Freie Wellenausbreitung im Vakuum

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Freie Wellenausbreitung im Vakuum basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels (Abschnitt 1) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=4|Abschnitt=1}} Kategorie:Elektrodynamik __SHOWFACTBOX__

Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:

$\rho =0$

${\bar {j}}=0$

Damit:

$\#\Phi =-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\rho =0\Rightarrow \#\Phi =0$

$\#{\bar {A}}=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}=0\Rightarrow \#{\bar {A}}=0$

Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung

Wegen

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

gilt auch

${\begin{aligned}&\#{\bar {E}}=0\\&\#{\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

Dies folgt auch direkt aus

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {B}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\dot {\bar {E}}}\\&\nabla \times {\bar {E}}=-{\dot {\bar {B}}}\\&\Rightarrow mit\quad \nabla \cdot {\bar {E}}=0\\&\left(\Delta -{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\right){\bar {E}}=0\\\end{aligned}}$

Allgemeine Lösung von

$u({\bar {r}},t)=0$

$u({\bar {r}},t)=F({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)$

mit einer beliebigen, zweifach diffbaren Funktion

$F(\phi )$ und $\varpi =c\left|{\bar {k}}\right|$

(dÁlembertsche Lösung) Beweis:

$\#F({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)=\left({{\bar {k}}^{2}}-{\frac {{\varpi }^{2}}{{c}^{2}}}\right)F{\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\phi \right)=0$

Nebenbemerkung:

$F(\phi )$

muss nicht periodisch in

$\phi$

sein! Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :

Der Wellenvektor

${\bar {k}}$

zeigt in Ausbreitungsrichtung:

Es gilt:

$\nabla \phi ({\bar {r}},t)={\bar {k}}$

Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:

${\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t=\phi ({\bar {r}},t)=const!$

Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:

${\bar {k}}\left({\bar {r}}-{\frac {1}{{k}^{2}}}{\bar {k}}\left(\varpi t+\phi \right)\right)=0$

Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:

${\bar {r}}(t)={\frac {1}{{k}^{2}}}{\bar {k}}\left(\varpi t+\phi \right)$

Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit

${\begin{aligned}&{{v}_{ph}}=\left.{\frac {d{\bar {r}}(t)}{dt}}\right|_{\phi =const}^{}={\frac {\bar {k}}{{k}^{2}}}\varpi =c{\frac {\bar {k}}{k}}\\&{\frac {\bar {k}}{k}}:={\bar {n}}\\\end{aligned}}$

spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle

$u({\bar {r}},t)={\tilde {u}}({\bar {k}}){{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)}}$

mit der komplexen Amplitude

${\tilde {u}}({\bar {k}})$

Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation

$\varpi ({\bar {k}})$

$u({\bar {r}},t)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}k}{\tilde {u}}({\bar {k}}){{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi ({\bar {k}})t)}}$

Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity

Sei

${\tilde {u}}({\bar {k}})$ um ${{\bar {k}}_{0}}$

herum lokalisiert:

So ergibt sich ein Wellenpaket , welches im Ortsraum lokalisiert ist!

Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um

${{\bar {k}}_{0}}$ ergibt ${\begin{aligned}&\varpi ({\bar {k}})\approx \varpi ({{\bar {k}}_{0}})+\left({\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\right){{\nabla }_{k}}\varpi ({\bar {k}}){{\left.{}\right|}_{{\bar {k}}={{\bar {k}}_{0}}}}+{\frac {1}{2!}}{{\left({\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\right)}^{2}}{{\left({{\nabla }_{k}}\right)}^{2}}\varpi ({\bar {k}}){{\left.{}\right|}_{{\bar {k}}={{\bar {k}}_{0}}}}+...\\&{{\nabla }_{k}}\varpi ({\bar {k}}){{\left.{}\right|}_{{\bar {k}}={{\bar {k}}_{0}}}}={{\bar {v}}_{g}}\\&\varpi ({\bar {k}})\approx \varpi ({{\bar {k}}_{0}})+\left({\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\right){{\bar {v}}_{g}}\\\end{aligned}}$

Diese lineare Näherung ergibt nun gerade

${\begin{aligned}&u({\bar {r}},t)={{e}^{i({{\bar {k}}_{0}}{\bar {r}}-{{\varpi }_{0}}t)}}\int _{}^{}{{{d}^{3}}{\tilde {k}}}{\tilde {u}}({{\bar {k}}_{0}}+{\tilde {\bar {k}}}){{e}^{i{\tilde {\bar {k}}}({\bar {r}}-{{\bar {v}}_{g}}t)}}\\&{\tilde {\bar {k}}}={\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\\\end{aligned}}$

Dies ist zu interpretieren als

${{e}^{i({{\bar {k}}_{0}}{\bar {r}}-{{\varpi }_{0}}t)}}$

eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit

${{\bar {v}}_{ph}}={\frac {{\varpi }_{0}}{{k}_{0}}}$

$\int _{}^{}{{{d}^{3}}{\tilde {k}}}{\tilde {u}}({{\bar {k}}_{0}}+{\tilde {\bar {k}}}){{e}^{i{\tilde {\bar {k}}}({\bar {r}}-{{\bar {v}}_{g}}t)}}$

als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit

${{\bar {v}}_{g}}={{\nabla }_{k}}\varpi \left({\bar {k}}\right)$

bewegt:

Wir erhalten die Dispersionsrelation

$\varpi \left({\bar {k}}\right)$

elektromagnetische Wellen im Vakuum:

$\varpi \left({\bar {k}}\right)=c\left|{\bar {k}}\right|\Rightarrow {{\bar {v}}_{g}}=c{\frac {\bar {k}}{\left|{\bar {k}}\right|}}={{\bar {v}}_{ph}}={\frac {1}{\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}}{\bar {n}}$

es gibt also keine Dispersion (kein zerfließen!)

Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum!

Polarisation

Betrachte eine elektromagnetische Welle:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)}}\\&{\bar {B}}({\bar {r}},t)={{\bar {B}}_{0}}{{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)}}\\\end{aligned}}$

Allgemein gilt:

${\bar {E}}({\bar {r}},t)$

heißt transversal, wenn

$\nabla \cdot {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0$

(quellenfrei)

$\Rightarrow i{\bar {k}}\cdot {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0\Rightarrow {\bar {k}}\bot {\bar {E}}({\bar {r}},t)$

${\bar {E}}({\bar {r}},t)$

heißt longitudinal, wenn

$\nabla \times {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0$

(wirbelfrei)

$\Rightarrow i{\bar {k}}\times {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0\Rightarrow {\bar {k}}||{\bar {E}}({\bar {r}},t)$

Für

$\rho =0$

ist wegen

$\nabla \cdot {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0$

das elektrische Feld transversal. Wegen

$\nabla \cdot {\bar {B}}({\bar {r}},t)=0$

ist das magnetische Feld stets transversal!

Weiter folgt aus:

$\nabla \times {\bar {E}}({\bar {r}},t)+{\dot {\bar {B}}}=0$

dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist!

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {E}}({\bar {r}},t)+{\dot {\bar {B}}}=0\\&\Rightarrow \left(i{\bar {k}}\times {{\bar {E}}_{0}}-i\varpi {{\bar {B}}_{0}}\right){{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)}}=0\\&\varpi =c\left|{\bar {k}}\right|\\&\Rightarrow {{\bar {B}}_{0}}={\frac {1}{c}}{\frac {\bar {k}}{\left|{\bar {k}}\right|}}\times {{\bar {E}}_{0}}:={\frac {1}{c}}{\bar {n}}\times {{\bar {E}}_{0}}\\\end{aligned}}$

Folglich bilden

${\bar {k}},{{\bar {E}}_{0}},{{\bar {B}}_{0}}$

ein Rechtssystem!

Die Richtung von

$\operatorname {Re} \left\{{{\bar {E}}_{0}},{{\bar {B}}_{0}}\right\}$

legt die Polarisation fest:

Sei

${\bar {k}}||{{\bar {e}}_{3}}$

- Achse, also:

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{0}}={{E}_{01}}{{\bar {e}}_{1}}+{{E}_{02}}{{\bar {e}}_{2}}\\&{{E}_{0i}}={{a}_{i}}{{e}^{i{{\delta }_{i}}}}\in C\\&{{a}_{i}},{{\delta }_{i}}\in R\\&i=1,2\\\end{aligned}}$

Das physikalische Feld ergibt sich zu

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{1}}({\bar {r}},t)=\operatorname {Re} \left\{{{a}_{1}}{{e}^{i\left({{\delta }_{1}}+{\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)}}\right\}={{a}_{1}}\cos \left(\phi +{{\delta }_{1}}\right)\\&\phi :={\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\\\end{aligned}}$ und ${{\bar {E}}_{2}}({\bar {r}},t)=\operatorname {Re} \left\{{{a}_{2}}{{e}^{i\left({{\delta }_{2}}+\phi \right)}}\right\}={{a}_{2}}\cos \left(\phi +{{\delta }_{2}}\right)$

Aus

${\begin{aligned}&{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}({\bar {r}},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{1}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{1}}\\&{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}({\bar {r}},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{2}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{2}}\\\end{aligned}}$

Kann

$\phi$

und somit

$\left({\bar {r}},t\right)$

eliminiert werden:

${\begin{aligned}&{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\sin {{\delta }_{2}}-{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\sin {{\delta }_{1}}=\cos \phi \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)\\&{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\cos {{\delta }_{2}}-{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\cos {{\delta }_{1}}=\sin \phi \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)\\&\Rightarrow {{1}^{2}}+{{2}^{2}}\Rightarrow {{\left({\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\right)}^{2}}-2{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\cos \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)={{\sin }^{2}}\left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)\\\end{aligned}}$

Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für

${{\bar {E}}_{1}},{{\bar {E}}_{2}}$

Der Feldvektor

${\bar {E}}({\bar {r}},t)$

läuft als Funktion von

$\phi$

auf einer Ellipse senkrecht zu

${\bar {k}}$

um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:

Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor

${\bar {r}}$

für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort

${\bar {r}}$.

Spezialfälle:

Linear polarisierte Welle:

${\begin{aligned}&{{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+n\pi \Rightarrow \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=0,\cos \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=\pm 1\\&\Rightarrow {\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\pm {\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}=0\\\end{aligned}}$

Dies ist jedoch eine Geradengleichung:

${\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}\cos \phi ({\bar {r}},t)$

mit reeller Amplitude

${{\bar {E}}_{0}}$

Zirkular polarisierte Welle

${\begin{aligned}&a1=a2=a\\&{{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+\left(2n+1\right){\frac {\pi }{2}}\Rightarrow \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=\pm 1,\cos \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=0\\&\Rightarrow {{\bar {E}}_{1}}^{2}+{{\bar {E}}_{2}}^{2}={{a}^{2}}\\\end{aligned}}$

Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um

${\frac {\pi }{2}}$

phasenverschoben sind! Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um

${\bar {E}}({\bar {r}},t)=a\left({\begin{matrix}\cos \phi \\\pm \sin \phi \\\end{matrix}}\right)$

Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:

Dabei läuft

${\bar {B}}({\bar {r}},t)$ dem ${\bar {E}}({\bar {r}},t)$

- Vektor um

${\frac {\pi }{2}}$

verschoben nach bzw. voraus!

Energiedichte der elektromagnetischen Welle:

${{\bar {E}}_{0}}({\bar {r}},t)$

reell:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}\cos \left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)\\&{\bar {B}}({\bar {r}},t)={{\bar {B}}_{0}}\cos \left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)\\\end{aligned}}$ mit ${{\bar {B}}_{0}}={\frac {1}{c}}{\bar {n}}\times {{\bar {E}}_{0}}$

Die Energiedichte ergibt sich gemäß

$w={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}+{\frac {1}{2{{\mu }_{0}}}}{{\bar {B}}^{2}}={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}+{\frac {1}{2{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}}{{\bar {E}}^{2}}=2{\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}$

Für die Energiestromdichte gilt:

${\begin{aligned}&{\bar {S}}={\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {E}}\times {\bar {B}}\\&{\bar {S}}={\frac {1}{c{{\mu }_{0}}}}{\bar {E}}\times \left({\bar {n}}\times {\bar {E}}\right)={\sqrt {\frac {{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}{{\bar {E}}^{2}}{\bar {n}}=c{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}^{2}}{\bar {n}}=cw{\bar {n}}\\\end{aligned}}$

Also: Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung

${\bar {n}}={\frac {\bar {k}}{\left|{\bar {k}}\right|}}$

transportiert Für ine Kugelwelle:

${\bar {E}}({\bar {r}},t)={\frac {1}{r}}{{\bar {E}}_{0}}\cos \left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)$

verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:

für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:

$W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}^{2}}({\bar {r}},t)$

Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden (sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:

$W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}^{2}}({\bar {r}},t)=2\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{\frac {{{\bar {E}}_{0}}^{2}}{{r}^{2}}}=const.$