Störungen integrabler Systeme: Difference between revisions
Jump to navigation
Jump to search
Die Seite wurde neu angelegt: „<noinclude>{{Scripthinweis|Mechanik|5|3}}</noinclude> ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen <math>\bar{…“ |
m Änderungen von 50.56.29.144 (Diskussion) rückgängig gemacht und letzte Version von SchuBot wiederhergestellt |
||
| (3 intermediate revisions by 2 users not shown) | |||
| Line 4: | Line 4: | ||
<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math> | :<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math> | ||
und der Winkelvariablen | und der Winkelvariablen | ||
<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math> | :<math>\bar{\theta }({{\theta }_{1}},...,{{\theta }_{f}})</math>, | ||
Hamiltonfunktion | |||
<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math> | :<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math> | ||
Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke | Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke | ||
<math>\varepsilon </math> | :<math>\varepsilon </math> | ||
: | : | ||
<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math> | :<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math> | ||
In diesem Fall ist | In diesem Fall ist | ||
<math>\theta </math> | :<math>\theta </math> | ||
nicht mehr zyklisch. | nicht mehr zyklisch. | ||
<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math> | :<math>\bar{I}({{I}_{1}},...,{{I}_{f}})</math> | ||
ist also keine Bewegungskonstante mehr ! | ist also keine Bewegungskonstante mehr! | ||
====Beispiel:==== | ====Beispiel:==== | ||
| Line 30: | Line 30: | ||
System: Sonne, Erde, Mond | System: Sonne, Erde, Mond | ||
* integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen ( annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung | * integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen (annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung | ||
* Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ? | * Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ? | ||
Also: | Also: | ||
Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher ( bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein. | Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher (bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein. | ||
Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ? | Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ? | ||
* Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto ! | * Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto! | ||
Teilantwort liefert die KAM_ Theorie ( Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967) | Teilantwort liefert die KAM_ Theorie (Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967) | ||
* Stabilitätsaussagen | * Stabilitätsaussagen | ||
| Line 48: | Line 48: | ||
Die Frequenzen des integrablen Systems | Die Frequenzen des integrablen Systems | ||
<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math> | :<math>{{H}_{0}}(\bar{I})</math> | ||
sind rational unabhängig, also: | sind rational unabhängig, also: | ||
<math>\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}</math> | :<math>\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}</math> | ||
Dann überdeckt jede Bahn für festes | Dann überdeckt jede Bahn für festes | ||
<math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math> | :<math>{{I}_{k}}={{\alpha }_{k}}</math> | ||
den Torus | den Torus | ||
<math>{{T}^{f}}</math> | :<math>{{T}^{f}}</math> | ||
dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch. | dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch. | ||
'''ERGODISCHE Bewegung '''( nichtresonanter Torus) | '''ERGODISCHE Bewegung '''(nichtresonanter Torus) | ||
====KAM- Theorem==== | ====KAM- Theorem==== | ||
| Line 68: | Line 68: | ||
<math>\left| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right|\ge \gamma {{\left| {\bar{r}} \right|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0</math> | :<math>\left| \sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}} \right|\ge \gamma {{\left| {\bar{r}} \right|}^{\alpha }}\quad \alpha ,\gamma >0</math> | ||
So hat das gestörte System | So hat das gestörte System | ||
<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math> | :<math>H(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )={{H}_{0}}(\bar{I})+\varepsilon {{H}_{1}}(\bar{\theta },\bar{I},\varepsilon )</math> | ||
für kleine | für kleine | ||
<math>\varepsilon </math> | :<math>\varepsilon </math> | ||
überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von | überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von | ||
<math>{{H}_{0}}</math> | :<math>{{H}_{0}}</math> | ||
werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört. | werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört. | ||
<u>'''Anwendung:'''</u> | <u>'''Anwendung:'''</u> | ||
Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems ! | Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems! | ||
Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen: | Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen: | ||
* störungstheoretische Entwicklung in | * störungstheoretische Entwicklung in | ||
<math>\varepsilon </math> | :<math>\varepsilon </math> | ||
* Mittelung über die Störungen | * Mittelung über die Störungen | ||
[[Kategorie:Mechanik]] | [[Kategorie:Mechanik]] | ||
Latest revision as of 14:19, 9 August 2011
Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
| 65px|Kein GFDL | Der Artikel Störungen integrabler Systeme basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
|}}
{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=5|Abschnitt=3}} Kategorie:Mechanik __SHOWFACTBOX__
ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen
und der Winkelvariablen
Hamiltonfunktion
Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke
In diesem Fall ist
nicht mehr zyklisch.
ist also keine Bewegungskonstante mehr!
Beispiel:[edit | edit source]
Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem
System: Sonne, Erde, Mond
- integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen (annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
- Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?
Also:
Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher (bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.
Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?
- Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto!
Teilantwort liefert die KAM_ Theorie (Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)
- Stabilitätsaussagen
Voraussetzung:
Die Frequenzen des integrablen Systems
sind rational unabhängig, also:
Dann überdeckt jede Bahn für festes
den Torus
dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.
ERGODISCHE Bewegung (nichtresonanter Torus)
KAM- Theorem[edit | edit source]
Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt
So hat das gestörte System
für kleine
überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von
werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.
Anwendung:
Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems!
Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:
- störungstheoretische Entwicklung in
- Mittelung über die Störungen