Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet! (Einstein, 1904). Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich!

• Kugelwellen sind
• → Lorentz- Invariant, also:
• $r^2-c^2{t}^2=r{\stackrel{´}{}}^2-c^{2}t{\stackrel{´}{}}^2$

Für Lorentz- Transformationen!

Formalisierung: Der Raumzeitliche Abstand als

${\left(ds\right)}^2:={\left(cdt\right)}^2-{\left(d\overline{r}\right)}^2$

Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen! zwischen den Inertialsystemen :

$\mathrm{\Sigma }\leftrightarrow \mathrm{\Sigma }\stackrel{´}{}$

Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein. Dann schreibt man

${\left(ds\right)}^2$

als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation, unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:

In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:

kontravariante Komponenten:

$\begin{array}{rl}& x^i\\ & x^1:=ct\\ & x^1,x^2,x^3\\ \end{array}$

als Komponenten des Ortsvektors

$\overline{r}$

kovariante Komponenten

$\begin{array}{rl}& x_i:\\ & x_0:=ct\\ & x_{\alpha }=-x^{\alpha },\alpha =1,2,3\\ \end{array}$

kovarianter Vektor

$\in \tilde{V}$,

dualer Vektorraum zu V!

Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten →

$\in \tilde{V}$

als Raum der linearen Funktionale l:

$V\to R$

Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet!

Schreibe

${\left(ds\right)}^2=d{x}^{0}d{x}_0+d{x}^{1}d{x}_1+d{x}^{2}d{x}_2+d{x}^{3}d{x}_3=d{x}^{i}d{x}_i$

Mit: Summenkonvention! über je einen ko- und einen kontravarianten Index (hier i =0,1,2,3) wird summiert!

Physikalische Anwendung

Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt

$a^i{a}_i$

schreiben!

Beispiel: dÁlemebert- Operator:

$\#=\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}=-\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x_i}=-{\partial }_i{\partial }^i$

Vierergeschwindigkeit

$\begin{array}{rl}& u^i:=\frac{d{x}^i}{ds}\Rightarrow u^i{u}_i=\frac{d{x}^{i}d{x}_i}{{\left(ds\right)}^2}=1\\ & mit\\ & ds={\left(d{x}^{i}d{x}_i\right)}^{\frac{1}{2}}=c{(1-{\beta }^2)}^{\frac{1}{2}dt}=\frac{c}{\gamma }dt\\ & \Rightarrow u^0=\gamma \\ & u^{\alpha }=\frac{\gamma }{c}{v}^{\alpha }\\ & v^{\alpha }:=\frac{d{x}^{\alpha }}{dt}\\ & \beta :=\frac{v}{c}\\ & \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\\ \end{array}$

Physikalische Interpretation

$\begin{array}{rl}& u^{\alpha }=\frac{1}{c}\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }\\ & d\tau =\frac{dt}{\gamma }\\ \end{array}$

Viererimpuls

$p^i:=m_{0}c{u}^i$

mit der Ruhemasse m0

Also:

$\begin{array}{rl}& p^i{p}_i={m_0}^2{c}^2{u}^i{u}_i\\ & u^i{u}_i=1\\ & \Rightarrow p^i{p}_i={m_0}^2{c}^2\\ & p^0=m_0\gamma c=m(v)c=\frac{E}{c}\\ & p^{\alpha }=m_0\gamma v^{\alpha }=m(v)v^{\alpha }\\ & p^i{p}_i={m_0}^2{c}^2{u}^i{u}_i\iff E^2={m_0}^2{c}^4+c^2{\overline{p}}^2\\ \end{array}$

Mit der Energie

$E=m(v)c^2$

Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:

$\begin{array}{rl}& A^{ik},{A^i}_k,{A_i}^k,A_{ik}\\ & A^{00}={A^0}_0={A_0}^0=A_{00}\\ & A^{10}={A^1}_0=-{A_1}^0=-A_{10}\\ & A^{11}=-{A^1}_1=-{A_1}^1=A_{11}\\ \end{array}$

Der metrische Tensor

$g^{ik}:={\delta }^{ik}=\{\begin{array}{c}{{\delta }^i}_{k}k=0\\ -{{\delta }^i}_{k}k=1,2,3\\ \end{array}\}=g_{ik}$

$g^{ik}=g_{ik}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ \end{array}\right)$

Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:

$g^{ik}{a}_k=a^i$

Wichtig fürs Skalarprodukt:

$d{s}^2=g^{ik}d{x}_{i}d{x}_k=g_{ik}d{x}^{i}d{x}^k$

Lorentz- Trafo

zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo

die Lorentz- Transformation für

$\begin{array}{rl}& \left(x^0\begin{array}{cccc},& x^1,& x^2,& x^3\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}ct,& x,& y,& z\\ \end{array}\right)\\ & d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2\\ \end{array}$

Nämlich:

$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{c}{x}_0\stackrel{´}{}\\ x_1\stackrel{´}{}\\ x_2\stackrel{´}{}\\ x_3\stackrel{´}{}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array}\right)\\ & x{\stackrel{´}{}}^i={U^i}_k{x}^k\\ \end{array}$

Mit

${U^i}_k=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$

für

$v\left|\right|x_1$

Wesentliche Eigenschaft (die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):

U ist orthogonale Trafo:

$\begin{array}{rl}& {U^i}_k{U_i}^l={\delta }_k^l\\ & \Rightarrow a{\stackrel{´}{}}^{i}b{\stackrel{´}{}}_i={U^i}_k{U_i}^l{a}^k{b}_l=a^k{b}_k\\ \end{array}$

Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist Bzw. Forderung: Skalarprodukt invariant → U muss orthogonale Trafo sein!

Umkehr- Transformation:

$x^i={U_k}^{i}x{\stackrel{´}{}}^k$