Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

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Der Artikel Kovariante Schreibweise der Relativitätstheorie basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 7.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet (es existiert kein Ruhezustand)

Einstein, 1904

Eine Bewegung ist vom Ruhezustand nicht zu unterscheiden, so lange sie nicht zu einer anderen Bewegung in Relation gesetzt wird!

Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich!!

Also: ${\overline{r}}^2-c^2{t}^2=\overline{r}{\stackrel{´}{}}^2-c^{2}t{\stackrel{´}{}}^2$

Kugelwellen mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit c sind Lorentz- invariant!

Formalisierung

Der raumzeitliche Abstand

${\left(ds\right)}^2:={\left(cdt\right)}^2-{\left(d\overline{r}\right)}^2$

ist in jedem Bezugssystem gleich, bleibt also invariant bei Transformationen zwischen Inertialsystemen (Lorentz- Transformationen!)

Man kann ${\left(ds\right)}^2$

als Skalarprodukt von Vierervektoren mit 3 Orts- und einer Zeitkomponente schreiben.

Diese Vektoren leben im Minkowski- Raum V (Spannen diesen auf).

V ist natürlich nicht euklidisch. Sonst würde Pythagoras gelten!

Dann benutze man den Formalismus der LINEAREN ORTHOGONALEN Transformationen, unter denen das Skalarprodukt invariant ist:

Def.: Als kontravariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man:

$\begin{array}{ll}& x^0:=ct\\ & x^{\alpha },\alpha =1,2,3\\ \end{array}$

Zeitkomponente und kartesische Komponenten des Ortsvektors $\overline{r}$

es schreibt sich

${\left(ds\right)}^2={\left(d{x}^0\right)}^2-{\left(d{x}^1\right)}^2-{\left(d{x}^2\right)}^2-{\left(d{x}^3\right)}^2$

Def.: als kovariante Komponenten des 4-Zeit-Orts-Vektors (Vierervektors) bezeichnet man:

$\begin{array}{ll}& x_0:=x^0\\ & x_{\alpha }:=-x^{\alpha }\alpha =1,2,3\\ \end{array}$

Der kovariante Vektor ist Element des dualen Vektorraums $\tilde{V}$

$\tilde{V}$

ist der Raum der linearen Funktionale l, die V auf R abbilden:

$\tilde{V}=\{lineareFunktionalel:V->R\}$

es schreibt sich

${\left(ds\right)}^2=d{x}^{0}d{x}_0+d{x}^{1}d{x}_1+d{x}^{2}d{x}_2+d{x}^{3}d{x}_3=d{x}^{i}d{x}_i$

Natürlich mit Summenkonvention über i=0,1,2,3,...

Wenn ein Index oben (kontravariant) und ein Index unten (kovariant) steht.

Verallgemeinerung

Für beliebige 4- Vektoren $a^i$

gilt:

$\begin{array}{ll}& a_0=a^0\\ & a_{\alpha }=-a^{\alpha }\alpha =1,2,3\\ \end{array}$

Lorentz- Invariante lassen sich als Skalarprodukt $a_i{a}^i$

schreiben:

Der d´Alemebert-Operator

$\#:=\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}=-\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x_i}$

Mit

$\frac{\partial }{\partial x^i}=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }})=:{\partial }_i$

kovariant

Die Eigenschaft der Kovarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet!

$\frac{\partial }{\partial x_i}=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},-\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }})=:{\partial }^i$

kontravariant

→ Die Eigenschaft der Kontravarianz wird später aus dem Transformationsverhalten begründet!

Also:

$\Rightarrow \#=-{\partial }_i{\partial }^i$

Vierergeschwindigkeit

$\begin{array}{ll}& u^i:=\frac{d{x}^i}{ds}\\ & ds={\left(d{x}^{i}d{x}_i\right)}^{\frac{1}{2}}={(c^{2}d{t}^2-{\left(d\overline{r}\right)}^2)}^{\frac{1}{2}}=c{[1-{\left(\frac{1}{c}\frac{d\overline{r}}{dt}\right)}^2]}^{\frac{1}{2}}dt\\ & ds:={(1-{\beta }^2)}^{\frac{1}{2}}dt=\frac{c}{\gamma }dt\\ \end{array}$

Dabei gilt:

$\begin{array}{ll}& \beta :=\frac{v}{c}=\frac{1}{c}\left|\frac{d\overline{r}}{dt}\right|\\ & \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{ll}& u^0=\gamma \\ & u^{\alpha }=\frac{\gamma }{c}{v}^{\alpha }=\frac{1}{c}\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }\\ \end{array}$

Mit der Eigenzeit

$d\tau =\frac{dt}{\gamma }$

Die Eigenzeit ist als die Zeit im momentanen Ruhesystem zu verstehen!

$u^i{u}_i=\frac{d{x}^{i}d{x}_i}{d{s}^2}=1$

ist nicht vom Bezugssystem abhängig, also invariant!

Viererimpuls

$\begin{array}{ll}& p^i:=m_{0}c{u}^i\\ & \Rightarrow p^i{p}_i={m_0}^2{c}^2{u}^i{u}_i={m_0}^2{c}^2\\ & p^0=\frac{m_{0}c}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}=m(v)c=p_0\\ & p^{\alpha }=\frac{m_0{v}^{\alpha }}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}=m(v)v^{\alpha }=-p_{\alpha }\\ \end{array}$

Physikalische Bedeutung von $p^0$

Mit der 4-er Kraft: $k^i:=\frac{d}{d\tau }{p}^i$

folgt die Leistungsbilanz:

$k^i{u}_i=\left[\frac{d}{d\tau }\left(m_{0}c{u}^i\right)\right]u_i$

Mit Hilfe des Energiesatz kann dies umgewandelt werden zu

$\begin{array}{ll}& k^i{u}_i=\frac{m_{0}c}{2}\frac{d}{d\tau }\left(u^i{u}_i\right)=0\\ & u^i{u}_i=1\\ \end{array}$

also lorentzinvariant!

Außerdem gilt:

$\begin{array}{ll}& k^i{u}_i=\frac{d}{d\tau }\left(p^0\right)u_0+k^{\alpha }{u}_{\alpha }=\gamma \frac{d}{d\tau }\left(p^0\right)+\frac{\gamma }{c}{k}^{\alpha }{v}_{\alpha }=\frac{\gamma }{c}[\frac{d}{d\tau }\left(c{p}^0\right)-\overline{k}\overline{v}]=0\\ & \left(c{p}^0\right)=Energie\\ & \overline{k}\overline{v}=Leistung\\ \end{array}$

Somit jedoch folgt eine Bestimmungsgleichung an $\left(p^0\right)=\frac{E}{c}$ ,

also $E=\frac{m_0{c}^2}{\sqrt{(1-{\beta }^2)}}$

als Energie eines relativistischen Teilchens.

Das Skalarprodukt des Viererimpulses liefert lorentzinvariant $\begin{array}{ll}& p^i{p}_i=\frac{E^2}{c^2}-{\overline{p}}^2={m_0}^2{c}^2\\ & \overline{p}=\frac{m_0\overline{v}}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\\ \end{array}$

Also folgt an die Energie:

$E^2={m_0}^2{c}^4+c^2{\overline{p}}^2$

Dies ist die relativistsiche Energie- Impuls- Beziehung

Mathematischer Formalismus zur Tensorrechnung:

Für Tensoren zweiter Stufe gilt:

Möglich ist: $\begin{array}{ll}& A^{ik}\\ & {A^i}_k\\ & {A_i}^k\\ & A_{ik}\\ \end{array}$

Es gilt:

$\begin{array}{ll}& A^{00}={A^0}_0={A_0}^0=A_{00}\\ & A^{10}={A^1}_0=-{A_1}^0=-A_{10}\\ & A^{11}=-{A^1}_1=-{A_1}^1=A_{11}\\ & usw...\\ \end{array}$

Die Spur eines Tensors ist dagegen wieder allgemein:

$spA={A^i}_i={A_i}^i$

- er Einheitstensor

${{\delta }^k}_i={{\delta }_i}^k$

wie beim Kronecker- Symbol 1 für i=k und sonst Null, also symmetrisch

$\begin{array}{ll}& {{\delta }_i}^k{a}^k=a^i\\ & {{\delta }_i}^k{a}^{kl}=a^{il}\\ \end{array}$

usw..

Der metrische Tensor

$\begin{array}{ll}& g^{ik}:={\delta }^{ik}={{\delta }^i}_{k}f\ddot{u}rk=0\\ & g^{ik}:={\delta }^{ik}=-{{\delta }^i}_{k}f\ddot{u}rk=1,2,3\\ & g^{ik}:={\delta }^{ik}=\left(\begin{array}{cccc}1& & & \\ & -1& & \\ & & -1& \\ & & & -1\\ \end{array}\right)=g_{ik}\\ & g^{ik}{a}_k={\delta }^{ik}{a}_k=a_{i}f\ddot{u}ri=0\Rightarrow a_i=a^i\\ & g^{ik}{a}_k={\delta }^{ik}{a}_k=-a_{i}f\ddot{u}ri=1,2,3\Rightarrow -a_i=a^i\\ \end{array}$

Also:

$g^{ik}{a}_k={\delta }^{ik}{a}_k=a^{i}f\ddot{u}ri=0,1,2,3$

Man spricht auch vom heben und Senken der Indices durch die Metrik!

Lorentz- Trnsformationen (linear, homogen) $\mathrm{\Sigma }\to \mathrm{\Sigma }\stackrel{´}{}$

$\begin{array}{ll}& x{\stackrel{´}{}}^i={U^i}_k{x}^k\\ & {U^i}_k=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma & 0& 0\\ -\beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

für $v\left|\right|x^1$

Somit:

${U^k}_i=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & \beta \gamma & 0& 0\\ \beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$

Wobei ${\gamma }^2=\frac{1}{1-{\beta }^2}$

Damit läßt sich die Invarianz des Skalaprodukts leicht zeigen:

$\begin{array}{ll}& a{\stackrel{´}{}}^i={U^i}_k{a}^k\\ & b{\stackrel{´}{}}^i={U^i}_k{b}^k\Rightarrow b{\stackrel{´}{}}_i=U_{ik}{b}^k={U_i}^k{b}_k\\ & a{\stackrel{´}{}}^{i}b{\stackrel{´}{}}_i={U^i}_k{U_i}^l{a}^k{b}_l=!=a^k{b}_k\\ & also\Rightarrow :\\ & {U^i}_k{U_i}^l={{\delta }_k}^l\\ \end{array}$

U ist also eine orthogonale Trafo

Umkehr- Transformation:

$\begin{array}{ll}& a^i={U_k}^{i}a{\stackrel{´}{}}^k\\ & a_i={U^k}_{i}a{\stackrel{´}{}}_k\\ \end{array}$

Denn:

${U_k}^i{U^k}_l{a}^l={{\delta }^i}_l{a}^l=a^i$

In Matrizenschreibweise:

$\begin{array}{ll}& {U^i}_k=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & -\beta \gamma & 0& 0\\ -\beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right){U^k}_l=\left(\begin{array}{cccc}\gamma & \beta \gamma & 0& 0\\ \beta \gamma & \gamma & 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\\ & {U^i}_k{U^k}_l=\left(\begin{array}{cccc}{\gamma }^2-{\beta }^2{\gamma }^2& 0& 0& 0\\ 0& -{\beta }^2{\gamma }^2+{\gamma }^2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)={{\delta }^i}_l\\ \end{array}$

Transformationsverhalten des Vierergradienten

$\frac{\partial }{\partial x^i}:={\partial }_i=\frac{\partial }{\partial x{\stackrel{´}{}}^k}\frac{\partial x{\stackrel{´}{}}^k}{\partial x^i}={U^k}_i\frac{\partial }{\partial x{\stackrel{´}{}}^k}={U^k}_i\partial {\stackrel{´}{}}_k$

Mit der Identität

$\frac{\partial x{\stackrel{´}{}}^k}{\partial x^i}={U^k}_i$

Das heißt jedoch

$\frac{\partial }{\partial x^i}$

transformiert sich wie $a_i$ ,

also kovariant

Analog kann gezeigt werden:

$\frac{\partial }{\partial x_i}:={\partial }^i=\frac{\partial }{\partial x{\stackrel{´}{}}_k}\frac{\partial x{\stackrel{´}{}}_k}{\partial x_i}={U_k}^i\frac{\partial }{\partial x{\stackrel{´}{}}_k}$

$\frac{\partial }{\partial x_i}$

transformiert sich wie $a^i$ ,

also kontravariant.  (PRÜFEN!)