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| # <u>'''Näherung:'''</u> | | # <u>'''Näherung:'''</u> |
| <u>'''r>>a ( '''</u>Ausdehnung der Quelle) | | <u>'''r>>a ('''</u>Ausdehnung der Quelle) |
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| Mit | | Mit |
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| :<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math> | | :<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math> |
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| Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt ! | | Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt! |
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| # <u>'''Näherung'''</u> | | # <u>'''Näherung'''</u> |
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| :<math>\tau >>\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\approx \frac{a}{c}</math> | | :<math>\tau >>\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\approx \frac{a}{c}</math> |
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| Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander ! | | Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander! |
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| a~ Ausdehnung der Quelle | | a~ Ausdehnung der Quelle |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes ! | | Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes! |
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| Dann gilt: | | Dann gilt: |
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| <u>'''Elektrische Dipolstrahlung'''</u> | | <u>'''Elektrische Dipolstrahlung'''</u> |
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| <u>'''Interpretation: Hertzscher Dipol ( H hertz, 1857-1894)'''</u> | | <u>'''Interpretation: Hertzscher Dipol (H hertz, 1857-1894)'''</u> |
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| :<math>\bar{p}\left( t \right)=\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega t}}</math> | | :<math>\bar{p}\left( t \right)=\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega t}}</math> |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Die Kugelwelle ! | | Die Kugelwelle! |
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| <u>'''Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:'''</u> | | <u>'''Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:'''</u> |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig !! | | In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig!! |
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| Es gilt die Näherung | | Es gilt die Näherung |
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| :<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math> | | :<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math> |
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| <u>'''2) Nahzone: ( quasistatischer Bereich):'''</u> | | <u>'''2) Nahzone: (quasistatischer Bereich):'''</u> |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| Dies kann man noch entwickeln nach | | Dies kann man noch entwickeln nach |
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| :<math>\bar{p}\left( t \right)</math> | | :<math>\bar{p}\left( t \right)</math>. |
| . dadurch entstehen Terme:
| | dadurch entstehen Terme: |
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| :<math>\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)-\frac{1}{{{r}^{3}}}\frac{r}{c}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math> | | :<math>\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)-\frac{1}{{{r}^{3}}}\frac{r}{c}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math> |
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| :<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t \right)</math> | | :<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t \right)</math> |
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| in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial ( in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen). | | in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial (in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen). |
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| <u>'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung'''</u> | | <u>'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung'''</u> |
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| :<math>\bar{r},\bar{E}\left( \bar{r},t \right),\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math> | | :<math>\bar{r},\bar{E}\left( \bar{r},t \right),\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math> |
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| bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander ! | | bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander! |
| Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone !! | | Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone!! |
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| <u>'''Nebenbemerkung:'''</u> | | <u>'''Nebenbemerkung:'''</u> |
| In der Nahzone gilt immer noch wegen | | In der Nahzone gilt immer noch wegen |
| :<math>\nabla \cdot \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=0</math> | | :<math>\nabla \cdot \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=0</math>, |
| , dass r und B senkrecht stehen.
| | dass r und B senkrecht stehen. |
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| Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente , die zu r senkrecht steht ( transversale Komponente) noch longitudinale Anteile ( E- parallel, die zu r parallel sind). | | Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente, die zu r senkrecht steht (transversale Komponente) noch longitudinale Anteile (E- parallel, die zu r parallel sind). |
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| <u>'''Poynting- Vektor ( Energiestromdichte)'''</u> | | <u>'''Poynting- Vektor (Energiestromdichte)'''</u> |
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| :<math>\begin{align} | | :<math>\begin{align} |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig !! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt ! | | Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig!! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt! |
| Nebenbemerkung: | | Nebenbemerkung: |
| Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne | | Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne |
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| :<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> | | :<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math> |
| (mit der Coulomb- Eichung | | (mit der Coulomb- Eichung |
| :<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math> | | :<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>) |
| )
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| mit den Randbedingungen | | mit den Randbedingungen |
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| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
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| Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung ( In der Hertzschen Dipol- Näherung) | | Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung (In der Hertzschen Dipol- Näherung) |
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| <u>'''Beispiel: '''</u>geschlossene Leiterschleife ( sogenannte Rahmenantenne): | | <u>'''Beispiel: '''</u>geschlossene Leiterschleife (sogenannte Rahmenantenne): |
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| Mit | | Mit |
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| Dann folgt integriert: | | Dann folgt integriert: |
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| Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden ( vergl. S. 15, Elektrostatik): | | Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden (vergl. S. 15, Elektrostatik): |
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| :<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}\left( 3\bar{r}\acute{\ }\otimes \bar{r}\acute{\ }-r{{\acute{\ }}^{2}}\bar{\bar{1}} \right)=:\tilde{\bar{\bar{Q}}}-\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math> | | :<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau \right)}\left( 3\bar{r}\acute{\ }\otimes \bar{r}\acute{\ }-r{{\acute{\ }}^{2}}\bar{\bar{1}} \right)=:\tilde{\bar{\bar{Q}}}-\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math> |
Line 326: |
Line 326: |
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| :<math>\tilde{Q}\left( \tau \right)</math> | | :<math>\tilde{Q}\left( \tau \right)</math> |
| oszilliert ( sogenannter "breathing mode"), gibt | | oszilliert (sogenannter "breathing mode"), gibt |
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| :<math>\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math> | | :<math>\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math> |
Line 384: |
Line 384: |
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| :<math>\bar{m}\tilde{\ }\bar{L}</math> | | :<math>\bar{m}\tilde{\ }\bar{L}</math> |
| ( Gesamtdrehimpuls) | | (Gesamtdrehimpuls) |
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| :<math>\Rightarrow \dot{\bar{p}}=\dot{\bar{m}}=0</math> | | :<math>\Rightarrow \dot{\bar{p}}=\dot{\bar{m}}=0</math> |
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| In diesem Fall ( vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich | | In diesem Fall (vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich |
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| vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung | | vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung |
Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
65px|Kein GFDL
|
Der Artikel Multipolstrahlung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 3) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=3}}
Kategorie:Elektrodynamik
__SHOWFACTBOX__
Ziel:
Die retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.
Voraussetzung: Lorentz- Eichung
Somit kann aus
- dann
und somit auch
berechnet werden.
- Näherung:
r>>a (Ausdehnung der Quelle)
Mit
folgt:
Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt!
- Näherung
Diese Näherung sollte gut sein, falls
Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander!
a~ Ausdehnung der Quelle
ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von
Beispielsweise: harmonische Erregung:
Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes!
Dann gilt:
Also folgt für das Vektorpotenzial:
Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:
Mit:
mit der Kontinuitäätsgleichung:
und wegen
(Gauß)
folgt dann:
mit dem elektrischen Dipolmoment:
Somit für die erste Ordnung:
Elektrische Dipolstrahlung
Interpretation: Hertzscher Dipol (H hertz, 1857-1894)
Die Kugelwelle!
Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:
Grenzfälle:
1) Fernzone / Wellenzone:
In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig!!
Es gilt die Näherung
2) Nahzone: (quasistatischer Bereich):
Also:
Dies kann man noch entwickeln nach
- .
dadurch entstehen Terme:
Diese kompensieren sich gegenseitig.
Also:
Die Retardierung kompensiert den
- Term.
Wir schreiben:
in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial (in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).
Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung
Es gilt:
F
Fazit:
bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander!
Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone!!
Nebenbemerkung:
In der Nahzone gilt immer noch wegen
- ,
dass r und B senkrecht stehen.
Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente, die zu r senkrecht steht (transversale Komponente) noch longitudinale Anteile (E- parallel, die zu r parallel sind).
Poynting- Vektor (Energiestromdichte)
Also:
entspricht
Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:
Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig!! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt!
Nebenbemerkung:
Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne
Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung
Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von
(mit der Coulomb- Eichung
- )
mit den Randbedingungen
für r→ unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:
Taylorentwicklung nach
von analog zum elektrischen Fall:
Die Stromverteilung
sei stationär für
Monopol- Term
Mit
Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
Mit
folgt dann:
Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.
Also: Falls
quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A:
Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:
Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung (In der Hertzschen Dipol- Näherung)
Beispiel: geschlossene Leiterschleife (sogenannte Rahmenantenne):
Mit
2. Ordnung:
Mit
Kontinuitätsgleichung
Dann folgt integriert:
Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden (vergl. S. 15, Elektrostatik):
Falls
oszilliert (sogenannter "breathing mode"), gibt
keinen Beitrag zu
- verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen
→
Also:
Mit der magnetischen Dipolstrahlung
und elektrischer Quadrupolstrahlung
Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe
schreiben als:
Die magnetische Dipolstrahlung
Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung
O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt
Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:
das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung
Nebenbemerkung
Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung
- ist
(Schwerpunkt)
und
(Gesamtdrehimpuls)
In diesem Fall (vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich
vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung