Theorem von Noether

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Theorem von Noether basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 1) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Voraussetzung: Autonomes, das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und einer Lagrangefunktion

$L({{q}_{1}},...,{{\dot {q}}_{1}},...,t)$

Theorem (E.Noether, 1882-1935)

Die Lagrangefunktion

$L({{q}_{1}},...,{{\dot {q}}_{1}},...,t)$

eines autonomen Systems sei unter der Transformation

${\bar {q}}\to {{h}^{s}}({\bar {q}})$

invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und

${{h}^{s=0}}({\bar {q}})={\bar {q}}$

die Identität.

Dann gibt es ein Integral der Bewegung

$I({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}})=\sum \limits _{i=1}^{f}{{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{q}_{i}})\right)}_{s=0}}}$

Beweis:

Sei

${\bar {q}}={\bar {q}}(t)$

eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch

${\bar {q}}(s,t):={{h}^{s}}({\bar {q}},t)$

Lösung, das heißt:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L({\bar {q}}(s,t),{\dot {\bar {q}}}(s,t))}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}={\frac {\partial L({\bar {q}}(s,t),{\dot {\bar {q}}}(s,t))}{\partial {{q}_{i}}}}$

Invarianz der Lagrangefunktion für beliebige s:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{ds}}L({\bar {q}}(s,t),{\dot {\bar {q}}}(s,t))=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{i}}}}\left({\frac {d{{q}_{i}}}{ds}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{{\left({\frac {d{{\dot {q}}_{i}}}{ds}}\right)}_{}}\right)=}0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}I({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}})=\sum \limits _{i=1}^{f}{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{q}_{i}})\right)}_{s=0}}\right)=}\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}\left({\frac {d{{q}_{i}}}{ds}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{\frac {d}{dt}}{{\left({\frac {d{{q}_{i}}}{ds}}\right)}_{}}\right)}\\\end{aligned}}$ Mit ${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{i}}}}\\&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d{{q}_{i}}}{ds}}\right)=\left({\frac {d{{\dot {q}}_{i}}}{ds}}\right)\\\end{aligned}}$

und mit Hilfe von

${\frac {d}{ds}}L({\bar {q}}(s,t),{\dot {\bar {q}}}(s,t))=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{i}}}}\left({\frac {d{{q}_{i}}}{ds}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{{\left({\frac {d{{\dot {q}}_{i}}}{ds}}\right)}_{}}\right)=}0$

folgt dann:

${\frac {d}{dt}}I({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}})={\frac {d}{ds}}L=0$