Multipolstrahlung: Difference between revisions

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<noinclude>{{Scripthinweis|Elektrodynamik|4|3}}</noinclude>
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<u>'''Ziel:'''</u>
<u>'''Ziel:'''</u>
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# <u>'''Näherung:'''</u>
# <u>'''Näherung:'''</u>
<u>'''r>>a ( '''</u>Ausdehnung der Quelle)
<u>'''r>>a ('''</u>Ausdehnung der Quelle)


Mit
Mit
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:<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math>
:<math>\bar{A}\left( \bar{r},t \right)\approx \frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi r}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)+\frac{{{\mu }_{\acute{\ }0}}}{4\pi {{r}^{3}}}\int_{{}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\bar{j}\left( \bar{r}\acute{\ },t-\frac{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}{c} \right)\left( \bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ } \right)</math>


Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt !
Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt!


# <u>'''Näherung'''</u>
# <u>'''Näherung'''</u>
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:<math>\tau >>\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\approx \frac{a}{c}</math>
:<math>\tau >>\frac{\bar{r}\cdot \bar{r}\acute{\ }}{cr}\approx \frac{a}{c}</math>


Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander !
Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander!


a~ Ausdehnung der Quelle
a~ Ausdehnung der Quelle
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\end{align}</math>
\end{align}</math>


Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes !
Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes!


Dann gilt:
Dann gilt:
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<u>'''Elektrische Dipolstrahlung'''</u>
<u>'''Elektrische Dipolstrahlung'''</u>


<u>'''Interpretation: Hertzscher Dipol ( H hertz, 1857-1894)'''</u>
<u>'''Interpretation: Hertzscher Dipol (H hertz, 1857-1894)'''</u>


:<math>\bar{p}\left( t \right)=\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega t}}</math>
:<math>\bar{p}\left( t \right)=\bar{p}\left( {{t}_{0}} \right){{e}^{-i\omega t}}</math>
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\end{align}</math>
\end{align}</math>


Die Kugelwelle !
Die Kugelwelle!


<u>'''Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:'''</u>
<u>'''Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:'''</u>
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\end{align}</math>
\end{align}</math>


In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig !!
In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig!!


Es gilt die Näherung
Es gilt die Näherung
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:<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>
:<math>\Phi {{\left( \bar{r},t \right)}_{fern}}\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t-\frac{r}{c} \right)</math>


<u>'''2) Nahzone: ( quasistatischer Bereich):'''</u>
<u>'''2) Nahzone: (quasistatischer Bereich):'''</u>


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
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Dies kann man noch entwickeln nach
Dies kann man noch entwickeln nach


:<math>\bar{p}\left( t \right)</math>
:<math>\bar{p}\left( t \right)</math>.
. dadurch entstehen Terme:
dadurch entstehen Terme:


:<math>\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)-\frac{1}{{{r}^{3}}}\frac{r}{c}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math>
:<math>\frac{1}{c{{r}^{2}}}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)-\frac{1}{{{r}^{3}}}\frac{r}{c}\bar{r}\dot{\bar{p}}\left( t \right)</math>
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:<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t \right)</math>
:<math>\Phi \left( \bar{r},t \right)\approx \frac{1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\frac{1}{{{r}^{3}}}\bar{r}\bar{p}\left( t \right)</math>


in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial ( in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).
in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial (in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).


<u>'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung'''</u>
<u>'''Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung'''</u>
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:<math>\bar{r},\bar{E}\left( \bar{r},t \right),\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math>
:<math>\bar{r},\bar{E}\left( \bar{r},t \right),\bar{B}\left( \bar{r},t \right)</math>


bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander !
bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander!
Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone !!
Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone!!


<u>'''Nebenbemerkung:'''</u>
<u>'''Nebenbemerkung:'''</u>
In der Nahzone gilt immer noch wegen
In der Nahzone gilt immer noch wegen
:<math>\nabla \cdot \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=0</math>
:<math>\nabla \cdot \bar{B}\left( \bar{r},t \right)=0</math>,
, dass r und B senkrecht stehen.
dass r und B senkrecht stehen.


Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente , die zu r senkrecht steht ( transversale Komponente) noch longitudinale Anteile ( E- parallel, die zu r parallel sind).
Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente, die zu r senkrecht steht (transversale Komponente) noch longitudinale Anteile (E- parallel, die zu r parallel sind).


<u>'''Poynting- Vektor ( Energiestromdichte)'''</u>
<u>'''Poynting- Vektor (Energiestromdichte)'''</u>


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
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\end{align}</math>
\end{align}</math>


Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig !! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt !
Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig!! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt!
Nebenbemerkung:
Nebenbemerkung:
Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne
Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne
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:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
:<math>\bar{A}(\bar{r})=\frac{{{\mu }_{0}}}{4\pi }\int_{{{R}^{3}}}^{{}}{{}}{{d}^{3}}r\acute{\ }\frac{\bar{j}(\bar{r}\acute{\ })}{\left| \bar{r}-\bar{r}\acute{\ } \right|}</math>
(mit der Coulomb- Eichung
(mit der Coulomb- Eichung
:<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>
:<math>\nabla \cdot \bar{A}(\bar{r})=0</math>)
)
 


mit den Randbedingungen
mit den Randbedingungen
:<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>
:<math>\bar{A}(\bar{r})\to 0</math>
für r-> unendlich  verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:
für r→ unendlich  verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:


Taylorentwicklung nach
Taylorentwicklung nach
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\end{align}</math>
\end{align}</math>


Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung ( In der Hertzschen Dipol- Näherung)
Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung (In der Hertzschen Dipol- Näherung)


<u>'''Beispiel:  '''</u>geschlossene Leiterschleife ( sogenannte Rahmenantenne):
<u>'''Beispiel:  '''</u>geschlossene Leiterschleife (sogenannte Rahmenantenne):


Mit
Mit
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Dann folgt integriert:
Dann folgt integriert:


Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden ( vergl. S. 15, Elektrostatik):
Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden (vergl. S. 15, Elektrostatik):


:<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau  \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)}\left( 3\bar{r}\acute{\ }\otimes \bar{r}\acute{\ }-r{{\acute{\ }}^{2}}\bar{\bar{1}} \right)=:\tilde{\bar{\bar{Q}}}-\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>
:<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau  \right)=\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)}\left( 3\bar{r}\acute{\ }\otimes \bar{r}\acute{\ }-r{{\acute{\ }}^{2}}\bar{\bar{1}} \right)=:\tilde{\bar{\bar{Q}}}-\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>
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:<math>\tilde{Q}\left( \tau  \right)</math>
:<math>\tilde{Q}\left( \tau  \right)</math>
oszilliert ( sogenannter "breathing mode"), gibt
oszilliert (sogenannter "breathing mode"), gibt


:<math>\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>
:<math>\frac{1}{3}\left( tr\left( {\tilde{\bar{\bar{Q}}}} \right) \right)\bar{\bar{1}}</math>
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* verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen
* verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen


<u>'''->'''</u>
<u>''''''</u>
:<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r}=3\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)}\bar{r}\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r} \right)</math>
:<math>\bar{\bar{Q}}\left( \tau  \right)\cdot \bar{r}=3\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }\rho \left( \bar{r}\acute{\ },\tau  \right)}\bar{r}\acute{\ }\left( \bar{r}\acute{\ }\cdot \bar{r} \right)</math>


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:<math>\bar{m}\tilde{\ }\bar{L}</math>
:<math>\bar{m}\tilde{\ }\bar{L}</math>
( Gesamtdrehimpuls)
(Gesamtdrehimpuls)


:<math>\Rightarrow \dot{\bar{p}}=\dot{\bar{m}}=0</math>
:<math>\Rightarrow \dot{\bar{p}}=\dot{\bar{m}}=0</math>


In diesem Fall ( vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich
In diesem Fall (vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich


vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung
vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung

Latest revision as of 00:22, 13 September 2010


{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=3}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__


Ziel:

Die retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.

Voraussetzung: Lorentz- Eichung

Somit kann aus

dann

und somit auch

berechnet werden.

  1. Näherung:

r>>a (Ausdehnung der Quelle)

Mit

folgt:

Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt!

  1. Näherung

Diese Näherung sollte gut sein, falls

Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander!

a~ Ausdehnung der Quelle

ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von

Beispielsweise: harmonische Erregung:

Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes!

Dann gilt:

Also folgt für das Vektorpotenzial:


Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:

Mit:

mit der Kontinuitäätsgleichung:

und wegen

(Gauß)

folgt dann:

mit dem elektrischen Dipolmoment:

Somit für die erste Ordnung:

Elektrische Dipolstrahlung

Interpretation: Hertzscher Dipol (H hertz, 1857-1894)


Die Kugelwelle!

Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:

Grenzfälle:

1) Fernzone / Wellenzone:

In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig!!

Es gilt die Näherung

2) Nahzone: (quasistatischer Bereich):

Also:

Dies kann man noch entwickeln nach

.
dadurch entstehen Terme:

Diese kompensieren sich gegenseitig. Also: Die Retardierung kompensiert den

- Term.

Wir schreiben:

in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial (in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung


Es gilt:

F Fazit:

bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander! Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone!!

Nebenbemerkung: In der Nahzone gilt immer noch wegen

,
dass r und B senkrecht stehen.

Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente, die zu r senkrecht steht (transversale Komponente) noch longitudinale Anteile (E- parallel, die zu r parallel sind).

Poynting- Vektor (Energiestromdichte)


Also:

entspricht


Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:

Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig!! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt! Nebenbemerkung: Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne

Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung

Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von

(mit der Coulomb- Eichung

)


mit den Randbedingungen

für r→ unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:

Taylorentwicklung nach

von analog zum elektrischen Fall: Die Stromverteilung

sei stationär für

Monopol- Term

Mit

Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

Mit

folgt dann:

Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.

Also: Falls

quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A: Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:

Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung (In der Hertzschen Dipol- Näherung)

Beispiel: geschlossene Leiterschleife (sogenannte Rahmenantenne):

Mit

2. Ordnung:

Mit

Kontinuitätsgleichung Dann folgt integriert:

Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden (vergl. S. 15, Elektrostatik):

Falls

oszilliert (sogenannter "breathing mode"), gibt

keinen Beitrag zu

  • verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen

Also:

Mit der magnetischen Dipolstrahlung

und elektrischer Quadrupolstrahlung

Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe

schreiben als:


Die magnetische Dipolstrahlung

Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung

O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:

das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung

Nebenbemerkung

Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung

ist

(Schwerpunkt) und

(Gesamtdrehimpuls)

In diesem Fall (vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich

vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung