Phi }_{3}}|\Phi \right\rangle } _{\in \mathbb {R} }$Projektion auf 3-Achse $\left\langle {{\Phi }_{1}}\right|,\left\langle {{\Phi }_{2}}\right|,\left\langle {{\Phi }_{3}}\right|$ Basis für Dualraum ${{\mathbb {R} }^{3}}$, d.h. jedes Funktional $\left\langle f\right|$ (Projektion) als Linearkombination ${{c}_{1}}\left\langle {{\Phi }_{1}}\right|+{{c}_{2}}\left\langle {{\Phi }_{2}}\right|+{{c}_{3}}\left\langle {{\Phi }_{3}}\right|\equiv \left\langle f\right|$
3. „Tricks“: Dirac-Notation sehr flexibel, z.B.
4. ${{\left\|\Phi \right\|}^{2}}=\left\langle \Phi |\Phi \right\rangle =\left\langle \Phi |{\underline {1}}|\Phi \right\rangle =\sum \limits _{n}{\left\langle \Phi |n\right\rangle }\left\langle n|\Phi \right\rangle ={{\sum \limits _{n}{\left|\left\langle n|\Phi \right\rangle \right|}}^{2}}$
5. „Einschieben der Eins{{#set:Fachbegriff=Einschieben der Eins|Index=Einschieben der Eins}}“

Operatoren in der Quantenmechanik

Definition: Ein linearer Operator{{#set:Fachbegriff=linearer Operator|Index=linearer Operator}} ${\hat {A}}:{\mathcal {H}}\to {\mathcal {H}}$ (${\mathcal {H}}$ Hilbertraum), erfüllt

${\hat {A}}\left(\left|\Psi \right\rangle +c\left|\Phi \right\rangle \right)={\hat {A}}\left|\Psi \right\rangle +c{\hat {A}}\left|\Phi \right\rangle$

(2.15)

Beispiele:

1. Ortsoperator{{#set:Fachbegriff=Ortsoperator|Index=Ortsoperator}}${\hat {x}}$ Impulsoperator{{#set:Fachbegriff=Impulsoperator|Index=Impulsoperator}} ${\hat {p}}={\frac {\hbar }{\mathfrak {i}}}{\underline {\nabla }}$

für ${\mathcal {H}}={{\mathcal {H}}_{L}}:\quad {\hat {x}}:\Psi \left(x\right)\to x\Psi \left(x\right)\quad {\hat {p}}:\Psi \left(x\right)\to {\frac {\hbar }{\mathfrak {i}}}\Psi '\left(x\right)$

1. n x n-Matrizen auf ${{\mathbb {C} }^{2}}$

${{\mathbb {C} }^{2}}$ist in der Tat der einfachste nichttriviale Hilbertraum, auf dem sich Quantenmechanik machen lässt! Beispiel Spin ½, Pauli-Matrizen.

Definition Der Erwartungswert{{#set:Fachbegriff=Erwartungswert|Index=Erwartungswert}} eines Operators ${\hat {A}}$im Zustand $\left|\Psi \right\rangle$ist

${{\left\langle {\hat {A}}\right\rangle }_{\Psi }}:={\frac {\left\langle \Psi |{\hat {A}}\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi |\Psi \right\rangle }}:={\frac {\left\langle \Psi \left|{\hat {A}}\right|\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi |\Psi \right\rangle }}$

(2.16)

Definition

(2.17)

Matrixelement{{#set:Fachbegriff=Matrixelement|Index=Matrixelement}} eines Operators $\left\langle n\left|{\hat {A}}\right|m\right\rangle$

Beispiele $\left|n\right\rangle \to {{\Psi }_{n}}\left(x\right)$Wellenfunktion des eindimensionalen Oszillators, normiert.

${\hat {A}}={{\hat {x}}^{2}}$

Dann ist ${{\left\langle {\hat {x}}\right\rangle }_{n}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{\Psi }_{n}}^{*}\left(x\right){{x}^{2}}{{\Psi }_{n}}\left(x\right)dx=}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{x}^{2}}\underbrace {{\left|\Psi \left(x\right)\right|}^{2}} _{\text{Wahrscheinlichkeitsdichte}}dx}$

Definition

(2.18)

Der zu einem linearen Hilbertraum-Operator A adjungierte Operatoradjungierter Operator{{#set:Fachbegriff=adjungierter Operator|Index=adjungierter Operator}} A⁺ ist definiert durch

$\left\langle \Psi |A\Phi \right\rangle =\left\langle {{A}^{+}}\Psi |\Phi \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in {\mathcal {H}}$

Definition

(2.19)

Ein linearer Operator heißt hermitesch{{#set:Fachbegriff=hermitesch|Index=hermitesch}} (selbstadjungiert{{#set:Fachbegriff=selbstadjungiert|Index=selbstadjungiert}}), ${{A}^{+}}=A$ wenn

$\left\langle \Psi |A\Phi \right\rangle =\left\langle A\Psi |\Phi \right\rangle \quad \forall \Psi ,\Phi \in {\mathcal {H}}$

Axiom: In der Quantenmechanik werden physikalische Messgrößen als Observable bezeichnet und durch selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum dargestellt.

• Energie ${\mathcal {H}}$Hamiltonoperator

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V\left({\underline {r}}\right)$

(2.20)

für nichtrelativistische Teilchen der Masse

• Ort ${\hat {r}}$, Impuls ${\hat {p}}={\frac {\hbar }{\mathfrak {i}}}{\underline {\nabla }}$, DrehimpulsDrehimpuls{{#set:Fachbegriff=Drehimpuls|Index=Drehimpuls}} ${\hat {L}}={\hat {r}}\times {\hat {p}}$
• Spin ½ (Helizität) in Richtung ${\hat {n}}$für Dirac-Teilchen,

${\frac {1}{2}}{\hat {n}}\Sigma ={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}{\hat {n}}{\underline {\sigma }}&0\\0&{\hat {n}}{\underline {\sigma }}\\\end{matrix}}\right)$

vgl. Satz: Die Eigenwerte selbstadjungierter Operatoren sind reell die Eigenkets sind orthogonal. Damit erhält man die Spektralzerlegung{{#set:Fachbegriff=Spektralzerlegung|Index=Spektralzerlegung}} von Operatoren ${\hat {A}}$nach seinen Eigenzuständen, d.h.

${\hat {A}}\left|n\right\rangle ={{a}_{n}}\left|n\right\rangle \Rightarrow {\hat {A}}=\sum \limits _{n}{{{a}_{n}}{{\hat {P}}_{n}}}$

(2.21)

mit ${{\hat {P}}_{n}}$dem orthogonalen Projektor auf Unterraum der von den Eigenvektoren zum Eigenwert a_n aufgespannt wird. Falls a_n nicht entartet, gilt

${{\hat {P}}_{n}}=\left|n\right\rangle \left\langle n\right|$,

$\left|n\right\rangle$normiert. Axiom: Die möglichen Messwerte einer Observablen  im Zustand $\left|\Psi \right\rangle$ sind die Eigenwerte a_n, die mit Wahrscheinlichkeit

$prob\left({{a}_{n}}\right)={\frac {\left\langle \Psi \left|{{\hat {P}}_{n}}\right|\Psi \right\rangle }{\left\langle \Psi |\Psi \right\rangle }}$

(2.22)

auftreten. Wird a_n gemessen, so geht $\left|\Psi \right\rangle$instantan in ${\frac {{{P}_{n}}\left|\Psi \right\rangle }{\sqrt {\left\langle \Psi \left|{{P}_{n}}\right|\Psi \right\rangle }}}$ über („Kopenhagener Deutung“, „Reduktion des Wellenpakets“).

Das Zweiniveausystem als einfachstes Quantensystem

Wir betrachten ein Teilchen, das zwischen zwei Potentialmulden (L links) und (R rechts) hin und her-tunnelt. In grober Vereinfachung betrachten wir nur die Energie der tiefsten Zustände links und rechts ${{\varepsilon }_{L}}$und ${{\varepsilon }_{R}}$

Ohne tunneln wäre der Hamiltonoperator für dieses vereinfachte System

${{\hat {H}}_{0}}={{\varepsilon }_{L}}\left|L\right\rangle \left\langle L\right|+{{\varepsilon }_{R}}\left|R\right\rangle \left\langle R\right|$

(2.23)

Im Matrix- Schreibweise als Qubit{{#set:Fachbegriff=Qubit|Index=Qubit}} im Hilbertraum ${\mathcal {H}}={{\mathbb {C} }^{2}}$

$\left|L\right\rangle =\left({\begin{aligned}&1\\&0\\\end{aligned}}\right);\quad \left|R\right\rangle =\left({\begin{aligned}&0\\&1\\\end{aligned}}\right);\quad {{\hat {H}}_{0}}=\left({\begin{matrix}{{\varepsilon }_{L}}&0\\0&{{\varepsilon }_{R}}\\\end{matrix}}\right)$

(2.24)

Den (komplizierten) Tunneleffekt{{#set:Fachbegriff=Tunneleffekt|Index=Tunneleffekt}} bestreiben wir vereinfacht durch ein „effektives Potential{{#set:Fachbegriff=effektives Potential|Index=effektives Potential}}“ ${\hat {V}}$in ${\mathcal {H}}$, d.h. durch den

Tunnel-Operator{{#set:Fachbegriff=Tunnel-Operator|Index=Tunnel-Operator}} ${\hat {V}}={{T}_{c}}\left({\begin{matrix}0&1\\1&0\\\end{matrix}}\right)={{T}_{c}}{{\sigma }_{x}}$

(2.25)

Den Gesamt-Hamilton-Operator beschreiben wir durch die Summe

${\hat {H}}={{\hat {H}}_{0}}+{\hat {V}}$

(2.26)

AUFGABEN…

Zeitentwicklung in der Quantenmechanik

Ausgangspunkt: Bewegungsgleichung (Schrödinger, Dirac) der Form

${\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle ={\hat {H}}\left(t\right)\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle$

(2.27)

Hier ist

$\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle$

zeitabhängig und auch der Hamiltonian

${\hat {H}}\left(t\right)$

kann zeitabhängig sein, z.B. ${\hat {H}}={\frac {{p}^{2}}{2m}}+V\left(x,t\right)$ (zeitabhängiges Potential)

Zeitunabhängiger Hamiltonian

In diesem Fall formale Lösung von (2.27) durch

$\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle ={{e}^{-i{\hat {H}}\left(t-{{t}_{0}}\right)}}\left|\Psi \left({{t}_{0}}\right)\right\rangle \quad ,\quad t>{{t}_{0}}$

(2.28)

als Anfangswertproblem{{#set:Fachbegriff=Anfangswertproblem|Index=Anfangswertproblem}} mit dem

${\hat {U}}\left(t,{{t}_{0}}\right)={{e}^{i{\hat {H}}\left(t-{{t}_{0}}\right)}}\quad t>{{t}_{0}}$

(2.29)

Û ist unitär, ${{\hat {U}}^{-1}}={{\hat {U}}^{+}}$, denn ${\hat {H}}={{\hat {H}}^{+}}$ist selbstadjungiert Die Zeitentwicklung{{#set:Fachbegriff=Zeitentwicklung|Index=Zeitentwicklung}}

$\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle ={\hat {U}}\left(t,{{t}_{0}}\right)\left|\Psi \left({{t}_{0}}\right)\right\rangle$

ist eine unitäre Transformation. Erwartungswerte von der Observabelen Â

${{\left\langle {\hat {A}}\right\rangle }_{0}}:={{\left\langle {\hat {A}}\right\rangle }_{\left|\Psi \left(0\right)\right\rangle }}=\left\langle \Psi \left(0\right)\,\left|{\hat {A}}\,\right|\,\Psi \left(0\right)\right\rangle$

zur Zeit ${{t}_{0}}=0$ ($\left|\Psi \left(0\right)\right\rangle$ normiert.)

${{\left\langle {\hat {A}}\right\rangle }_{t}}:={{\left\langle {\hat {A}}\right\rangle }_{\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle }}=\left\langle \Psi \left(t\right)\,\left|{\hat {A}}\,\right|\,\Psi \left(t\right)\right\rangle$

zur Zeit ${{t}_{0}}>0$

Wir haben

${{\left\langle {\hat {A}}\right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left(0\right){{e}^{{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}\,\left|{\hat {A}}\,\right|\,{{e}^{-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}\Psi \left(0\right)\right\rangle =\left\langle \Psi \left(0\right)\,\underbrace {\left|{{e}^{{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}{\hat {A}}{{e}^{-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}\right|} _{\tilde {A}}\,\Psi \left(0\right)\right\rangle$

also

${\tilde {A}}\left(t\right):={{e}^{-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}{\hat {A}}{{e}^{-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}$ (Zeitentwicklung von Operator ${\hat {A}}$ im Heisenbergbild)

Bemerkung: ${\text{Ket}}\quad {\hat {B}}\left|\Psi \right\rangle \mapsto \left\langle \Psi \right|{{\hat {B}}^{+}}\quad \quad Bra$ Skalarprodukt: Mathematiker:

$\left(\left|\Psi \right\rangle ,\left|\Phi \right\rangle \right)\equiv \left\langle \Psi |\Phi \right\rangle$

Physiker-Notation

Es gibt also zwei unitär Äquivalente Arten der Zeitentwicklung

1. „Schrödinger-Bild{{#set:Fachbegriff=Schrödinger-Bild|Index=Schrödinger-Bild}}“ Operatoren ${\hat {A}}$fest, Zustände zeitabhängig
2. $\left|\Psi \left(t\right)\right\rangle ={\hat {U}}\left(t,{{t}_{0}}\right)\left|\Psi \left({{t}_{0}}\right)\right\rangle$
4. „Heisenberg-Bild{{#set:Fachbegriff=Heisenberg-Bild|Index=Heisenberg-Bild}}“ Zustand $\left|\Psi \left({{t}_{0}}\right)\right\rangle$fest (Anfangszustand), Operatoren zeitabhängig${\hat {A}}\left(t\right)={{\hat {U}}^{+}}\left(t,{{t}_{0}}\right){\hat {A}}{\hat {U}}\left(t,{{t}_{0}}\right)$

Im Heisenberg-Bild hat man die Bewegungsgleichung

Heisenberg-BewegungsgleichungBewegungsgleichung:Heisenberg{{#set:Fachbegriff=Bewegungsgleichung:Heisenberg|Index=Bewegungsgleichung:Heisenberg}} ${{d}_{t}}{\hat {A}}\left(t\right)={\mathfrak {i}}\left[{\hat {H}},{\hat {A}}\left(t\right)\right]$

(2.31)

Häufig schreibt man${{\hat {A}}_{H}}\left(t\right)$, falls die Operatoren ${\hat {A}}$bereits im Schrödinger-Bild eine intrinsische Zeitabhängigkeit haben, z.B. durch zeitabhängige äußere Felder, d.h.

${\hat {A}}={\hat {A}}\left(t\right)\Rightarrow {{\left\langle {\hat {A}}\right\rangle }_{t}}=\left\langle \Psi \left(t\right)\,\underbrace {\left|{\hat {A}}\left(t\right)\,\right|} _{\text{Intrinsisch}}\,\Psi \left(t\right)\right\rangle =\left\langle \Psi \left(0\right)\,\underbrace {\left|{{e}^{{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}{\hat {A}}{{e}^{-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}\right|} _{{{\hat {A}}_{H}}\left(t\right)}\,\Psi \left(0\right)\right\rangle$

(2.32)

so dass (CHECK)

${{d}_{t}}{{\hat {A}}_{H}}\left(t\right)=i\left[{\hat {H}},{\hat {A}}\left(t\right)\right]+{{e}^{{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}\underbrace {{{d}_{t}}{\hat {A}}\left(t\right)} _{\text{intrinsisch}}{{e}^{-{\mathfrak {i}}{\hat {H}}t}}$

(2.33)

Zeitabhängiger Hamiltonian: Spin ½, 2 Niveausystem, NMR

Die meisten Fälle mit zeitabhängigem ${\hat {H}}\left(t\right)$sind exakt nicht mehr lösbar. Hier betrachten wir

${\hat {H}}\left(t\right)={\underline {B}}\left(t\right){\underline {\sigma }}=\left({\begin{matrix}{{B}_{z}}\left(t\right)&B_{||}^{*}\left(t\right)\\B_{||}^{*}\left(t\right)&-{{B}_{z}}\left(t\right)\\\end{matrix}}\right)\quad {{B}_{||}}\left(t\right)={{B}_{x}}\left(t\right)+{\mathfrak {i}}{{B}_{y}}\left(t\right)$

(2.34)

zum Beispiel für einen Spin ½, beschrieben durch den ${\underline {\sigma }}$-Vektor der Pauli-Matrizen, in einem zeitabhängigen B-Feld

• Hilbertraum hier ${{\mathcal {H}}_{Spin}}={{\mathbb {C} }^{2}}$
• (2.34) einfaches Modell für Spin ½ Freiheitsgrad z.B. ein Elektron in der Pauli-Gleichung $i{{\partial }_{t}}\varphi =\left[{\frac {1}{2m}}{{\left({\underline {p}}-e{\underline {A}}\right)}^{2}}-\underbrace {{\frac {e\hbar }{2m}}{\underline {\sigma }}.{\underline {B}}} _{\text{Pauli-Term}}+e\phi \right]\varphi$
• (1.44)

mit Konstante $-{\frac {e\hbar }{2m}}\to 1$ und Separation des Ortes (x) und Spin Freiheitsgrade

$\varphi \left({\underline {x}},t\right)=\underbrace {\Psi \left({\underline {x}},t\right)} _{\text{Orts-WF}}\underbrace {\left({\begin{aligned}&{{\chi }_{1}}\left(t\right)\\&{{\chi }_{2}}\left(t\right)\\\end{aligned}}\right)} _{\text{Spin-WF}}$

(2.35)

in Dirac-Schreibweise

${\begin{aligned}&\left|\varphi \left(t\right)\right\rangle \quad =\quad \left|\Psi \left(t\right)\right\rangle \quad \otimes \quad \left|\chi \left(t\right)\right\rangle \\&{\mathcal {H}}\quad =\quad {{\mathcal {H}}_{Ort}}\quad \otimes \quad {{\mathcal {H}}_{Spin}}\\\end{aligned}}$

(2.36)

mit ${{\mathcal {H}}_{Ort}}={{L}^{2}}\left({{\mathbb {R} }^{3}}\right)$ (Hilbertraum der Quadratintegrabelen Funktionen auf ${{\mathbb {R} }^{3}}$) und ${{\mathcal {H}}_{Spin}}={{\mathbb {C} }^{2}}$. Lösung der zeitabhängigen Schrödingergleichung für (2.34)

${\begin{aligned}&{\mathfrak {i}}{{\partial }_{t}}\left|\chi \left(t\right)\right\rangle ={\hat {H}}\left(t\right)\left|\chi \left(t\right)\right\rangle \\&\Leftrightarrow {\begin{matrix}{\begin{aligned}&{\mathfrak {i}}{{\dot {\chi }}_{1}}={{B}_{z}}{{\chi }_{1}}-B_{||}^{*}{{\chi }_{2}}\\&{\mathfrak {i}}{{\dot {\chi }}_{2}}=B_{||}^{}{{\chi }_{1}}-{{B}_{z}}{{\chi }_{2}}\\\end{aligned}}&{}\\\end{matrix}}\\\end{aligned}}$

(2.37)

kann für zeitabhängige ${{B}_{||}},{{B}_{z}}$ i.A. nur numerische gelöst werden. AUFGABE: schreiben Sie eine Code, der (2.37) löst, und diskutiere die Physik die damit beschrieben wird. Spezialfälle von (2.37) können analytisch gelöst werden

1. ${\underline {B}}={\text{const}}\Rightarrow$quantenmechanische Ozillatoren

Eigenwerte von ${\hat {H}}$ sind

${{\varepsilon }_{\pm }}=\pm \left|{\underline {B}}\right|\quad \left|{\underline {B}}\right|={\sqrt {B_{z}^{2}+{{\left|{{B}_{||}}\right|}^{2}}}}$

(CHECK) à Zeitentwicklung $U\left(t,0\right)={{e}^{-i{\hat {H}}t}}=S{{e}^{-iDt}}{{S}^{-1}}$mit $D=diag\left({{\varepsilon }_{+}},{{\varepsilon }_{-}}\right)$ Alternativer Lösungsweg: Ansatz

${{\chi }_{j}}\left(t\right)={{c}_{j}}{{e}^{izt}}$

in (siehe b)

1. Rotierende B-Feld à Rabi-Oszillationen

Hier

${\begin{aligned}&{{B}_{z}}={{B}_{0}}={\text{const}}\\&{{B}_{||}}={{B}_{1}}{{e}^{{\mathfrak {i}}\omega t}}=\underbrace {{{B}_{1}}\cos \omega t} _{{B}_{x}}+{\mathfrak {i}}\underbrace {{{B}_{1}}\sin \omega t} _{{B}_{y}}\quad {{B}_{1}}\in \mathbb {R} \\\end{aligned}}$

(2.38)

${{B}_{||}}$

rotiert in x-y-Ebene „Drehwellenmodelle“

${\begin{aligned}&{{\chi }_{1}}={{c}_{1}}{{e}^{{\mathfrak {i}}zt-{\mathfrak {i}}{\frac {\omega }{2}}t}}\quad \quad \left(z+{\frac {\omega }{2}}\right){{c}_{1}}={{B}_{0}}{{c}_{1}}+{{B}_{1}}{{c}_{2}}\\&{{\chi }_{2}}={{c}_{2}}{{e}^{{\mathfrak {i}}zt+{\mathfrak {i}}{\frac {\omega }{2}}t}}\quad \quad \left(z-{\frac {\omega }{2}}\right){{c}_{1}}={{B}_{1}}{{c}_{1}}-{{B}_{0}}{{c}_{2}}\\\end{aligned}}$

(2.39)

Nichttriviale Lösung von (2.39) für

$0=\left|{\begin{matrix}z+{\frac {\omega }{2}}-{{B}_{0}}&-{{B}_{1}}\\-{{B}_{1}}&z-{\frac {\omega }{2}}+{{B}_{0}}\\\end{matrix}}\right|={{z}^{2}}-{{\left({{B}_{0}}-{\frac {\omega }{2}}\right)}^{2}}-B_{1}^{2}\Rightarrow {{z}_{\pm }}=\pm {\sqrt {{{\left({{B}_{0}}-{\frac {\omega }{2}}\right)}^{2}}+B_{1}^{2}}}=\pm {\frac {1}{2}}{{\Omega }_{R}}$

mit

${{\Omega }_{R}}:={\sqrt {{{\left(2{{B}_{0}}-\omega \right)}^{2}}+4B_{1}^{2}}}$

(2.40)

Damit zwei linear unabhängige Lösungen für ${{\chi }_{2}}\left(t\right),{{\chi }_{1}}\left(t\right)$

${\begin{aligned}&{{\chi }_{2}}\left(t\right)={{c}_{+}}{{e}^{{\mathfrak {i}}\left({\frac {\omega }{2}}+{\frac {{\Omega }_{R}}{2}}\right)t}}+{{c}_{-}}{{e}^{{\mathfrak {i}}\left({\frac {\omega }{2}}-\,{\frac {{\Omega }_{R}}{2}}\right)t}}\quad {{c}_{\pm }}\in \mathbb {C} \\&={{e}^{{\mathfrak {i}}\omega t}}\left\{\alpha \cos {\frac {{\Omega }_{R}}{2}}+\beta \sin {\frac {{\Omega }_{R}}{2}}\right\}\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} \end{aligned}}$

(2.41)

für ${{\chi }_{1}}\left(t\right)$ entsprechen: Koeffizienten für ${{\chi }_{2}}\left(t\right),{{\chi }_{1}}\left(t\right)$ hängen über (2.37) zusammen. Aufgabe: 1 Fall b) lösen für ${{\chi }_{1}}\left(0\right)=0,{{\chi }_{2}}\left(0\right)=1$ und diskutieren.