Paramagnetismus: Difference between revisions
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Paramagnetismus: vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet ! Keine WW der Elementarmagnete untereinander | '''Paramagnetismus''': vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet! Keine WW der Elementarmagnete untereinander | ||
Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander ! | Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander! → spontane Magnetisierung! | ||
'''Diamagnetismus: '''die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert | '''Diamagnetismus: '''die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert → Abstoßung (Lenzsche Regel)! | ||
====Modell eines Paramagneten==== | ====Modell eines Paramagneten==== | ||
N ortsfeste ( und somit unterscheidbare Teilchen !) mit Drehimpuls <math>\bar{L}</math> | N ortsfeste (und somit unterscheidbare Teilchen!) mit Drehimpuls <math>\bar{L}</math> | ||
im Magnetfeld der Induktion <math>\bar{B}</math> | im Magnetfeld der Induktion <math>\bar{B}</math> | ||
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Energie: | Energie: | ||
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& E=-\mu B{{m}_{l}} \\ | & E=-\mu B{{m}_{l}} \\ | ||
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mit <math>{{\mu }_{Bohr}}</math> | mit <math>{{\mu }_{Bohr}}</math> | ||
= Bohrsches Magneton ! | = Bohrsches Magneton! | ||
z.B. Spin: <math>l=\frac{1}{2},g=2,{{m}_{l}}=\pm 1</math> | z.B. Spin: <math>l=\frac{1}{2},g=2,{{m}_{l}}=\pm 1</math> | ||
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<u>'''Einteilchen- Zustandssumme'''</u> | <u>'''Einteilchen- Zustandssumme'''</u> | ||
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& Z=\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\ | & Z=\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\ | ||
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Beispiel: l = 1/2: | Beispiel: l = 1/2: | ||
<math>\Rightarrow Z=\frac{\sinh \left( \beta \mu B \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)}=2\cosh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math> | :<math>\Rightarrow Z=\frac{\sinh \left( \beta \mu B \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)}=2\cosh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math> | ||
Als '''Einteilchenzustandssumme''' | Als '''Einteilchenzustandssumme''' | ||
<u>'''Magnetisierung M '''</u> ( = mittleres magnetisches Moment pro Volumen ) | <u>'''Magnetisierung M '''</u> (= mittleres magnetisches Moment pro Volumen) | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& M=\frac{N}{V}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}{{Z}^{-1}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right)=\frac{N}{V}\frac{1}{Z}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\ | & M=\frac{N}{V}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}{{Z}^{-1}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right)=\frac{N}{V}\frac{1}{Z}\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\mu {{m}_{l}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\ | ||
Line 71: | Line 71: | ||
z.B. l= 1/2: | z.B. l= 1/2: | ||
<math>M=\frac{N}{V}\mu \frac{1}{2}\tanh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math> | :<math>M=\frac{N}{V}\mu \frac{1}{2}\tanh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)</math> | ||
( Lorgevin- Funktion ) | (Lorgevin- Funktion) | ||
Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung | Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung | ||
<math>M\left( T,V,B \right)</math> | :<math>M\left( T,V,B \right)</math> | ||
====Hohe Temperaturen==== | ====Hohe Temperaturen==== | ||
<math>kT>>\mu B</math> | :<math>kT>>\mu B</math> | ||
Beispiel: B= 1 Tesla | Beispiel: B= 1 Tesla → T >> 1K | ||
Entwicklung | Entwicklung | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \coth x\approx \frac{1}{x}+\frac{x}{3}+... \\ | & \coth x\approx \frac{1}{x}+\frac{x}{3}+... \\ | ||
Line 95: | Line 95: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\beta {{\mu }^{2}}B</math> | :<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\beta {{\mu }^{2}}B</math> | ||
'''linear '''in B ! | '''linear '''in B! | ||
speziell: l= 1/2: | speziell: l= 1/2: | ||
<math>\Rightarrow M\left( T,V,B \right)=\frac{N}{V}\frac{{{\mu }^{2}}B}{4kT}</math> | :<math>\Rightarrow M\left( T,V,B \right)=\frac{N}{V}\frac{{{\mu }^{2}}B}{4kT}</math> | ||
Curie- Gesetz !! | Curie- Gesetz!! | ||
'''magnetische Suszeptibilität '''<math>{{\chi }_{m}}</math> | '''magnetische Suszeptibilität '''<math>{{\chi }_{m}}</math> | ||
Line 109: | Line 109: | ||
definiert durch | definiert durch | ||
<math>M={{\chi }_{m}}H</math> | :<math>M={{\chi }_{m}}H</math> | ||
<math>B={{\mu }_{0}}\left( H+M \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{m}} \right)H</math> | :<math>B={{\mu }_{0}}\left( H+M \right)={{\mu }_{0}}\left( 1+{{\chi }_{m}} \right)H</math> | ||
mit dem Magnetfeld <math>H</math> | mit dem Magnetfeld <math>H</math> | ||
Line 119: | Line 119: | ||
als absolute Permeabilität | als absolute Permeabilität | ||
<math>\Rightarrow M=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{m}}}{1+{{\chi }_{m}}}B\approx \frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{\chi }_{m}}B</math> | :<math>\Rightarrow M=\frac{1}{{{\mu }_{0}}}\frac{{{\chi }_{m}}}{1+{{\chi }_{m}}}B\approx \frac{1}{{{\mu }_{0}}}{{\chi }_{m}}B</math> | ||
'''Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:''' | '''Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:''' | ||
<math>{{\chi }_{m}}={{\mu }_{0}}\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\frac{{{\mu }^{2}}}{kT}=\frac{C}{T}</math> | :<math>{{\chi }_{m}}={{\mu }_{0}}\frac{N}{V}\frac{l\left( l+1 \right)}{3}\frac{{{\mu }^{2}}}{kT}=\frac{C}{T}</math> | ||
Mit der Curie- Konstanten C ! | Mit der Curie- Konstanten C! | ||
( Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört ! ) | (Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört!) | ||
'''Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:''' | '''Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:''' | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& kT<<\mu B \\ | & kT<<\mu B \\ | ||
Line 141: | Line 141: | ||
für <math>x\to \infty </math> | für <math>x\to \infty </math> | ||
<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\mu \left( \left( l+\frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2} \right)=\frac{N}{V}\mu l</math> | :<math>\Rightarrow M=\frac{N}{V}\mu \left( \left( l+\frac{1}{2} \right)-\frac{1}{2} \right)=\frac{N}{V}\mu l</math> | ||
Also: | Also: | ||
Line 149: | Line 149: | ||
---- | ---- | ||
<math>\bar{\mu }\uparrow \uparrow \bar{B}</math> | :<math>\bar{\mu }\uparrow \uparrow \bar{B}</math> | ||
====Vergleich mit der klassischen rechnung==== | ====Vergleich mit der klassischen rechnung==== | ||
<math>\bar{E}=-\bar{m}\bar{B}=-mB\cos \alpha </math> | :<math>\bar{E}=-\bar{m}\bar{B}=-mB\cos \alpha </math> | ||
mit <math>\left| {\bar{m}} \right|</math> | mit <math>\left| {\bar{m}} \right|</math> | ||
fest ( magnetisches Moment !) und <math>\alpha </math> | fest (magnetisches Moment!) und <math>\alpha </math> | ||
Phasenraumvariable !, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten ! | Phasenraumvariable!, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten! | ||
'''Klassische Zustandssumme:''' | '''Klassische Zustandssumme:''' | ||
<math>Z\tilde{\ }\int_{-1}^{1}{{}}d\left( \cos \alpha \right)\exp \left( \beta mB\left( \cos \alpha \right) \right)\tilde{\ }\frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B}</math> | :<math>Z\tilde{\ }\int_{-1}^{1}{{}}d\left( \cos \alpha \right)\exp \left( \beta mB\left( \cos \alpha \right) \right)\tilde{\ }\frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B}</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& M=\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z=\frac{N}{V}\frac{B}{\sinh \left( \beta mB \right)}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\left( \frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B} \right) \\ | & M=\frac{N}{V}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\ln Z=\frac{N}{V}\frac{B}{\sinh \left( \beta mB \right)}\frac{1}{\beta }\frac{\partial }{\partial B}\left( \frac{\sinh \left( \beta mB \right)}{B} \right) \\ | ||
Line 172: | Line 172: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<u>'''Vergleich für l=1/2, g=2 ( Spin)'''</u> | <u>'''Vergleich für l=1/2, g=2 (Spin)'''</u> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \frac{MV}{Nm}=\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)=\left( \coth x-\frac{1}{x} \right) \\ | & \frac{MV}{Nm}=\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)=\left( \coth x-\frac{1}{x} \right) \\ | ||
Line 186: | Line 186: | ||
im Gegensatz zu quantentheoretisch: <math>\frac{MV}{Nm}=\tanh x</math> | im Gegensatz zu quantentheoretisch: <math>\frac{MV}{Nm}=\tanh x</math> | ||
Also für | Also für x→ 0 (hohe Temperaturen): | ||
<math>\frac{MV}{Nm}\to \frac{x}{3}</math> | :<math>\frac{MV}{Nm}\to \frac{x}{3}</math> | ||
( klassisch) | (klassisch) | ||
<math>\frac{MV}{Nm}\to x</math> | :<math>\frac{MV}{Nm}\to x</math> | ||
( quantentheoretisch !) | (quantentheoretisch!) | ||
und für x | und für x → <math>\infty </math> | ||
( tiefe Temperaturen): | (tiefe Temperaturen): | ||
<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-\frac{1}{x}</math> | :<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-\frac{1}{x}</math> | ||
( klassisch) | (klassisch) | ||
<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-{{e}^{-2x}}</math> | :<math>\frac{MV}{Nm}\to 1-{{e}^{-2x}}</math> | ||
( quantentheoretisch) | (quantentheoretisch) | ||
Somit folgt ( die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte): | Somit folgt (die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte): | ||
Abszisse: x = mB/(kT) | Abszisse: x = mB/(kT) | ||
Line 214: | Line 214: | ||
Ordinate: MV/Nm | Ordinate: MV/Nm | ||
Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab ! | Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab! | ||
<u>'''Vergleich für l>>1'''</u> | <u>'''Vergleich für l>>1'''</u> | ||
Line 222: | Line 222: | ||
und <math>\mu l=m</math> | und <math>\mu l=m</math> | ||
<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{2l}\coth \frac{\beta mB}{2l} \right)</math> | :<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{2l}\coth \frac{\beta mB}{2l} \right)</math> | ||
Klassisch dann mit der Näherung | Klassisch dann mit der Näherung | ||
<math>\coth \frac{\beta mB}{2l}\approx \frac{2l}{\beta mB}</math> | :<math>\coth \frac{\beta mB}{2l}\approx \frac{2l}{\beta mB}</math> | ||
für | für | ||
<math>kT>mB</math> | :<math>kT>mB</math> | ||
klassisch: | klassisch: | ||
<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)</math> | :<math>M=\frac{N}{V}m\left( \coth \left( \beta mB \right)-\frac{1}{\beta mB} \right)</math> | ||
( klassische Brillouin- Funktion ) | (klassische Brillouin- Funktion) | ||
<u>'''Für l=2 folgt:'''</u> | <u>'''Für l=2 folgt:'''</u> | ||
<u>'''Dabei ist die klassische '''</u>Kurve nun steiler ! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist ! | <u>'''Dabei ist die klassische '''</u>Kurve nun steiler! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist! | ||
Für l=5: | Für l=5: | ||
Line 259: | Line 259: | ||
N- Teilchen- Zustandssumme <math>{{Z}^{N}}</math> | N- Teilchen- Zustandssumme <math>{{Z}^{N}}</math> | ||
<math>S=k\left( \ln {{Z}^{N}}+\beta U \right)</math> | :<math>S=k\left( \ln {{Z}^{N}}+\beta U \right)</math> | ||
Statistischer Operator für kanonische Verteilung: | Statistischer Operator für kanonische Verteilung: | ||
<math>{{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}}</math> | :<math>{{Z}^{-1}}{{e}^{-\beta H}}</math> | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& U=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln {{Z}^{N}}=-N\frac{\partial }{\partial \beta }\ln \left[ 2\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \right]=-\frac{N\mu B}{2}\frac{\sinh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)}{\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)} \\ | & U=-\frac{\partial }{\partial \beta }\ln {{Z}^{N}}=-N\frac{\partial }{\partial \beta }\ln \left[ 2\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right) \right]=-\frac{N\mu B}{2}\frac{\sinh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)}{\cosh \left( \frac{\beta \mu B}{2} \right)} \\ | ||
Line 273: | Line 273: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
( kalorische Zustandsgleichung <math>U\left( T,B \right)</math> | (kalorische Zustandsgleichung <math>U\left( T,B \right)</math> | ||
) | |||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& S\left( T \right)=kN\left( \ln Z-\beta \frac{\partial }{\partial \beta }\ln Z \right) \\ | & S\left( T \right)=kN\left( \ln Z-\beta \frac{\partial }{\partial \beta }\ln Z \right) \\ | ||
Line 287: | Line 287: | ||
'''Limes''' | '''Limes''' | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& T\to \infty \\ | & T\to \infty \\ | ||
Line 303: | Line 303: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
'''Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur ( arbitrary units) geplottet:''' | '''Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur (arbitrary units) geplottet:''' | ||
Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld ( a.u.) verdoppelt ! | Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld (a.u.) verdoppelt! | ||
====Adiabatische Entmagnetisierung==== | ====Adiabatische Entmagnetisierung==== | ||
Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung ( insbesondere mit Kernspin) | Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung (insbesondere mit Kernspin) |
Latest revision as of 00:53, 13 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Paramagnetismus basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 7) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=7}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__
Paramagnetismus: vorhandene magnetische Momente werden durch ein äußeres Magnetfeld ausgerichtet! Keine WW der Elementarmagnete untereinander
Ferromagnetismus: Korrelation der permanenten Elementarmagnete untereinander! → spontane Magnetisierung!
Diamagnetismus: die magnetischen Momente werden erst durch ein äußeres Magnetfeld induziert → Abstoßung (Lenzsche Regel)!
Modell eines Paramagneten[edit | edit source]
N ortsfeste (und somit unterscheidbare Teilchen!) mit Drehimpuls
Drehimpulsquantisierung:
Energie:
= Bohrsches Magneton!
Einteilchen- Zustandssumme
Beispiel: l = 1/2:
Als Einteilchenzustandssumme
Magnetisierung M (= mittleres magnetisches Moment pro Volumen)
Brillouin- Funktion
z.B. l= 1/2:
(Lorgevin- Funktion)
Dies entspricht einer thermischen Zustandsgleichung
Hohe Temperaturen[edit | edit source]
Beispiel: B= 1 Tesla → T >> 1K
Entwicklung
linear in B!
speziell: l= 1/2:
Curie- Gesetz!!
definiert durch
als absolute Permeabilität
Vergleich mit der thermischen Zustandsgleichung:
Mit der Curie- Konstanten C!
(Mit zunehmender Temperatur wird die Ausrichtung der Momente in Feldrichtung durch die Wärmebewegung der Momente gestört!)
Tiefe Temperaturen, hohe Magnetfelder:
Also:
Vollständige Ausrichtung aller Momente
Vergleich mit der klassischen rechnung[edit | edit source]
fest (magnetisches Moment!) und
Phasenraumvariable!, Winkel zwischen dem B- Feld und den magnetischen Momenten!
Klassische Zustandssumme:
Vergleich für l=1/2, g=2 (Spin)
klassisch
im Gegensatz zu quantentheoretisch:
Also für x→ 0 (hohe Temperaturen):
(klassisch)
(quantentheoretisch!)
(tiefe Temperaturen):
(klassisch)
(quantentheoretisch)
Somit folgt (die obere Kurve ist die quantentheoretisch ermittelte):
Abszisse: x = mB/(kT)
Ordinate: MV/Nm
Wie man sieht, weichen die beiden Rechnungen stark voneinander ab!
Vergleich für l>>1
Klassisch dann mit der Näherung
für
klassisch:
(klassische Brillouin- Funktion)
Für l=2 folgt:
Dabei ist die klassische Kurve nun steiler! Die Abweichung ist immer noch immens, da die quantentheoretische Kurve nun genähert ist!
Für l=5:
und schließlich l=10:
Dabei wurde wieder
Abszisse: x = mB/(kT)
Ordinate: MV/Nm
Energie und Entropie[edit | edit source]
Statistischer Operator für kanonische Verteilung:
(kalorische Zustandsgleichung )
Limes
Im Folgenden ist die Entropie (kN=1) gegen die Temperatur (arbitrary units) geplottet:
Dabei sind die Flacheren Kurven für größere Magnetfelder. Bei jeder Kurve wurde das Magnetfeld (a.u.) verdoppelt!
Adiabatische Entmagnetisierung[edit | edit source]
Bei paramagnetischen Salzen sind bei tiefen Temperaturen die Gitterschwingungen schon eingefroren. Noch tiefere Temperaturen erreicht man dann durch die adiabatische Entmagnetisierung (insbesondere mit Kernspin)