Forminvarianz der Lagrangegleichungen

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Forminvarianz der Lagrangegleichungen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 2.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Forminvarianz der Lagrangegleichungen	{{#ask: Kapitel::2 Abschnitt::0 Urheber::Prof. Dr. E. Schöll, PhD}}	{{#ask: Abschnitt::0 Kapitel::0 Urheber::Prof. Dr. E. Schöll, PhD}}
	{{#ask: Kapitel::2 Abschnitt::!0 Urheber::Prof. Dr. E. Schöll, PhD	format=ol	order=ASC	sort=Abschnitt }}	{{#ask: Abschnitt::0 Urheber::Prof. Dr. E. Schöll, PhD Kapitel::!0	format=ol	order=ASC	sort=Kapitel }}

{{#set:Urheber=Prof. Dr. E. Schöll, PhD|Inhaltstyp=Script|Kapitel=2|Abschnitt=4}} __SHOWFACTBOX__

Eine schwächere Form der Invarianz (als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.

Dabei gilt als Forminvarianz:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=0$

Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten

$F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$

sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?

Satz:

Sei

$F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$

ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind

$F,{{F}^{-1}}$

beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist

$\left\{{{Q}_{k}}(t)\right\}$

Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:

${\tilde {L}}({{Q}_{k}},{{\dot {Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}},t)$ mit ${\begin{aligned}&{{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}}\\&\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}}={{\dot {q}}_{k}}\\\end{aligned}}$

Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:

$\left\{{{q}_{k}}(t)\right\}$

sind Lösung der Lagrangegleichungen zu

$L({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)$

Beweis:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=}\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)}$ wegen ${\begin{aligned}&{{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}}\\&\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}}={{\dot {q}}_{k}}\\\end{aligned}}$

Nun:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}\\&=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}\\\end{aligned}}$

und auf der anderen Seite:

${\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right)}$

Somit:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}-{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right)\right\}}\\&=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}\right)\right\}}\\\end{aligned}}$

Dabei bildet

${\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}$

die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also

$\det {\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\neq 0$

Daher die Bedingung, dass

Sei

$F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$

ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und

$F,{{F}^{-1}}$

beide zweimal stetig differenzierbar.

Nur dann ist

$\left\{{{Q}_{k}}(t)\right\}$

Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.

Denn diese Aussage ist äquivalent zu

${\begin{aligned}&{{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t)\\&{{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det {\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}\neq 0\\\end{aligned}}$

Man sagt, die Variationsableitung

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}-{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}$

ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten

Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.