Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall: Difference between revisions
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<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math> | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\Psi =\left( \underline{\alpha }\left( \underline{\hat{p}}-e\underline{A} \right)+\beta m+e\phi \right)\Psi ,\quad \hbar =c=1</math> | ||
: |(1.37)|RawN=.}} | : |(1.37)|RawN=.}} | ||
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\end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren | \end{align} \right){{e}^{\frac{-\mathfrak{i} m{{c}^{2}}t}{\hbar }}}</math>, mit den 2er Spinoren | ||
<math>\varphi =\left( \begin{align} | :<math>\varphi =\left( \begin{align} | ||
& {{\varphi }_{1}} \\ | & {{\varphi }_{1}} \\ | ||
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<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align} | :<math>\mathfrak{i} {{\partial }_{t}}\left( \begin{align} | ||
& \varphi \\ | & \varphi \\ | ||
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Beachte das jetzt überall <math>\varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>gilt | Beachte das jetzt überall <math>\varphi =\varphi \left( \underline{x},t \right)</math>gilt | ||
Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse <math>m{{c}^{2}}</math> ist | Jetzt: Näherung/Annahme das <u>kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse</u> <math>m{{c}^{2}}</math> ist | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi \right| \\ | & mc{{\chi }^{2}}\gg \left| i\hbar {{\partial }_{t}}\chi \right|,\quad mc{{\chi }^{2}}\gg \left| e\phi \varphi \right| \\ | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
\left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ | \left( \underline{\sigma }\underline{A} \right)\left( \underline{\sigma }\underline{B} \right)=\underline{A}\underline{B}\underline{\underline{1}}+\mathfrak{i} \underline{\sigma }\left( \underline{A}\times \underline{B} \right) \\ | ||
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: |(1.41)|RawN=.}} | : |(1.41)|RawN=.}} | ||
mit | mit | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
\underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B} | \underline{A}=\left( {{A}_{1}},{{A}_{2}},{{A}_{3}} \right),\underline{B}=\left( {{B}_{1}},{{B}_{2}},{{B}_{3}} \right),\underline{A},\underline{B} | ||
\text{ vektorwertiger Operator und} \\ | \text{ vektorwertiger Operator und} \\ | ||
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</math> | </math> | ||
Beweis von (1.41) mittels (Anti) {{FB|Kommutator-Eigenschaften}} | Beweis von (1.41) mittels (Anti) {{FB|Kommutator-Eigenschaften}} | ||
<font color="# | <font color="#3399FF">'''''(AUFGABE)'''''</FONT> | ||
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<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\ | & \left\{ {{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}},{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}} \right\}:={{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}+{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{j}}{{{\underline{\underline{\sigma }}}}_{i}}=2{{\delta }_{ij}}\underline{\underline{1}} \\ | ||
Line 128: | Line 128: | ||
Es gilt weiterhin <font color="# | Es gilt weiterhin <font color="#3399FF">(AUFGABE)</FONT>, beachte <math>\underline{p}=\frac{\hbar }{\mathfrak{i} }\underline{\nabla }</math> und <math>\underline{A}=\underline{A}\left( \underline{x},t \right)</math> | ||
{{NumBlk|:| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> |(1.43)|RawN=.}} | {{NumBlk|:| <math>\left( \underline{p}-e\underline{A} \right)\times \left( \underline{p}-e\underline{A} \right)=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{\left( \underline{\nabla }\times \underline{A} \right)}_{\text{Magnetfeld}}=-\frac{e\hbar }{\mathfrak{i} }\underbrace{{\underline{B}}}_{\text{Magnetfeld}}</math> |(1.43)|RawN=.}} | ||
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\end{align} \right)</math> | \end{align} \right)</math> | ||
==siehe auch== | |||
==Literatur== | [[Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:]] | ||
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREINER'''</FONT> | <noinclude>==Literatur== | ||
<FONT COLOR="#FFBF00">'''LITERATUR: GREINER'''</FONT></noinclude> |
Latest revision as of 14:25, 24 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Dirac-Gleichung und Spin: nichtrelativistischer Grenzfall basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 5) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. T. Brandes. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. T. Brandes|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=5}} Kategorie:Quantenmechanik __SHOWFACTBOX__
Mit (Vektor) Potential haben wir die Dirac-Gleichung{{#set:Fachbegriff=Dirac-Gleichung|Index=Dirac-Gleichung}} als
Jetzt erfolgt die Zerlegung , mit den 2er Spinoren
Damit folgt dann
Beachte das jetzt überall gilt
Jetzt: Näherung/Annahme das kinetische und potentielle Energie viel kleiner als Ruhemasse ist
einsetzen in die Gleichung (1.38) liefert
Jetzt folgendes „Theorem“ benutzen
mit
Beweis von (1.41) mittels (Anti) Kommutator-Eigenschaften{{#set:Fachbegriff=Kommutator-Eigenschaften|Index=Kommutator-Eigenschaften}} (AUFGABE)
Es gilt weiterhin (AUFGABE), beachte und
Mit (1.43) folgt aus (1.41) die Kopplung von Spin und Magnetfeld
Pauli-Gleichung{{#set:Fachbegriff=Pauli-Gleichung|Index=Pauli-Gleichung}}
(1.44)
mit dem 2-Komponentigen Spinor
siehe auch[edit | edit source]
Der_nichtrelativistische_Grenzfall#Nichtrelativistische_Näherung:
Literatur
LITERATUR: GREINER