Wahrscheinlichkeitsbegriff: Difference between revisions
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A und B sind disjunkt, falls <math>A\cap B=0</math> | A und B sind disjunkt, falls <math>A\cap B=0</math> | ||
'''Vollständig disjunkte Ereignismenge ( sample set)''' | '''Vollständig disjunkte Ereignismenge (sample set)''' | ||
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N ist die Zahl der Experimente insgesamt | N ist die Zahl der Experimente insgesamt | ||
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Sei A<math>\in A\acute{\ }</math> | Sei A<math>\in A\acute{\ }</math> | ||
( Boolscher Verband) | (Boolscher Verband) | ||
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Speziell | Speziell | ||
:<math>P({{A}_{1}})\le P({{A}_{2}})</math> | :<math>P({{A}_{1}})\le P({{A}_{2}})</math>, | ||
falls <math>{{A}_{1}}\subseteq {{A}_{2}}</math> | |||
====bedingte Wahrscheinlichkeit==== | ====bedingte Wahrscheinlichkeit==== | ||
Die Bedingte Wahrscheinlichkeit ( A unter der Bedingung, dass B), ergibt sich gemäß | Die Bedingte Wahrscheinlichkeit (A unter der Bedingung, dass B), ergibt sich gemäß | ||
Also A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist ! | Also A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist! | ||
:<math>P\left( A/B \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(B)}</math> | :<math>P\left( A/B \right)=\frac{P\left( A\cap B \right)}{P(B)}</math> | ||
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Eine Zufallsvariable ist gegeben durch | Eine Zufallsvariable ist gegeben durch | ||
# eine Menge M von vollständig disjunkten Ereignissen ( sample set) <math>{{X}_{i}}</math> | # eine Menge M von vollständig disjunkten Ereignissen (sample set) <math>{{X}_{i}}</math> | ||
# | # | ||
# eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P({{X}_{i}})</math> | # eine Wahrscheinlichkeitsverteilung <math>P({{X}_{i}})</math> | ||
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:<math>\sum\limits_{i}{{}}P({{X}_{i}})=1</math> | :<math>\sum\limits_{i}{{}}P({{X}_{i}})=1</math> | ||
Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also <math>x\in R</math> | Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also <math>x\in R</math>, | ||
so gilt: | so gilt: | ||
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:<math>P(x\acute{\ }\le x\le x\acute{\ }+dx\acute{\ })=\rho \left( x\acute{\ } \right)dx\acute{\ }</math> | :<math>P(x\acute{\ }\le x\le x\acute{\ }+dx\acute{\ })=\rho \left( x\acute{\ } \right)dx\acute{\ }</math> | ||
definiert eine '''Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung '''<math>\rho \left( x \right)</math> | definiert eine '''Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung '''<math>\rho \left( x \right)</math>. | ||
Übergang zu diskreten Ereignissen: | Übergang zu diskreten Ereignissen: | ||
Line 284: | Line 284: | ||
:<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right){{d}^{d}}x=1</math> | :<math>\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right){{d}^{d}}x=1</math> | ||
'''Mittelwert ( Erwartungswert) '''einer Zufallsvariablen x: | '''Mittelwert (Erwartungswert) '''einer Zufallsvariablen x: | ||
:<math>\left\langle x \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right)x{{d}^{d}}x</math> | :<math>\left\langle x \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}\rho \left( x \right)x{{d}^{d}}x</math> | ||
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Beweis: | Beweis: | ||
Merke: In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unkorreliert gleichbedeutend mit separabel _> die Phasen werden addiert ! | Merke: In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unkorreliert gleichbedeutend mit separabel _> die Phasen werden addiert! | ||
Sind die Zustände verschränkt, so können die Phasen nicht addiert werden. | Sind die Zustände verschränkt, so können die Phasen nicht addiert werden. | ||
Die Einführung einer Symplektik ist nötig ! ( siehe unten). | Die Einführung einer Symplektik ist nötig! (siehe unten). | ||
====Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Mittelwerten==== | ====Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Mittelwerten==== | ||
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Durch die Angabe aller nicht verschwindender Momente ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt ! | Durch die Angabe aller nicht verschwindender Momente ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt! | ||
====Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen:==== | ====Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen:==== | ||
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Kumulanten sind ADDITIV für unkorrelierte Zufallsvariablen | Kumulanten sind ADDITIV für unkorrelierte Zufallsvariablen | ||
( Dies gilt nicht für die Momente !!) | (Dies gilt nicht für die Momente!!) | ||
'''Beweis: seien x1, x2 unkorreliert:''' | '''Beweis: seien x1, x2 unkorreliert:''' | ||
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Nichtdiagonalelemente verschwinden für unkorrelierte Zufallsvariablen. | Nichtdiagonalelemente verschwinden für unkorrelierte Zufallsvariablen. | ||
Denn dann: separieren die Momente der WSK- Verteilung ! Siehe oben | Denn dann: separieren die Momente der WSK- Verteilung! Siehe oben | ||
* Korrelationsmatrix beschreibt die qm- Korrelationen über ihre Außerdiagonalelemente | * Korrelationsmatrix beschreibt die qm- Korrelationen über ihre Außerdiagonalelemente | ||
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Nebenbemerkung, die Gaußverteilung <math>\rho (x)</math> | Nebenbemerkung, die Gaußverteilung <math>\rho (x)</math> | ||
ist bestimmt durch <math>{{\left\langle x \right\rangle }_{C}},{{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}}</math> | ist bestimmt durch <math>{{\left\langle x \right\rangle }_{C}},{{\left\langle {{x}^{2}} \right\rangle }_{C}}</math>. | ||
Alle höheren Kumulanten verschwinden! |
Latest revision as of 23:08, 16 September 2010
65px|Kein GFDL | Der Artikel Wahrscheinlichkeitsbegriff basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 1) der Thermodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=1|Abschnitt=1}} Kategorie:Thermodynamik __SHOWFACTBOX__
- Ereignis
- Messergebnis von Observablen (event) oder fester Mikrozustand (der realisiert wird).
Ereignisse bilden einen Abelschen Verband{{#set:Fachbegriff=Abelschen Verband|Index=Abelschen Verband}} (Ereignisalgebra)
Merke: Ereignisalgebra = Abelscher verband
mit Mengentheoretischen Verknüpfungen
Vereinigung (oder) und Durchschnitt (und)
(Kommutativitätsgesetz)
Assoziativität
(Verschmelzungsgesetz)
Distributivgesetz
Existenz der Eins (sicheres Ereignis) und Existenz des Nullelements: "leeres Ereignis"
Existenz des Komplements
Induzierte Halbordnung[edit | edit source]
Also: menge A liegt in B
Vollständig disjunkte Ereignismenge (sample set)
Beispiel:
Ereignismenge
Bemerkung: Diese Menge M ist keine Algebra, da
Wahrscheinlichkeit[edit | edit source]
Empirische Definition
mit
relative Häufigkeit des Ereignisses A
N(A) ist die Zahl der Experimente mit dem Ergebnis A
N ist die Zahl der Experimente insgesamt
axiomatische Definition (Kolmogoroff)[edit | edit source]
(Boolscher Verband)
Sei
das sichere Ereignis.
Dann erfüllt die Wahrscheinlichkeit P(A)
die Axiome:
Für disjunkte Ereignisse:
Folgerung
Zerlegung in disjunkte Ereignisse[edit | edit source]
für beliebige A1, A2:
Also folgt für Wahrscheinlichkeiten:
Also:
Speziell
falls
bedingte Wahrscheinlichkeit[edit | edit source]
Die Bedingte Wahrscheinlichkeit (A unter der Bedingung, dass B), ergibt sich gemäß
Also A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist!
Falls A von B unabhängig ist, so gilt:
Nebenbemerkung, ebenso gilt:
Zufallsvariablen[edit | edit source]
Eine Zufallsvariable ist gegeben durch
- eine Menge M von vollständig disjunkten Ereignissen (sample set)
- eine Wahrscheinlichkeitsverteilung
- über M
es gilt die Normierung
Definiert man sich dies für eine kontinuierliche Menge, also ,
so gilt:
definiert eine Wahrscheinlichkeitsdichte oder auch Wahrscheinlichkeitsverteilung .
Übergang zu diskreten Ereignissen:
mit Normierung
Physikalische Interpretation[edit | edit source]
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann man sich realisiert denken durch ein Ensemble von vielen äquivalenten Systemen, also durch eine Dichteverteilung
der Mitglieder des Ensembles mit Werten zwischen x und x+dx
Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen
Die Normierung geschieht dann in einem d- Dimensionalen Raum.
Mittelwert (Erwartungswert) einer Zufallsvariablen x:
für eine beliebige Funktion f(x):
Nebenbemerkung
Der Mittelwert ist ein lineares Funktional
Linearität:
Unkorrelierte Zufallsvariable:
x1 und x2 heißen unkorreliert, falls
Dann gilt:
Beweis:
Merke: In Bezug auf die Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist unkorreliert gleichbedeutend mit separabel _> die Phasen werden addiert!
Sind die Zustände verschränkt, so können die Phasen nicht addiert werden.
Die Einführung einer Symplektik ist nötig! (siehe unten).
Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeitsverteilung und Mittelwerten[edit | edit source]
Wir verstehen als n.tes Moment einer Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Momentenerzeugende:
Durch die Angabe aller nicht verschwindender Momente ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vollständig festgelegt!
Verallgemeinerung auf d Zufallsvariablen:[edit | edit source]
ein Moment der Ordnung
Momentenerzeugende:
Kumulante
ist definiert durch die Kumulantenerzeugende:
Eigenschaft
Kumulanten sind ADDITIV für unkorrelierte Zufallsvariablen (Dies gilt nicht für die Momente!!)
Beweis: seien x1, x2 unkorreliert:
Fluktuation:
mit
Bildung der Varianz:
Als Maß für die Breite einer Verteilung
Korrelationsmatrix:
Nichtdiagonalelemente verschwinden für unkorrelierte Zufallsvariablen. Denn dann: separieren die Momente der WSK- Verteilung! Siehe oben
- Korrelationsmatrix beschreibt die qm- Korrelationen über ihre Außerdiagonalelemente
Zusammenhang zwischen Kumulanten und Momenten:[edit | edit source]
Gaußverteilung / Normalverteilung[edit | edit source]
Mit Sigma als Standardabweichung
Normierung:
Wegen:
Nebenbemerkung, die Gaußverteilung ist bestimmt durch .
Alle höheren Kumulanten verschwinden!