Das ideale Fermigas: Difference between revisions
*>SchuBot No edit summary |
|||
(6 intermediate revisions by 2 users not shown) | |||
Line 3: | Line 3: | ||
# Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei | # Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei | ||
{{FB|Großkanonischer Statistischer Operator}}: | |||
:<math>\hat{\rho }={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)</math> | :<math>\hat{\rho }={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)</math> | ||
Line 9: | Line 9: | ||
Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand: | Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand: | ||
Also für den Vielteilchenzustand <math>\left| \alpha \right\rangle </math> | Also für den {{FB|Vielteilchenzustand}} <math>\left| \alpha \right\rangle </math>: | ||
: | |||
:<math>{{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}{{E}_{j}}{{N}_{j}}</math> | :<math>{{E}_{\alpha }}^{ges.}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}{{E}_{j}}{{N}_{j}}</math> | ||
Line 21: | Line 19: | ||
:<math>{{P}_{\alpha }}=\left\langle \alpha \right|\hat{\rho }\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\left\langle \alpha \right|\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)</math> | :<math>{{P}_{\alpha }}=\left\langle \alpha \right|\hat{\rho }\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\left\langle \alpha \right|\exp \left( -\beta \left( \hat{H}-\mu \hat{N} \right) \right)\left| \alpha \right\rangle ={{Y}^{-1}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)</math> | ||
Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand ! | Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand! | ||
Die Großkanonsiche Zustandsumme Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also: | Die {{FB|Großkanonsiche Zustandsumme}} Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also: | ||
:<math>Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right)</math> | :<math>Y=\sum\limits_{{{N}_{1}}...{{N}_{l}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\left( \sum\limits_{{{N}_{j}}}^{{}}{{}}\exp \left( -\beta \left( {{N}_{j}}{{E}_{j}}-\mu {{N}_{j}} \right) \right) \right)</math> | ||
Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert ! | Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert! | ||
'''Fermionen''' | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 45: | Line 43: | ||
Also folgt: | Also folgt: | ||
:<math>P\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{\left( 1+{{t}_{j}} \right)}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}P\left( {{N}_{j}} \right)</math> | :<math>P\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}\frac{{{t}_{j}}^{{{N}_{j}}}}{\left( 1+{{t}_{j}} \right)}=\prod\limits_{j=1}^{l}{{}}P\left( {{N}_{j}} \right)</math> separiert!! | ||
separiert !! | |||
Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung <math>\left( {{N}_{1}},...,{{N}_{l}} \right)</math> zu finden! | |||
<u>'''Mittlere Besetzungszahl '''</u>im Einteilchenzustand <math>{{E}_{j}}</math>: | |||
mit | Aus <math>P\left( {{N}_{j}} \right)=\exp \left( {{\Psi }_{j}}-\beta {{E}_{j}}-\alpha {{N}_{j}} \right)</math> mit | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 75: | Line 65: | ||
Also: | Also: | ||
{{Gln|<math>\Rightarrow \left\langle {{N}_{j}} \right\rangle =\frac{1}{\exp \left( \frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)+1}</math> Die Fermi-Verteilung! |Fermi-Verteilung}} | |||
Die Fermi- Verteilung ! | |||
Dies folgt auch explizit aus | Dies folgt auch explizit aus | ||
Line 89: | Line 77: | ||
aber nur wegen Nj = 0,1 | aber nur wegen Nj = 0,1 | ||
* 2 Möglichkeiten ! | * 2 Möglichkeiten! → Mittelwert liegt in der Mitte | ||
[[File:Fermi dirac distr.svg|miniatur|rechts besetzte und links unbesetzte Zustände]] | |||
FJ:<nowiki> | |||
Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz)); | Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz)); | ||
Line 131: | Line 97: | ||
mue := 1 | mue := 1 | ||
* plot(Nj,Ej=0..50); | * plot(Nj,Ej=0..50);</nowiki>]] | ||
;Für T → 0:<math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \to \Theta \left( \mu -{{E}_{j}} \right)</math> (Stufenfunktion), sogenannter Quantenlimes! | |||
;T>0: Aufweichungszone bei <math>{{E}_{j}}\tilde{\ }\mu </math> der Breite <math>\approx kT</math> | |||
<math>{{E}_{j}}-\mu >>kT</math> (sehr hohe Energien) → <math>\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle \tilde{\ }\exp \left( -\frac{{{E}_{j}}-\mu }{kT} \right)</math> | |||
* die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an (klassischer Grenzfall!!) | |||
* keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr! | |||
Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien! | |||
;Gesamte mittlere Teilchenzahl:<math>\bar{N}=\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\left\langle {{N}_{j}} \right\rangle </math> | |||
:<math>pV=kT\ln Y=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln \left( 1+\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)</math> | ;thermische Zustandsgleichung:<math>pV=kT\ln Y=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln {{Y}_{i}}=kT\sum\limits_{j=1}^{l}{{}}\ln \left( 1+\exp \left( \beta \left( \mu -{{E}_{j}} \right) \right) \right)</math> | ||
==Energie und Zustandsdichte freier Teilchen== | |||
Energie- Eigenwerte: | Energie- Eigenwerte: | ||
Line 149: | Line 120: | ||
:<math>{{E}_{j}}=\frac{{{{\bar{k}}}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}</math> | :<math>{{E}_{j}}=\frac{{{{\bar{k}}}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}</math> | ||
Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen ! | Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen! | ||
Zyklische Randbedingungen ( Born - v. Karman): | Zyklische Randbedingungen (Born - v. Karman): | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 169: | Line 140: | ||
:<math>{{\left( \Delta k \right)}^{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}\Delta {{n}_{1}}\Delta {{n}_{2}}\Delta {{n}_{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}=\left( \frac{8{{\pi }^{3}}}{V} \right)</math> | :<math>{{\left( \Delta k \right)}^{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}\Delta {{n}_{1}}\Delta {{n}_{2}}\Delta {{n}_{3}}={{\left( \frac{2\pi }{L} \right)}^{3}}=\left( \frac{8{{\pi }^{3}}}{V} \right)</math> | ||
Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt ! | Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt! | ||
====Thermodynamischer limes ( großes Volumen V):==== | ====Thermodynamischer limes (großes Volumen V):==== | ||
'''Übergang zum Quasikontinuum:''' | '''Übergang zum {{FB|Quasikontinuum}}:''' | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 189: | Line 160: | ||
<u>'''Spinentartung:'''</u> | <u>'''Spinentartung:'''</u> | ||
(2s+1)- fache Entartung ! | (2s+1)- fache Entartung! | ||
'''Kugelsymmetrisches Integral:''' | '''Kugelsymmetrisches Integral:''' | ||
Line 205: | Line 176: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
sogenannte Fugizität ! | sogenannte {{FB|Fugizität}}! | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 231: | Line 202: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Mit der Fermi- Verteilung <math>\left\langle N(p) \right\rangle </math> | Mit der Fermi- Verteilung <math>\left\langle N(p) \right\rangle </math>, also: | ||
, also: | |||
:<math>\ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)</math> | :<math>\ln Y=\frac{2}{3}\beta \left( 2s+1 \right)\left( \frac{V}{{{h}^{3}}} \right)4\pi \int_{0}^{\infty }{{}}dp{{p}^{2}}\left\langle N(p) \right\rangle E(p)</math> | ||
Line 247: | Line 216: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Somit haben wir die thermische Zustands-Gleichung | Somit haben wir die '''thermische Zustands-Gleichung''' | ||
{{Gln|<math>pV=kT\ln Y=\frac{2}{3}U=\frac{2}{3}\left\langle {{E}^{ges.}} \right\rangle </math>|thermische Zustands Gleichung}} | |||
'''Bemerkungen''' | {{Bem|1='''Bemerkungen''' | ||
Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas ! | Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas! | ||
Klassisch: | Klassisch: | ||
Line 267: | Line 236: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung !! | Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung!! | ||
Also unabhängig von der speziellen Statistik ! | Also '''unabhängig''' von der speziellen Statistik!}} | ||
==Entartetes Fermi-Gas== | |||
Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung: | Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung: | ||
Line 277: | Line 246: | ||
:<math>\left\langle N\left( p \right) \right\rangle =\frac{1}{\left( \frac{1}{\xi }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}+1 \right)}\approx \xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}</math> | :<math>\left\langle N\left( p \right) \right\rangle =\frac{1}{\left( \frac{1}{\xi }{{e}^{\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}+1 \right)}\approx \xi {{e}^{-\beta \frac{{{p}^{2}}}{2m}}}</math> | ||
( Maxwell- Boltzmann- Verteilung) | (Maxwell- Boltzmann- Verteilung) | ||
für <math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1\Rightarrow \mu <0</math> | für <math>\xi ={{e}^{\frac{\mu }{kT}}}<<1\Rightarrow \mu <0</math> | ||
( stark verdünnt) | (stark verdünnt) | ||
* klassischer Limes ! | * klassischer Limes! | ||
* Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall !! | * Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall!! | ||
<u>'''Nichtklassischer Grenzfall ( "Fermi- Entartung ")'''</u> | <u>'''Nichtklassischer Grenzfall ("Fermi- Entartung ")'''</u> | ||
<u>'''Für '''</u><math>\xi >>1</math> | <u>'''Für '''</u><math>\xi >>1</math> | ||
( Grenzfall hoher Dichte !) | (Grenzfall hoher Dichte!) | ||
Line 330: | Line 299: | ||
<u>'''Entwicklung für'''</u> | <u>'''Entwicklung für'''</u> | ||
:<math>\eta >>1\Rightarrow \xi >>1</math> | :<math>\eta >>1\Rightarrow \xi >>1</math>, also Entartung: | ||
, also Entartung: | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 454: | Line 421: | ||
Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit <math>E<{{E}_{F}}</math> | Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit <math>E<{{E}_{F}}</math> | ||
voll besetzt, die anderen leer ! | voll besetzt, die anderen leer! | ||
Wir können dann <math>\mu \left( T=0,\bar{N},V \right)</math> | Wir können dann <math>\mu \left( T=0,\bar{N},V \right)</math> | ||
Line 464: | Line 431: | ||
eliminieren: | eliminieren: | ||
<u>''' | <u>'''T→0'''</u> | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 504: | Line 471: | ||
Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf: | Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf: | ||
'''die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt !''' | '''die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt!''' | ||
<u>'''Innere Energie'''</u> | <u>'''Innere Energie'''</u> | ||
Line 574: | Line 541: | ||
:<math>{{E}_{F}}\approx 1eV\Rightarrow T\tilde{\ }{{10}^{4}}K</math> | :<math>{{E}_{F}}\approx 1eV\Rightarrow T\tilde{\ }{{10}^{4}}K</math> | ||
1 eV entspricht 10.000 K !! | 1 eV entspricht 10.000 K!! | ||
'''Grund ''' ist das Pauli- Prinzip !! | '''Grund ''' ist das Pauli- Prinzip!! | ||
Also eine effektive Abstoßung der Teilchen ! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor | Also eine effektive Abstoßung der Teilchen! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor | ||
:<math>\frac{{{E}_{F}}}{kT}</math> | :<math>\frac{{{E}_{F}}}{kT}</math> | ||
, | |||
mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist. | |||
Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt: | Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt: | ||
Line 594: | Line 561: | ||
! | ! | ||
== Spezifische Wärme == | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 608: | Line 576: | ||
kleiner als bei idealen gasen. | kleiner als bei idealen gasen. | ||
Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40 ! | Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40! | ||
ideales Gas: | ideales Gas: | ||
Line 620: | Line 588: | ||
:<math>{{E}_{F}}-kT<E<{{E}_{F}}+kT</math> | :<math>{{E}_{F}}-kT<E<{{E}_{F}}+kT</math> | ||
tragen zur spezifischen Wärme bei , da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen : | tragen zur spezifischen Wärme bei, da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen : | ||
Zahl: | Zahl: | ||
Line 640: | Line 608: | ||
<u>Beispiele für entartete Fermigase</u> | <u>Beispiele für entartete Fermigase</u> | ||
* Elektronen in Metallen | * Elektronen in Metallen → hohe Dichten! | ||
* Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung! | * Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung! | ||
==Nichtenatartetes fermigas== | |||
verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas ! | verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas! | ||
z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich ! | z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich! | ||
'''Voraussetzung:''' | '''Voraussetzung:''' | ||
Line 711: | Line 679: | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung ( vergl. S. 101) | Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung (vergl. S. 101) | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
Line 745: | Line 713: | ||
Dabei wurden alle Terme der Ordnung <math>{{\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)}^{2}}</math> | Dabei wurden alle Terme der Ordnung <math>{{\left( \frac{{\bar{N}}}{V{{N}_{C}}(T)} \right)}^{2}}</math> | ||
weggenähert ! | weggenähert! | ||
Also: | Also: | ||
Line 771: | Line 739: | ||
die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und <math>RT{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)}</math> | die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und <math>RT{{2}^{-\frac{5}{2}}}\frac{{{N}_{A}}}{v{{N}_{C}}(T)}</math> | ||
eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung ! | eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung! | ||
'''Nebenbemerkung:''' | '''Nebenbemerkung:''' | ||
Mit der | Mit der {{FB|thermischen Wellenlänge}} <math>\lambda :={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2\pi mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> entsprechend der {{FB|de Broglie-Wellenlänge}} für <math>\frac{{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}\tilde{\ }kT\Rightarrow \lambda ={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> | ||
entsprechend der de Broglie- Wellenlänge für <math>\frac{{{k}^{2}}{{\hbar }^{2}}}{2m}\tilde{\ }kT\Rightarrow \lambda ={{\left( \frac{{{h}^{2}}}{2mkT} \right)}^{\frac{1}{2}}}</math> | |||
E= kT also, schreibt man: | E= kT also, schreibt man: | ||
:<math>{{N}_{C}}=\frac{2s+1}{{{\lambda }^{3}}}</math> | :<math>{{N}_{C}}=\frac{2s+1}{{{\lambda }^{3}}}</math> | ||
Latest revision as of 15:25, 9 August 2011
65px|Kein GFDL | Der Artikel Das ideale Fermigas basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 2) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=2}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__
- Teilchen- Zustände sind die Eigenzustände zur 1- Teilchen- Energie Ei
Großkanonischer Statistischer Operator{{#set:Fachbegriff=Großkanonischer Statistischer Operator|Index=Großkanonischer Statistischer Operator}}:
Die Wahrscheinlichkeit, das System in einem bestimmten Zustand zu finden ist gleich dem Erwartungswert des statistischen Operators in diesem Zustand:
Also für den Vielteilchenzustand{{#set:Fachbegriff=Vielteilchenzustand|Index=Vielteilchenzustand}} :
mit der Einteilchenenergie Ej und den Besetzungszahlen Nj
Diese Wahrscheinlichkeit ist:
Dies ist ein Ergebnis für einen Zustand!
Die Großkanonsiche Zustandsumme{{#set:Fachbegriff=Großkanonsiche Zustandsumme|Index=Großkanonsiche Zustandsumme}} Y gewinnt man, indem man über alle möglichen Vielteilchenzustände noch summiert, also:
Jetzt muss bei der Auswertung die unterschiedliche Teilchenart berücksichtigt werden, nämlich in der Summation über Nj. Handelt es sich um Fermionen, so wird nur bis 1 summiert. Handelt es sich um Bosonen, so wird bis unendlich summiert!
Fermionen
Also folgt:
Dies als Gesamtwahrscheinlichkeit, das System mit der Besetzung zu finden!
Mittlere Besetzungszahl im Einteilchenzustand :
folgt:
Also:
Die Fermi-Verteilung! |
{{#set:Gleichung=Fermi-Verteilung|Index=Fermi-Verteilung}}
Dies folgt auch explizit aus
speziell folgt dies auch aus
aber nur wegen Nj = 0,1
- 2 Möglichkeiten! → Mittelwert liegt in der Mitte
FJ: Nj:=1/(1+exp((Ej-mue)/Boltz)); 1 Nj := --------------------- 1 + exp(1/5 Ej - 1/5) > Boltz:=5; Boltz := 5 > mue:=1; mue := 1 * plot(Nj,Ej=0..50);]]
- die Fermiverteilung nähert sich der Boltzmann- Verteilung an (klassischer Grenzfall!!)
- keine Berücksichtigung des Pauli- Prinzips mehr!
Beispiel einer Maxwell- Boltzmann- Verteilung sehr hoher Energien!
Energie und Zustandsdichte freier Teilchen[edit | edit source]
Energie- Eigenwerte:
Das System sei in einem Würfel V = L³ eingeschlossen!
Zyklische Randbedingungen (Born - v. Karman):
Ein Zustand im k- Raum beansprucht also das Volumen:
Dabei wurde jedoch kein Spin berücksichtigt!
Thermodynamischer limes (großes Volumen V):[edit | edit source]
Übergang zum Quasikontinuum{{#set:Fachbegriff=Quasikontinuum|Index=Quasikontinuum}}:
In Übereinstimmung mit Kapitel 4.1, Seite 100
Spinentartung:
(2s+1)- fache Entartung!
Kugelsymmetrisches Integral:
Großkanonische Zustandssumme:
sogenannte Fugizität{{#set:Fachbegriff=Fugizität|Index=Fugizität}}!
Partielle Integration:
Mit der Fermi- Verteilung , also:
Diskret:
Somit haben wir die thermische Zustands-Gleichung
{{#set:Gleichung=thermische Zustands Gleichung|Index=thermische Zustands Gleichung}}
left|50px Bemerkungen
Dies gilt auch für ein klassisches ideales Gas! Klassisch: Später werden wir sehen: Das gilt auch für Bose- Verteilung!! Also unabhängig von der speziellen Statistik! |
Entartetes Fermi-Gas[edit | edit source]
Klassischer Grenzfall der Fermi- Verteilung:
(Maxwell- Boltzmann- Verteilung)
(stark verdünnt)
- klassischer Limes!
- Merke positives chemisches Potenzial ist ein QM- Grenzfall!!
Nichtklassischer Grenzfall ("Fermi- Entartung ")
(Grenzfall hoher Dichte!)
Gesamte Teilchenzahl:
Innere Energie:
Substitution
Definition: Fermi- Dirac- Integral der Ordnung s:[edit | edit source]
Entwicklung für
weitere Substitution:
Somit kann man die Grenzen erweitern, da
Dies kann man durch Entwicklung von
lösen:
Somit:
Für die Terme gilt im Einzelnen:
Bleibt Integral I zu lösen:
Somit ergibt sich das Fermi- Dirac- Integral gemäß
Speziell:
Also:
Definition: Fermi- Energie:
Bei T= 0 Kelvin sind die Zustände mit
voll besetzt, die anderen leer!
eliminieren:
T→0
Für größere Temperaturen T>0 wird nun
entwickelt und diese Entwicklung dann eingesetzt in die Formel
Jetzt wird in niedrigster Ordnung in
entwickelt:
Das heißt, für kT=1 zeigt µ über Ef etwa folgenden verlauf:
die Kurve wird für höhere Temperaturen immer weiter auseinandergedehnt!
Innere Energie
Also:
Verwende:
So dass:
Mit
folgt:
Somit haben wir die kalorische Zustandsgleichung
und die thermische Zustandsgleichung
Das bedeutet:
Der Druck des fermigases ist um einen Faktor
größer als in klassischen idealen Gasen
Beispiel:
1 eV entspricht 10.000 K!!
Grund ist das Pauli- Prinzip!!
Also eine effektive Abstoßung der Teilchen! Dies bewirkt für niedrige Temperaturen den enormen Faktor
,
mit dem der Druck gegenüber dem idealen Gas zu multiplizieren ist.
Für sehr hohe Temperaturen überwiegt dann der hintere teil, und es gilt:
Der Fermidruck ist etwa
Also auch größer als beim klassischen idealen Gas, nämlich um den Faktor
!
Spezifische Wärme[edit | edit source]
Die Wärmekapazität ist sage und schreibe um den Faktor
kleiner als bei idealen gasen.
Bei T ~ 300 K ist dies 1/ 40!
ideales Gas:
Physikalsicher Grund:
Nur die Teilchen in der " Aufweichungszone"
tragen zur spezifischen Wärme bei, da nur sie in freie Zustände thermisch angeregt werden könen :
Zahl:
jedes hat Energie ~ kT
Beispiele für entartete Fermigase
- Elektronen in Metallen → hohe Dichten!
- Elektronen in Halbleitern, bei sehr tiefen Temperaturen oder hoher Dotierung!
Nichtenatartetes fermigas[edit | edit source]
verdünntes, nichtrelativistisches Quantengas!
z.B. Elektronen in Halbleitern im Normalbereich!
Voraussetzung:
das heißt:
Entwicklung der Fermi- Dirac- Integrale nach Potenzen von
Dabei ist
das Boltzman- Limit mit der Quantenkorrektur
Also:
mit der Entartungskonzentration
Also genähert:
Bei vollständiger Nichtentartung:
Die klassische Maxwell- Boltzmann- Verteilung (vergl. S. 101)
- Näherung:
- Näherung
Dabei wurden alle Terme der Ordnung
weggenähert!
Also:
kalorische Zustandsgleichung
thermische Zustandsgleichung
Also:
Dabei ist
die Zustandsgleichung des klassischen idealen Gases und
eine Erhöhung des klassischen Drucks durch die Fermi- Abstoßung!
Nebenbemerkung:
Mit der thermischen Wellenlänge{{#set:Fachbegriff=thermischen Wellenlänge|Index=thermischen Wellenlänge}} entsprechend der de Broglie-Wellenlänge{{#set:Fachbegriff=de Broglie-Wellenlänge|Index=de Broglie-Wellenlänge}} für
E= kT also, schreibt man: